Левин ВОПРОСЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ Монография Ярославль 2011 УДК 517.925.56, 517.926.4, 517.948.3 ББК В161.61я43 Л36 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве научного издания. <...> Л е в и н, А.Ю. Вопросы качественной теории обыкновенного линейного Л36 дифференциального уравнения: монография / науч. ред. <...> Рамки уравнений с суммируемыми коэффициентами во многих прикладных задачах являются стеснительными. <...> Третий параграф первой главы диссертации посвящен рассмотрению обобщенных уравнений — уравнений с разрывными коэффициентами. <...> Рассматривается система уравнений с обобщенными коэффициентами, где коэффициенты — производные функций ограниченной вариации. <...> Последний четвертый параграф первой главы посвящен приложениям результатов третьего параграфа к вопросу об устойчивости решений линейного дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами. <...> Первые достаточные условия устойчивости для нулевой зоны устойчивости уравнения (6) были установлены А.М. Ляпуновым. <...> Условие (9) является следствием того факта, что внутри зоны устойчивости постоянная Ляпунова удовлетворяет неравенству A(λ) < 1. <...> М.Г. Крейн [8] показал, что условие (9) можно заменить менее ограничительным условием где [q(t)]+ = лем. <...> Он отметил, что условие (9) можно интерпретировать как достаточное условие того, что расстояние между соседними нулями любого нетривиального решения уравнения (6) больше ω. <...> 0 (12) М.Г. Крейн и В. А. Якубович получили семейство признаков устойчивости для нулевой зоны устойчивости: [q(t)−a2] + dt 2a ctg ωa 2 при некотором a ∈ [0, π ω ]. <...> Опяль нашел следующее семейство признаков устойчивости: t+ω/4 ∫ t при некоторых a ∈ [0, π/ω], (0 t ω). <...> В диссертации А.Ю. Левин установил следующее семейство признаков устойчивости для уравнения (6): Теорема 4.1. <...> Ключевым моментом в доказательстве является переход от уравнения (6) к рассмотрению обобщенного уравнения x+ ˙m <...>
Вопросы_качественной_теории_обыкновенного_линейного_дифференциального_уравнения_монография.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
А.Ю. Левин
ВОПРОСЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
ОБЫКНОВЕННОГО ЛИНЕЙНОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Монография
Ярославль 2011
Стр.2
УДК 517.925.56, 517.926.4, 517.948.3
ББК В161.61я43
Л36
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве научного издания. План 2010/2011 учебного года
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор Б. Н. Садовский;
кафедра математического моделирования
Воронежского государственного университета.
Л е в и н, А.Ю. Вопросы качественной теории обыкновенного линейного
Л36 дифференциального уравнения: монография / науч. ред. С. Д. Глызин; Яросл.
гос. ун-т им. П.Г. Демидова — Ярославль: ЯрГУ, 2011. — 230 с.
ISBN 978–5–8397–0797–9.
Настоящее издание представляет собой монографию, составленную по докторской
диссертации известного математика, профессора Анатолия Юрьевича
Левина (1936 – 2007).
Для широкого круга специалистов, аспирантов, студентов, интересующихся
качественной теорией обыкновенных дифференциальных уравнений.
Ил. 1. Библиогр.: 151 назв.
Редколлегия
В.Ш. Бурд, С. Д. Глызин (научный редактор),
В. С. Рублев
УДК 517.925.56, 517.926.4,
517.948.3
ББК В161.61я43
ISBN 978–5–8397–0797–9
○ Ярославский государственный
университет им. П.Г. Демидова, 2011
c
Стр.3
О докторской диссертации А.Ю. Левина
Докторская диссертация А.Ю. Левина — выдающийся вклад в качественную
теорию линейного обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка
Lx = x(n) +p1(t)x(n−1) +· · ·+pn(t)x = 0.
(1)
Диссертация А.Ю. Левина является итогом его исследований, выполненных в течение
1960–1969 годов. Ряд важных и интересных результатов получены им также для
систем линейных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений Фредгольма.
Но, как отмечает А.Ю. Левин, системы дифференциальных уравнений и
интегральные уравнения рассмотрены под углом зрения, связанным со спецификой
дифференциального уравнения n-го порядка.
Результаты Левина были высоко оценены М.Г. Крейном, В. А. Якубовичем,
Д. В. Аносовым и другими известными математиками. Тем не менее диссертация не
была утверждена ВАКом. Экспертная комиссия ВАКа по математике руководствовалась
при этом совсем не научными соображениями. В эти годы экспертная комиссия
использовалась как государственная дубина для подавления некоторых неугодных
математических школ.
Перейдем к содержанию диссертации. Диссертация состоит из четырех глав. Сразу
отметим, что часть результатов первой и второй главы анонсированы в кратких
заметках в Докладах АН СССР и не публиковались подробные доказательства этих
результатов в общедоступных журналах. К этому вопросу мы еще вернемся.
Первая глава (самая большая по объему) начинается с рассмотрения уравнения
(1) c комплекснозначными коэффициентами pi(t), i = 1, 2, . . . ,n+1, локально суммируемыми
в (a, b]. Ставится следующая задача: как должны вести себя коэффициенты
уравнения (1) в окрестности точки a, чтобы задача Коши x(i)(a) = ci, i = 0, 1, . . . ,n−1
имела решение при любых ci, i = 0, 1, . . . ,n − 1? На этот вопрос дается исчерпывающий
ответ. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи
Коши в явном виде. Интересен метод доказательства этого результата. Задача
сводится к вопросу о разрешимости задачи Коши для системы уравнений первого
порядка, и используется тот факт, что дополнительное слагаемое с суммируемой на
[a, b] матрицей коэффициентов не влияет на разрешимость задачи Коши. После этого
задача сводится к задаче с явно интегрируемой системой уравнений.
В качестве приложения существенно усиливается результат Э. Хилле [1] об
асимптотике решений на бесконечном промежутке уравнения второго порядка
¨
x+q(t)x = 0.
Во втором параграфе рассматривается задача о непрерывной зависимости решений
линейных дифференциальных уравнений от параметра на конечном промежутке.
Рассматривается последовательность матричных уравнений
X˙ k = Ak(t)Xk +Fk, Xk(a) = C, k = 1, 2, . . .
(a t b),
(2)
где матрицы Ak(t), Fk(t) суммируемы на [a, b]. Ставится следующая задача: при каких
условиях на матрицы Ak(t), Fk(t) последовательность решений Xk(t) системы (2) при
любой матрице C сходится к матрице X0(t) равномерно на [a, b]?Метод решения этой
задачи идейно близок к методу первого параграфа. Полученные достаточные условия
в случае одного уравнения n-го порядка приводят к полному решению задачи —
4
Стр.4
Оглавление
О докторской диссертации А.Ю. Левина
ВВЕДЕНИЕ
1. НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
ОТ ПАРАМЕТРА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ.
ОБОБЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
4
15
38
§ 1. Разрешимость задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
§ 2. Непрерывная зависимость решений от параметра . . . . . . . . . . . . 44
§ 3. Обобщенные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
§ 4. Приложение к вопросам устойчивости для уравнения
¨
x+q(t)x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
С ГЛАДКИМ ЯДРОМ
И ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
100
§ 1. Об одном уравнении Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
§ 2. О функциях Грина одномерных краевых задач . . . . . . . . . . . . . . 111
§ 3. Двухточечные интерполяционные задачи и интегральный
признак неосцилляции для уравнения x(n) +q(t)x = 0 . . . . . . . . . . 129
3. НЕОСЦИЛЛЯЦИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ
x(n) +p1(t)x(n−1) +· · ·+pn(t)x = 0
145
§ 1. Обсуждение проблематики, связанной
с неосцилляцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
§ 2. Иерархия решений. Обобщенные нули . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
§ 3. Некоторые вопросы распределения нулей . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
§ 4. Критерий неосцилляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
§ 5. Приложение к асимптотическим оценкам решений . . . . . . . . . . . 189
Дополнение. Об одной работе Ф. Хартмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ
¨
x+p(t) ˙x+q(t)x = 0
В НЕКОЛЕБАТЕЛЬНОМ СЛУЧАЕ
198
§ 1. Классификация неколебательных случаев для знакопостоянной q(t)
(формулировки и обсуждение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
§ 2. Теоремы о возмущении. Доказательства утверждений,
изложенных в § 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
§ 3. Дополнения и приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Литература
221
Стр.230