Разложение вектора на составляющие по осям координат. <...> 140 Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду. <...> 191 Связь бесконечно малой функции с бесконечно большой функцией. <...> Определенный интеграл и задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. <...> Такая задача не ставилась потому, что это не только невозможно в рамках втузовского курса (а тем более для архитекторов и дизайнеров), но часто и нецелесообразно с методической точки зрения, так как в процессе изучения дисциплины в ограниченные сроки необходимо уделять большое внимание разъяснению математических понятий (в том числе и на интуитивном уровне), их геометрическому, техническому и физическому смыслу, решению практических задач. <...> Линейными действиями над матрицами называются сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число. <...> Определители второго и третьего порядков Любая квадратная матрица А имеет свой определитель. <...> Т.е. определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов дополнительной диагонали. <...> Ранг матрицы обозначается r (A) или rang A. <...> Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). <...> Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называются главными, а остальные (n – r) неизвестные называются свободными. <...> Если ∆ = 0, то система имеет множество решений Решения системы уравнений a11 ∆ = a12 a31 a12 a22 a32 a12 a23 a 33 х = у = z = 0, т.е. тривиальное решение а) найти базисный минор порядка r (приведя матрицу к ступенчатому виду). <...> Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить); б) по правилу Крамера найти выражения главных неизвестных через свободные неизвестные и получить общее решение системы; в) придавая свободным неизвестным значения, получить соответствующие частные значения главных неизвестных 30 произвольные Произвольная неоднородная система уравнений: ⎧ 11 21 31 ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ a <...>
Высшая_математика_курс_лекций_и_практические_задания_.pdf
УДК 517(075.8)
ББК 22.1я73
Р 83
Рецензенты:
доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой
математической статистики и квалиметрии ВГСХА О.И. Коломок;
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры теоретической физики ВГПУ С.А. Ходыкин
Руденок И.П.
Р 83 Высшая математика : курс лекций и практические задания /
И.П. Руденок, Н.Н. Агишева, Н.А. Болотина ; Волгогр. гос. архит.-строит.
ун-т. — Волгоград : ВолгГАСУ, 2008. — 380 с.
ISBN 978-5-98276-253-5
Приведен полный лекционный материал, соответствующий Государственному
образовательному стандарту курса высшей математики
для специальностей «Архитектура» и «Дизайн архитектурной среды»,
подробно рассмотрены примеры решения задач по всем темам, а также
даны задачи для самостоятельного решения и индивидуальные задачи
по вариантам.
УДК 517(075.8)
ББК 22.1я73
ISBN 978-5-98276-253-5
© Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Волгоградский государственный
архитектурно-строительный университет», 2008
2
Стр.2
Оглавление
Предисловие......................................................................................................... 8
Основные обозначения....................................................................................... 10
Введение............................................................................................................... 11
Лекция 1. Элементы линейной алгебры........................................................... 13
1.1. Понятие матрицы. Основные определения. Линейные действия
над матрицами. Умножение матриц............................................................ 13
1.2. Определители второго и третьего порядков........................................ 17
1.3. Свойства определителей........................................................................ 18
1.4. Сводная таблица основных методов вычисления определителей..... 20
1.5. Элементарные преобразования матрицы............................................. 22
Обратная матрица. Матричные уравнения.......................................... 23
Способы получения обратной матрицы.............................................. 23
1.6. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)................... 26
Решение СЛАУ по формулам Крамера............................................... 26
Матричная запись СЛАУ и ее решение с помощью обратной матрицы... 27
Ранг матрицы и его свойства................................................................ 28
Исследование систем линейных уравнений........................................ 29
1.7. Сводная таблица для исследования систем линейных уравнений.... 30
Примеры решения практических задач....................................................... 31
Задания для самостоятельного решения..................................................... 40
Лекция 2. Система координат на плоскости и в пространстве. Основные
задачи.................................................................................................................... 45
2.1. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости....................... 45
2.2. Основные задачи на метод координат на плоскости.......................... 46
2.3. Полярные координаты........................................................................... 47
2.4. Связь между декартовыми и полярными координатами.................... 48
2.5. Параметрические уравнения................................................................. 48
2.6. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве.................... 48
2.7. Основные задачи на метод координат в пространстве....................... 49
Примеры решения практических задач....................................................... 50
Задания для самостоятельного решения..................................................... 56
Лекция 3. Векторная алгебра............................................................................ 57
3.1. Определение вектора............................................................................. 57
3.2. Линейные действия над векторами...................................................... 58
3.3. Линейная зависимость векторов. Базис на плоскости и в пространстве... 61
3.4. Проекция вектора на ось. Основные теоремы о проекциях............... 62
3.5. Разложение вектора на составляющие по осям координат................ 63
3.6. Простые задачи на декартовы координаты.......................................... 65
3
Стр.3
3.7. Скалярное произведение векторов....................................................... 66
3.8. Векторное произведение векторов....................................................... 67
3.9. Смешанное произведение трех векторов............................................. 68
3.10. Сводная таблица основных понятий и формул по теме «Векторы»..... 69
Примеры решения практических задач....................................................... 71
Задания для самостоятельного решения..................................................... 76
Лекция 4. Аналитическая геометрия на плоскости........................................ 80
4.1. Параллельный перенос осей координат............................................... 80
4.2. Различные виды уравнений прямой на плоскости.............................. 80
4.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи................................... 83
4.4. Таблица понятий и формул по теме «Прямая на плоскости»............ 83
4.5. Кривые второго порядка........................................................................ 84
Окружность............................................................................................. 84
Эллипс..................................................................................................... 85
Гипербола................................................................................................ 86
Парабола................................................................................................. 88
Общее уравнение кривой второго порядка......................................... 89
Некоторые другие кривые..................................................................... 90
Примеры решения практических задач....................................................... 91
Задания для самостоятельного решения..................................................... 97
Индивидуальные задания к типовому расчету № 1 (ч. 1)......................... 100
Лекция 5. Аналитическая геометрия в пространстве..................................... 134
5.1. Плоскость................................................................................................ 134
Общее уравнение плоскости................................................................. 134
Анализ общего уравнения плоскости (частные случаи).................... 135
Взаимное расположение плоскостей....................................................137
Различные формы уравнений плоскости............................................. 138
5.2. Прямая в пространстве.......................................................................... 139
Взаимное расположение прямых в пространстве............................... 139
Различные виды уравнений прямой в пространстве.......................... 140
Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду......... 141
5.3. Прямая и плоскость в пространстве..................................................... 142
5.4. Поверхности второго порядка............................................................... 144
Цилиндры второго порядка.................................................................. 144
Эллипсоид, конус, гиперболоид........................................................... 147
Параболоиды.......................................................................................... 150
5.5. Таблица основных понятий и формул по теме «Прямая и плоскость
в пространстве».................................................................................................... 151
Примеры решения практических задач....................................................... 153
Задания для самостоятельного решения..................................................... 161
Индивидуальные задания к типовому расчету № 1 (ч. 2)......................... 163
Лекция 6. Введение в анализ............................................................................. 184
6.1. Функция одной переменной. Основные элементарные функции..... 184
6.2. Модуль действительного числа............................................................ 186
4
Стр.4
6.3. Предел функции одной переменной..................................................... 187
6.4. Бесконечно большой аргумент и функция...........................................189
6.5. Бесконечно малые функции (б.м.ф.).................................................... 191
Свойства бесконечно малых функций................................................. 191
Связь бесконечно малой функции с бесконечно большой функцией.... 192
Сравнение бесконечно малых функций............................................... 192
Эквивалентные бесконечно малые функции при x→0....................... 193
6.6. Основные теоремы о пределах.............................................................. 193
6.7. Замечательные пределы......................................................................... 197
6.8. Непрерывность функции....................................................................... 198
Классификация точек разрыва функции.............................................. 199
Операции над непрерывными функциями.......................................... 200
Свойства функций, непрерывных на отрезке...................................... 200
Примеры решения практических задач....................................................... 201
Задания для самостоятельного решения..................................................... 206
Лекция 7. Дифференциальное исчисление функции одной переменной....... 209
7.1. Производная функции одной переменной........................................... 209
Задачи, приводящие к понятию производной..................................... 209
Правило непосредственного вычисления производной функции..... 213
Основные правила дифференцирования.............................................. 213
Производные основных элементарных функций................................215
Правила дифференцирования.............................................................. 219
Таблица основных элементарных и соответствующих сложных
функций................................................................................................... 219
7.2. Дифференциал функции одной переменной....................................... 220
7.3. Свойства дифференциала...................................................................... 224
7.4. Производные и дифференциалы высших порядков............................224
7.5. Правило Лопиталя.................................................................................. 228
7.6. Раскрытие неопределенностей.............................................................. 229
7.7. Исследование функции одной переменной......................................... 230
Примеры решения практических задач....................................................... 235
Задания для самостоятельного решения..................................................... 243
Индивидуальные задания к типовому расчету № 2................................... 247
Лекция 8. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.... 249
8.1. Понятие функции нескольких переменных......................................... 249
8.2. Непрерывность функции нескольких переменных............................. 250
8.3. Частные производные функции двух переменных. Правило вычисления.........................................................................................................
252
8.4. Производная по направлению............................................................... 252
8.5. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности............. 253
8.6. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Функции двух переменных.......................................................................... 255
8.7. Локальные экстремумы функции двух переменных.......................... 256
5
Стр.5
Примеры решения практических задач...................................................... 258
Задания для самостоятельного решения..................................................... 261
Лекция 9. Неопределенный интеграл............................................................... 263
9.1. Первообразная функции........................................................................ 263
Основные свойства неопределенного интеграла................................ 264
Основные формулы интегрирования................................................... 265
9.2. Основные методы интегрирования....................................................... 266
9.3. Многочлены. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби.... 269
9.4. Интегрирование простейших рациональных дробей.......................... 269
9.5. Разложение рациональной дроби на простейшие. Интегрирование
рациональных дробей................................................................................... 270
9.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций..................... 272
9.7. Интегрирование тригонометрических функций................................. 273
Примеры решения практических задач....................................................... 274
Задания для самостоятельного решения..................................................... 278
Лекция 10. Определенный интеграл.................................................................279
10.1. Определенный интеграл и задачи, приводящие к понятию определенного
интеграла......................................................................................279
10.2. Основные свойства определенного интеграла.................................. 281
10.3. Производная интеграла по переменной верхней границе................ 282
10.4. Замена переменной в определенном интеграле................................ 284
10.5. Интегрирование по частям в определенном интеграле.................... 284
10.6. Несобственные интегралы................................................................... 285
Примеры решения практических задач....................................................... 286
Задания для самостоятельного решения..................................................... 288
Лекция 11. Приложения определенного интеграла........................................ 289
11.1. Вычисление площади в декартовых координатах............................ 289
11.2. Вычисление площади в полярных координатах............................... 290
11.3. Длина дуги кривой............................................................................... 290
11.4. Вычисление объема тела вращения.................................................... 293
Примеры решения практических задач....................................................... 293
Задания для самостоятельного решения..................................................... 297
Индивидуальные задания к типовому расчету № 3 (ч. 1)......................... 298
Лекция 12. Двойной интеграл........................................................................... 319
12.1. Понятие двойного интеграла. Геометрический смысл двойного
интеграла........................................................................................................ 319
12.2. Свойства двойного интеграла............................................................. 321
12.3. Вычисление двойных интегралов в прямоугольных декартовых
координатах................................................................................................... 322
12.4. Правило вычисления двойного интеграла и порядок приведения
его к повторному........................................................................................... 324
Примеры решения практических задач....................................................... 325
Задания для самостоятельного решения..................................................... 328
6
Стр.6
Лекция 13. Дифференциальные уравнения..................................................... 329
13.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения................................. 329
13.2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.................. 330
13.3. Дифференциальные уравнения первого порядка.............................. 337
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными... 338
Дифференциальные уравнения, однородные относительно переменных....................................................................................................
339
Линейные дифференциальные уравнения........................................... 340
Уравнение Бернулли.............................................................................. 341
13.4. Дифференциальные уравнения второго порядка.............................. 341
13.5. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие
понижение порядка....................................................................................... 343
13.6. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка............ 344
13.7. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами. Элементы теории комплексных чисел.............. 345
13.8. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами................................................................................. 346
13.9. Сводная таблица по теме «Дифференциальные уравнения»........... 349
Примеры решения практических задач....................................................... 350
Задания для самостоятельного решения..................................................... 353
Индивидуальные задания к типовому расчету № 3 (ч. 2)......................... 354
Заключение.......................................................................................................... 365
Библиографический список............................................................................... 369
Приложение 1...................................................................................................... 371
Приложение 2...................................................................................................... 376
7
Стр.7