Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа (190,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова И. П. Иродова ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ В КУРСЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Учебное пособие Рекомендовано научно-методическим советом университета для студентов, обучающихся по специальности Математика Ярославль 2010

Стр.1

УДК 517 ББК В162я73 И 83 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. План 2010 года Рецензенты: кандидат физ.-мат. наук, доцент Е. Р. Матвеев; кафедра математического анализа Ярославского государственного педагогического университета им. К. Д. Ушинского Иродова, И. П. Линейные функционалы и операторы в курсе функциоИ 83 нального анализа: Учеб. пособие/И.П.Иродова; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. — Ярославль: ЯрГу, 2010. — 124 с. ISBN 978-5-8397-0724-5 Пособие содержит основные и наиболее важные понятия теории линейных функционалов и операторов. Изложение ведется в форме задач и упражнений. Приводится достаточно большое число примеров с подробными решениями. Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению 010100.62 Математика, по специальности 010101.65 Математика (дисциплина ”Функциональный анализ и интегральные уравнения”, блок ОПД), очной формы обучения. Сборник подготовлен с использованием издательской системы L Библиогр.: 9 назв. ATEX. ISBN 978-5-8397-0724-5 © Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 2010

Стр.2

Оглавление Предисловие 1. Линейные нормированные пространства 2. Непрерывные линейные функционалы 3. Норма функционала 4. Общий вид функционалов в различных пространствах 5. Сопряженные пространства 6. Сильная и слабая сходимость последовательности функционалов 7. Теорема Хана–Банаха 8. Линейные непрерывные операторы 9. Норма оператора и примеры ее вычисления 10. Пространство линейных ограниченных операторов 11. Обратные операторы 12. Сопряженные операторы 13. Компактные операторы 14. Спектр оператора Приложение. Тестовые задания Литература 5 13 18 23 31 35 37 45 50 58 66 76 81 89 88 119 2 3

Стр.3

Предисловие Соединение идей и методов алгебры, геометрии, топологии и анализа дало новую отрасль математической науки — функциональный анализ. Как отмечается в [6], ”его методы с успехом используются во многих разделах современной теоретической и прикладной математики. Более того, развитие таких дисциплин, как дифференциальные уравнения, теория управления, методы вычислений и др. вряд ли было бы столь успешным, если бы при этом не использовались идеи и методы функционального анализа.” Это объясняет то обстоятельство, что функциональный анализ - одна из базовых дисциплин, которую изучают студенты, обучающиеся по специальности ”Математика”. Курс ”Функциональный анализ и интегральные уравнения” довольно сложен. Это связано с высокой степенью абстракции вводимых понятий. Именно абстрактность позволяет исследовать далекие на первый взгляд друг от друга вопросы. Поэтому необходимо научиться применять методы функционального анализа, а также освоить методику решения задач. Настоящее учебное пособие отличается от учебной литературы, опубликованной по этой теме. Главное отличие состоит в том, что в пособии кроме необходимого кратко изложенного теоретического материала собрано большое число задач с подробными решениями. Следует отметить, что хотя задачи подобраны разной степени сложности, предпочтение отдается вычислительным задачам. Причина такого выбора заключается в желании помочь студенту научиться решать задачи. Здесь уместно напомнить высказывание А.Нивена - ”Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед”. Учебное пособие разделено на параграфы. Каждый параграф начинается с необходимых определений. Часть теоретического материала содержится в задачах. В пособии отсутствуют полные математические доказательства, но приведены ссылки на литературу, где их можно найти. В приложении даны индивидуальные задания, которые помогут проверить качество полученных знаний. 4

Стр.4

§ 1. Линейные нормированные пространства Множество L называется линейным нормированным пространством, если 1) L – линейное пространство с умножением на вещественные (комплексные) числа; 2) каждому элементу x ∈ L ставится в соответствие вещественное число x, называемое нормой, причем предполагается, что выполняются следующие три условия: плексного числа λ; 1. x ≥ 0; x = 0 только при x = 0; 2. λx = |λ| · x для любого x ∈ L и любого вещественного или ком3. x+y ≤ x+y для любых x, y ∈ L. Приведем примеры наиболее часто встречающихся нормированных пространств. 1. Пространство ln упорядоченные наборы из n действительных чисел x = (x1, ...,xn), n ≥ 1. Норма определяется с помощью равенства  n x =  k=1 |xk|p 1 p . Заметим, что в случае p = 2 мы получаем евклидово пространство Rn. 2. Пространство ln x = max1≤k≤n |xk|. 5 щем примере, являются упорядоченные наборы из n действительных чисел. Норма определяется по формуле ∞. Элементами пространства, так же как в предыдуp , 1 ≤ p <∞. Элементами этого пространства являются

Стр.5