ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
¾ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ¿
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ
ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ТИПА КОШИ
ПРИ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ЧАСТЬ 1
Учебно-методическое пособие для вузов
Составитель
В.Е. Петрова
Воронежского государственного университета
2010
Издательско-полиграфический центр
Стр.1
Содержание
1 Введение
4
2 Некоторые сведения из теории аналитических функций 7
3 Интегралы типа Коши
4 Главное значение интеграла типа Коши
4.1 Несобственный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Главное значение особого интеграла . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Многозначные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4 Сингулярный криволинейный интеграл . . . . . . . . . . . 21
4.5 Свойства особого интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11
17
5 Предельные значения интеграла типа Коши
5.1 Формулы Сохоцкого Племеля . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2 Условие того, что произвольная комплексная функция есть
5.3 краевое значение функции аналитической в области . . . . 29
26
Дифференцирование интеграла типа Коши и особого ин5.4
теграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.5 Формулы Сохоцкого Племеля для угловых точек контура 32
Интеграл типа Коши по действительной оси . . . . . . . . 33
6 Свойства предельных значений интеграла типа Коши 37
7 Задача Римана Гильберта для прямолинейного разреза 40
8 Сингулярное интегральное уравнение
43
3
Стр.3
только тогда, когда заданное граничное условие достаточно гладко.
вдоль любого луча, принадлежащего области D в случае, когда область
D бесконечна.В силу этого регулярное решение для уравнения Лапласа является
гармонической функцией, в рассматриваемой области.
Уравнения Лапласа решаются с помощью метода потенциалов простого
и двойного слоя. Для решения граничной задачи с уравнением Лапласа
также существуют другие эффективные методы, основанные на
использовании функций комплексного переменного, т.е. задачи сводятся
к граничным задачам теории аналитических функций, а математический
аппарат для решения таких задач основан на применении интегралов типа
Коши.
Бигармонические уравнения. Задачи, приводящие к бигармоническим
уравнениям
К граничным задачам теории аналитических функций комплексных
переменных приводятся также граничные задачи для бигармонических
уравнений:
Развернутый вид бигармонического уравнения записывается следующим
образом:
v = 0.
∂4v
∂x4 +2 ∂4v
∂x2∂y2 + ∂4v
∂y4 = 0.
к Под бигармоническими функциями будем понимать функции такие,
оторые
1. удовлетворяют бигармоническому уравнению;
2. их производные, вплоть до четвертого порядка, непрерывны;
3. производные, начиная со второго порядка, однозначны во всей рассматриваемой
области.
6
этой точке она имеет непрерывные вторые производные и удовлетворяет
уравнению Лапласа.Функция u(x) является гармонической в области D, если она
непрерывна в этой области и
гармонична во всех внутренних точках области,
стремится к нулю при x → ∞ (т.е. к бесконечно удаленной точке)
Гармоническая функция
Говорят, что в точке x функция u(x) является гармонической, если в
Стр.6
ст Упругое равновесие твердого тела описывается уравнениями, предях:
авленными
в задачах плоской теории упругости, в следующих случа•
плоской деформации цилиндрических тел постоянного поперечного
сечения, при условии воздействия на тело лишь внешних сил,
нормальных к его оси и одинаковых для всех поперечных сечений;
• обобщенного плоского напряженного состояния, т.е. при деформации
тонкой пластины силами, действующими в е¼ плоскости.
бигВ обоих случаях решение поставленных задач сводится к решению
армонических уравнений.
2 Некоторые сведения из теории аналитических функций
Пусть
функция W = f(z) есть однозначная функция, определенная в
области D комплексной плоскости Z. Функция W = f(z) дифференцируема
в точке z ∈ D, если
W
z = f(z +h)−f(z)
z
,
где z +h произвольная точка области D, стремится к определенному
конечному пределу, когда z = h произвольным образом стремится к 0
при постоянном z, ò.å.
z−→0
lim
W
z = lim
z−→0
f(z +h)−f(z)
z
= f(z).
D, если в каждой точке этой области она имеет определенную конечную
производную. Т.е. функция может быть аналитична только в некоторой
области. О каждой конкретной точке такой области говорят, что в ней
функция аналитична. При этом функция аналитическая в точке должна
быть по определению аналитической в некоторой окрестности этой точки.
менной
является более сильным, чем аналогичное требование по действительной
переменной. Действительно, предполагая функцию f(z) диффеЗамечание.
Требование дифференцируемости по комплексной пере7
Однозначная
функцияW = f(z) называется аналитической в области
Стр.7
ренцируемой в некоторой произвольной точке z, мы считаем, что
lim
h→0
f(z +h)−f(z)
h
будет одним и тем же числом независимо от направления, по которому
переменная точка z +h приближается к постоянной точке z.
емой в каждой точке области. Отсюда понятно, что аналитическая в
области функция должна обладать рядом специфических свойств.
Пусть f(z) = u(x, y)+iv(x, y) есть однозначная функция комплексной
переменной z, определенной в области D. Пусть u(x, y) и v(x, y) дифференцируемы
в îáëàñòèD. Тогда для òîãî, чтобы ôóíêöèÿW = f(z) была
аналитична в области D необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
условия Коши Римана:
ру Еще более сильным будет являться понятие функции, дифференци∂u
∂x
= ∂v
∂y; ∂u
∂y = −
∂v
∂x.
(1)
Эти условия показывают, что функции u и v не могут быть выбраны
независимо друг от друга, чтобы получить аналитическую функцию
f(z). Дифференцируя первое уравнение (1) по x, второе по y и складывая
результат, получим уравнение вида
∂2u
∂x2 + ∂2u
∂y2 = 0,
функции u и v являются гармоническими в области D. Отметим, что
u = Ref(z) и v = Imf(z), поэтому аналитическая функция f(z) является
гармонической функцией. Однако, если взять за u и v две произвольные
гармонические в области D функции, то u + iv в общем случае не
будет аналитической функцией в этой области. Для того, чтобы u+iv была
аналитической в области D, надо взять за одну из них произвольную
гармоническую функцию, например u, и определить затем v из уравнений
Коши Римана (1).
ò.å. u = 0. Аналогично можно получить v = 0. Следовательно,
торой окрестности этой точки разлагается в степенной ряд относительно
(z − a). Это свойство голоморфности функции в точке a эквивалентно
8
Понятие голоморфности функции
Функция f(z) есть голоморфная функция в точке a, если она в неко
Стр.8