Примеры построения и исследования разностных схем [Электронный ресурс] (90,00 руб.)

А.А. Дегтярев ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ Электронное учебное пособие САМАРА 2011 Автор: ДЕГТЯРЕВ Александр Александрович Учебное пособие содержит примеры теоретического и экспериментального исследования разностных схем для краевых задач математической физики. <...> Для решения задачи диффузии на временном промежутке 0 t T использовать метод конечных разностей. <...> Здесь рассмотрены две разностные схемы: простейшая явная, простейшая неявная, для 5 построения которых использован метод замены производных разностными отношениями. <...> (6) где I - число интервалов разбиения промежутка 0  x  l ; K - число интервалов разбиения отрезка времени 0  t T . <...> Для построения схемы для задачи (5) заменим все функции непрерывных аргументов x и t их сеточными аналогами, а производные - нижеприведенными разностными отношениями  2u ( xi , tk ) u ( xi 1 , tk )  2u ( xi , tk )  u ( xi 1, tk ) , <...> В соответствии с определением аппроксимации, проверим, выполняется ли условие lim  f h h0 Fh  lim Lh u h  f h h0 Fh  0 при произвольном выборе последовательности равномерных сгущающихся сеток. <...> Невязка  f h для рассматриваемой схемы будет иметь следующую структуру: <...> C x xi x  Воспользуемся дифференциальным уравнением краевой задачи (5): 7 Cut   uxx  Du . <...> (9) С учетом (9) выражение рассматриваемой компоненты невязки примет вид:  f  1 t tk h x x i <...> 2 xx x Видим, что в полученном выражении невязки имеются слагаемые первого порядка по шагу ht и второго порядка по шагу hx . <...> (10) Определим норму в пространстве Fh формулой 8 fh Fh <...> (11) Тогда погрешность аппроксимации явной схемы в соответствии с формулой <...> Итак, в результате исследования получено, что простейшая явная разностная схема (7) аппроксимирует краевую задачу (5) на ее решении u , причем погрешность аппроксимации имеет второй порядок относительно по hx и первый относительно ht . <...> Теперь проведем исследование устойчивости явной разностной <...>