. . . . 19
1.2.2
Функция Бесселя первого рода, функция МиттагЛеффлера и гипергеометрическая функция Гаусса . <...> . 23
2 Определения и свойства дробных производных и
интегралов
26
2.1
Дробные интегралы и производные на отрезке вещественной
оси . <...> 35
2.1.4
Определение дробных производных Римана-Лиувилля 38
2.1.5
Дробное интегрирование и дифференцирование как
взаимно обратные операции . <...> . . . . . 63
2.4.2
Дробные производные тригонометрических функций
2.4.3
Дробные производные экспоненты и натурального
64
логарифма . <...> 1
Связь дробного дифференциального уравнения с
интегральным уравнением Вольтерра второго рода
3.1. <...> 2
. 69
Теорема о существовании и единственности решения
задачи типа Коши для дробного дифференциального
уравнения . <...> 7 6 0$ "9 0"
В
d kx
dx e
= k ekx
мировой литературе это пока единственная книга энциклопедического характера по дробному
интегродифференцированию.
#
приписывается почти совершенно ясный и не "фантазийный" результат
dn kx n kx
e = k e .
dxn
Слово
с
"почти"
точностью
до
здесь означает, что это выражение справедливо
многочлена
порядка
n1
с
неопределенными
коэффициентами интегрирования; по этой причине мы поставили штрих
над знаком последнего равенства. <...> Теперь, дав опять же волю воображению, можно ввести и интегралы
отрицательного порядка, считая их соответствующими производными. <...> Операторы дробного интегродифференцирования имеют довольно
громоздкую конструкцию, и могут принимать различные формы2 ,
действия которых не всегда совпадают. <...> Но, несмотря на это, дробное
интегродифференцирование используется при решении многих сложных
прикладных задач физики, биологии, теории управления и др., которые
нельзя решить обычными средствами и чему в настоящее время
посвящено большое количество исследований (см. книги [8], [9], [12], [21]
и имеющиеся там ссылки на научные источники). <...> Как уже было отмечено, идея обобщения понятия дифференцирования
dp
dxp
на нецелые значения p не является новой и возникла одновременно с
возникновением интегрального <...>
Дробные_производные_и_интегралы_и_их_приложения.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ДРОБНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Учебно-методическое пособие для вузов
Составители:
Л.Н. Ляхов,
Э.Л. Шишкина
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2011
Стр.1
Содержание
Краткая история производных произвольного порядка
1 Необходимые сведения из функционального анализа
5
10
1.1 Некоторые классы функций ................... 10
1.1.1 Метрическое пространство. Теорема Банаха ...... 11
1.1.2 Г¼льдеровы функции, абсолютно непрерывные
ôóíêöèè, класс ACn ................... 13
1.1.3 Класс Lp и его свойства ................. 16
1.2 Специальные функции и символы ............... 18
1.2.1 Гамма-функция, бета-функция, пси-функция, символ
Похгаммера и биномиальные коэффициенты ..... 19
1.2.2 Функция Бесселя первого рода, функция МиттагЛеффлера
и гипергеометрическая функция Гаусса . . 23
2 Определения и свойства дробных производных и
интегралов
26
2.1 Дробные интегралы и производные на отрезке вещественной
оси ................................. 26
2.1.1 Интегральное уравнение Абеля ............. 27
2.1.2 Обоснование решения уравнение Абеля ........ 29
2.1.3 Определение дробных интегралов Римана-Лиувилля . 35
2.1.4 Определение дробных производных Римана-Лиувилля 38
2.1.5 Дробное интегрирование и дифференцирование как
взаимно обратные операции . . . ............ 45
2.1.6 Формулы композиции .................. 50
2.2 Дробная производная Грюнвальда-Летникова ........ 52
3
Стр.3
приписывается почти совершенно ясный и не "фантазийный" результат
d−n
dx−nekx = k−nekx.
Слово "почти" здесь означает, что это выражение справедливо
с точностью до многочлена порядка n−1 с неопределенными
коэффициентами интегрирования;по этой причине мы поставили штрих
над знаком последнего равенства.
Теперь, дав опять же волю воображению, можно ввести и интегралы
отрицательного порядка, считая их соответствующими производными.
Операторы дробного интегродифференцирования имеют довольно
громоздкую конструкцию, и могут принимать различные формы2,
действия которых не всегда совпадают. Но, несмотря на это, дробное
интегродифференцирование используется при решении многих сложных
прикладных задач физики, биологии, теории управления и др., которые
нельзя решить обычными средствами и чему в настоящее время
посвящено большое количество исследований (ñì. книги [8], [9], [12], [21]
и имеющиеся там ссылки на научные источники).
Как уже было отмечено, идея обобщения понятия дифференцирования
на нецелые значения p не является новой и возникла одновременно с
возникновением интегрального и дифференциального исчисления3. Еще
в 1695 г. Готфрид Вильгельм Лейбниц в свойм письме Гийому Франсуа
Лопиталю [22] упоминает о возможности рассматиривать дифференциалы
dp
dxp
и производные порядка 1/2, а в письме Джону Валлису и Якобу Бернулли
2Известны дробные производные Лиувилля, Римана-Лиувилля, Маршо, Вейля и другие.
3Отметим, что по настоящему строгая теория дробного интегродифференцирования появится
значительно позже (30-е годы 19 века), но в процессе становления математического анализа некоторые
обобщения все же были сделаны.
6
Стр.6
в 1697 ã. [23] Лейбниц приводит формулу (âûøå уже нами упомянутую)
dnemx
dxn = mnemx,
(1)
и отмечает, что ей можно придать смысл и при нецелых значениях n.
Леонард Эйлер ввел в обиход научных исследований понятие "гаммафункция"
Γ(x), которая призвана играть роль "факториала" для
нецелых ÷èñåë4. В 1730 ã. в [16] он çàìåòèë, что результату вычисления
производной от степенной функции
dn
dxn xm = m(m−1)...(m−n +1)xm−n,
можно придать смысл и при нецелом p. Именно, для целого n в силу
известного равенства для гамма-функции
Γ(m+1) = m(m−1)...(m−n+1)Γ(m−n +1)
предыдущую формулу можно записать в виде
dp
dxp xm = Γ(m+1)
Γ(m−n +1) xm−n,
аэто выражение вполне осмысленно для произвольных значений n.
И, пожалуй, самое существенное влияние на создание дробного
интегродифференциального исчисления оказал Нильс Хенрик Абель.
Причем он даже не сознавал, что по исследуемой им задаче, которая
казалась занимательной и скорее физической, чем математической, будут
введены новые формы интегродифференцирования. Абель в работе [14]
рассматривал задачу о нахождении кривой, при скольжении по которой
под действием сил гравитации время достижения нижней точки не зависит
от положения начальной точки (эта задача и ее решение приведены в
4Их обычно называют ½гамма функция Эйлера“
7
Стр.7
конце пособия, стр. 79). Эта кривая носит название таутохрона и, как мы
увидим в конце пункта 3.3.1, представляет собой часть циклоиды. Всвязи
с этой задачей5 Абелем было получено решение интегрального уравнения
x
0
(x−t)α = f(x), x>a,
ϕ(t)dt
0 <α < 1.
(2)
Как оказалось в последствии, левая часть этого уравнения представляет
собой интеграл6 дробного порядка 1−α, а его решение соответствующая
дробная производная от правой части этого уравнения. Отметим, что
хотя задача о таутохроне проводит к случаю α=1/2, Абель решил
уравнение (2) именно для произвольного α∈(0, 1). Он выразил это
решение с помощью интеграла порядка α (т.е. с помощью производной
отрицательного порядка):
ϕ(x)= 1
Γ(1−α)
d−αf(x)
dx−α .
По сути, создателем теории дробного интегро-дифференцирования
является Жозеф Ëèóâèëëü. Â1832 ã. в работе [24], следуя Лейбницу (ñì.
(1)), он предложил дифференцировать функции, представимые в виде
ряда f(x)= ∞
k=0
ckeakx по формуле
dν f(x)
dxν =
1
(−1)pΓ(p)
∞
0
k=0
∞
ckaν
keakx.
Вэтой же работе Лиувиллем получена формула
D−pf(x)=
ϕ(x+t)tp−1dt, −∞ 0,
5Сейчас в учебниках эта задача называется ½задачей о таутохроне“
6При α =0 это интеграл первого порядка, что очевидно; при α = −1 это интеграл второго порядка
(т.е. неопределенный интеграл от неопределенного интеграла), что не так очевидно и обсуждается
äàëåå, ñì.ôîìóëó (41) при n =2.
8
Стр.8