МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
МЕТОДЫ АНАЛИЗА СИСТЕМ
МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
С ПРОСТЕЙШИМ ПОТОКОМ ЗАЯВОК
Учебно-методическое пособие по курсу
«Теория массового обслуживания»
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2011
Стр.1
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. Теоретическая часть
4
1. Теория массового обслуживания, ее математический аппарат
и приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Случайные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. Многомерные функции распределения, плотности вероятностей,
вероятности случайного процесса . . . . . . . . . . . . . 6
4. Условные вероятности и плотности вероятностей . . . . . . . 7
5. Классификация случайных процессов . . . . . . . . . . . . . . 8
6. Марковские случайные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
7. Цепи Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
8. Уравнения Колмогорова-Чепмена . . . . . . . . . . . . . . . . 11
9. Классификация состояний марковской цепи . . . . . . . . . . 12
11. Стационарные и эргодические цепи Маркова . . . . . . . . . 16
12. Дискретные марковские процессы (цепи Маркова
с непрерывным временем) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13. Уравнения Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
14. Стационарное распределение вероятностей . . . . . . . . . . 24
15. Случайный поток событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
16. Классификация потоков событий . . . . . . . . . . . . . . . . 25
17. Пуассоновский поток событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
18. Пуассоновский случайный процесс . . . . . . . . . . . . . . . 26
19. Системы массового обслуживания . . . . . . . . . . . . . . . 28
20. Одноканальная система массового обслуживания с отказами 29
21. Характеристики одноканальной системы массового обслуживания
с отказами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
22.Многоканальная система массового обслуживания с отказами 31
23. Многоканальная система с отказами и полной взаимопомощью
между каналами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
24. Многоканальная СМО с ожиданием (с очередью конечной
длины) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
25. СМО с неограниченной очередью . . . . . . . . . . . . . . . . 37
26. СМО с отказами и частичной взаимопомощью между каналами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
27. СМО с ограниченным временем ожидания (с нетерпеливыми
заявками) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
28. Замкнутые системы массового обслуживания . . . . . . . . . 43
3
Стр.3
При фиксированном значении t = ti случайный процесс представляет
собой измеримую функцию ξi = ξi(ω), т.е. случайную величину.
При фиксированном элементарном событии ωi получаем некоторую
детерминированную (неслучайную) функцию xi(t), называемую реализацией
(траекторией) случайного процесса.
Случайный процесс можно задавать или как множество реализаций
с заданной на нем вероятностной мерой, или как последовательность
(упорядоченную совокупность) случайных величин, соответствующих
определённым значениям t. В последнем случае его можно рассматривать
как случайный вектор и задать с помощью многомерных законов
распределения.
3. Многомерные функции распределения, плотности
вероятностей, вероятности случайного процесса
Определение 3. Многомерной функцией распределения случайного
процесса для фиксированных моментов времени t1, t2, . . . , tn называется
функция 2n переменных, определяемая следующим образом:
F(x1,x2, . . . ,xn, t1, t2, . . . , tn) =
= P(ξ(t1) < x1, ξ(t2) < x2, . . . , ξ(tn) < xn). (1)
Для непрерывнозначного процесса можно определить многомерную
плотность вероятностей
f(x1,x2, . . . ,xn, t1, t2, . . . , tn) = ∂nF(x1, . . . ,xn, t1, . . . , tn)
∂ x1 . . . ∂xn
.
(2)
Если случайный процесс дискретного типа (множество возможных
значений дискретно), то можно определить многомерные вероятности
P(x1,x2, . . . ,xn, t1, t2, . . . , tn) =
= P(ξ(t1) = x1, ξ(t2) = x2, . . . , ξ(tn) = xn). (3)
Случайный процесс считается заданным, если заданы многомерные
функции распределения (плотности вероятностей или многомерные вероятности)
любой размерности.
Замечание 1. Если t изменяется непрерывно, то для полного описания
случайного процесса необходимо в многомерных законах распределения
(1)–(3) устремить n к бесконечности (n → ∞). Но этот предельный
6
Стр.6
переход представляет определенные математические трудности. Кроме
того, работать с многомерными функциями (1)–(3) при конечном, но
большом значении n тоже не всегда удобно.
Существуют классы процессов, для полного описания которых достаточно
знать двумерные законы распределения. К таким процессам
относятся марковский и гауссовский процессы, которые наиболее часто
используются в приложениях.
4. Условные вероятности и плотности вероятностей
Для процесса дискретного типа можно определить условные вероятности
(вероятность того, что в момент времени t2 значение процесса
равно x2, если в момент времени t1 оно равнялось x1):
P(x2, t2|x1, t1) = P (x1,x2, t1, t2)
P (x1, t1)
стей имеют вид
f(x2, t2|x1, t1) = f (x1,x2, t1, t2)
f (x1, t1)
.
определяютcя аналогично:
P(xn, tn|x1, . . .xn−1, t1, . . . , tn−1) = P (x1, . . .xn, t1, . . . , tn)
f(xn, tn|x1, . . . ,xn−1, t1, . . . , tn−1) = f (x1, . . . ,xn, t1, . . . , tn)
(5)
В n-мерном случае условные вероятности и плотности вероятностей
P (x1, . . . ,xn−1, t1, . . . , tn−1) ,
f (x1, . . . ,xn−1, t1, . . . , tn−1) .
Замечание 2. Условные вероятности (4) и плотности вероятностей (5) в
теории случайных процессов называют переходными.
Определение 4. Случайный процесс называется однородным, если
условные вероятности или условные плотности вероятностей зависят
не от моментов времени, а от разности моментов времени, т.е.
P(x2, t2|x1, t1) = P(x2,x1, t2 −t1),
f(x2, t2|x1, t1) = f(x2,x1, t2 −t1).
7
(6)
.
(4)
Для непрерывнозначного процесса условные плотности вероятно
Стр.7
5. Классификация случайных процессов
Как отмечается в [2], строгой классификации случайных процессов
нет, поэтому можно говорить лишь о выделении по тому или иному
признаку типов процессов, которые не обязательно в своей совокупности
исчерпывают всевозможные типы и не являются несовместимыми
друг с другом.
Случайные процессы можно классифицировать по:
1) характеру реализаций случайных процессов (характеру пространства
состояний случайного процесса и параметра t);
2) виду закона распределения вероятностей;
3) характеру статистической связи между значениями случайного
процесса в различные моменты времени.
Классификация по характеру реализаций:
1. Дискретная последовательность (дискретный процесс с дискретным
временем) — это случайный процесс, у которого областью
определения и областью возможных значений реализаций являются
дискретные множества. Примеры: процессы в цифровых системах
связи, компьютерных сетях, цифровой радиоаппаратуре и
т.п.
2. Случайная последовательность, или временной ряд (непрерывнозначный
процесс с дискретным временем) — это случайный процесс,
область возможных значений реализаций которого — непрерывное
множество, а область определения — дискретное множество.
Примеры: метеорологические наблюдения, телеметрические
данные состояния космонавтов и т.п.
3. Дискретные процессы (дискретный процесс с непрерывным временем)
— это случайный процесс, множество возможных значений
реализаций которого — дискретное множество, а область определения
— непрерывное множество. Примеры: число абонентов
телефонной станции, разговаривающих по телефону, количество
автомобилей на автозаправочной станции и т.п.
4. Непрерывнозначный случайный процесс — это случайный процесс,
у которого область возможных значений и область определения
— непрерывные множества. Примеры: различные физические,
химические, биологические процессы, протекающие в природе, организме
человека.
8
Стр.8