МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
А.М.Кытманов, С.Г.Мысливец
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ИХ
ПРИЛОЖЕНИЯ В МНОГОМЕРНОМ КОМПЛЕКСНОМ
АНАЛИЗЕ
Красноярск
СФУ
2010
Стр.1
УДК 517.55
ББК 22.161.5
К 97
Рецензенты: С.В.Знаменский, д-р физ.-мат. наук;
В.В.Чуешев, д-р физ.-мат. наук
Кытманов А.М.
К 97 Интегральные представления и их приложения в многомерном комплексном
анализе: монография/А.М.Кытманов, С.Г.Мысливец. –
Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2010. — 389 c.
ISBN 978-5-7638-1990-8
Монография посвящена интегральным представлениям для голоморфных
функций многих комплексных переменных: Бохнера-Мартинелли,
Коши-Фантаппье, Коппельмана и др. Приведены приложения данных
представлений к аналитическому продолжению функций, формуле Лефшеца,
сингулярным интегральным операторам, ¯
∂-проблеме Неймана,
устранению особенностей CR-функций, дзета-функции систем нелинейных
уравнений и др.
Предназначена для специалистов по многомерному комплексному анализу,
аспирантов и студентов.
The monograph is devoted to integral representations of holomorphic
functions in several complex variables: Bochner-Martinelli, Cauchy-Fantappie,
Koppelman etc. It is considered the applications of given representations
to analytic continuations of functions, Lefschetz formula, singular integral
operators, ¯
∂ Neumann problem, removal of singularities of CR functions, zetafunction
of non-linear system of equations etc.
It intends for specialists in multidimensional complex analysis and
postgraduate students.
УДК 517.55
ББК 22.161.5
- Сибирский
федеральный
c
университет, 2010
ISBN 978-5-7638-1990-8
Стр.2
Предисловие
Интегральное представление Бохнера-Мартинелли для голоморфных
функций многих комплексных переменных появилось в работах Мартинелли
(1938) и Бохнера (1943). Оно было первым по существу многомерным
представлением, в котором интегрирование велось по всей границе
области. Это интегральное представление обладает универсальным ядром
(не зависящим от вида области), так же как ядро Коши в C1. Но в пространстве
Cn при n > 1 ядро Бохнера-Мартинелли является гармонической,
а не голоморфной функцией. Данное обстоятельство долгое время
препятствовало широкому применению интеграла Бохнера-Мартинелли в
многомерном комплексном анализе.
Интерес к представлению Бохнера-Мартинелли возрос в 1970-е гг., что
было связано с повышением внимания к интегральным методам в многомерном
комплексном анализе. Кроме того, оказалось, что весьма общее
интегральное представление Коши-Фантаппье, найденное Лере, легко получается
из представления Бохнера-Мартинелли. В то же время появилось
представление Коппельмана для внешних дифференциальных форм,
частным случаем которого является представление Бохнера-Мартинелли.
Представления Коши-Фантаппье и Коппельмана нашли серьезное применение
в многомерном комплексном анализе при получении удачных ин∂-уравнения,
равномерной аппроксимации голоморфных функций на компактах
и т. д.
Школа по многомерному комплексному анализу, возникшая в Краснотегральных
представлений для голоморфных функций, явного решения
¯
ярске в 60-х гг. прошлого века благодаря Л.А.Айзенбергу и А.П.Южакову,
развивала теорию интегральных представлений и вычетов и их приложений.
В 80-90-х годах прошлого века были изданы монографии, посвященные
интегральным представлениям и вычетам (Л.А.Айзенберг,
Ш.А.Даутов, А.П.Южаков, А.К.Цих, А.М.Кытманов, Н.Н.Тарханов). С
тех пор прошло более 20 лет, появились новые результаты и новые направления
деятельности.
В данную монографию вошли результаты авторов, полученные за последние
годы. В частности, построены точные комплексы, связанные с
комплексом Дольбо; изучены различные семейства комплексных прямых
и кривых, достаточных для голоморфного продолжения функций с границы
ограниченной области; доказан многомерный аналог известной формулы
Лефшеца, вычисляющей полное число Лефшеца для комплекса Дольбо
для строго псевдовыпуклой области в терминах локальных инвариантов
3
Стр.3
Предисловие
неподвижных точек (как внутренних, так и граничных) голоморфного эндоморфизма
f; получены различные условия ¯
∂-замкнутости дифференциальных
форм, позволяющие находить продолжения CR-форм с границы
области; найдены формулы для вычисления степенных сумм корней
систем нелинейных (неалгебраических) уравнений, с помощью них получен
аналог дзета-функции Римана для таких систем; изучен сингулярный
интегральный оператор Бохнера-Мартинелли на гиперповерхностях с особыми
точками конического типа; эти результаты применены к изучению
C∗-алгебры операторов, порожденных оператором Бохнера-Мартинелли,
его сопряженным и операторами умножения на непрерывные функции.
В каком-то смысле данная монография продолжает книгу одного из
авторов [37], изданную затем за рубежом [119]. Во всяком случае первые
две главы нашей книги почти полностью взяты из [37].
Результаты монографии излагались в спецкурсах Института математики
Сибирского федерального университета в 1995–2010 гг.
Нумерация глав и параграфов сквозная. Все утверждения, замечания,
формулы и примеры привязаны к номеру параграфа.
Монография подготовлена при частичной финансовой поддержке
гранта Президента РФ НШ-7347.2010.1; гранта РФФИ, №08-01-00844 и
гранта АВЦП, №2.1.1/4620.
4
Стр.4
Оглавление
Предисловие
Глава 1. Многомерные интегральные представления
1. Интегральное представление Бохнера-Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Интегральное представление Бохнера-Мартинелли . . . . . . . . . . .
3
5
5
9
3. Интегральное представление Коши-Фантаппье . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1. Интегральное представление Лере (Коши-Фантаппье) . . .
12
3.2. Интегральное представление Хенкина-Рамиреза . . . . . . . . . 14
3.3. Интегральное представление Коши-Сеге (Хуа Локена) . . 17
3.4. Интегральное представление Ярмухамедова . . . . . . . . . . . . . 18
3.5. Интегральное представление Андреотти-Норге . . . . . . . . . . 20
4. Интегральная формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Глава 2. Граничные свойства интеграла Бохнера-Мартинелли
28
5. Граничное поведение интеграла Бохнера-Мартинелли . . . . . . . . 28
5.1. Формулы Сохоцкого-Племеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2. Аналог теоремы Привалова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6. Теоремы о скачке интеграла Бохнера-Мартинелли . . . . . . . . . . . 37
6.1. Теорема о скачке для интегрируемых и непрерывных
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7. Теоремы о скачке производных интеграла БохнераМартинелли
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2. Теорема о скачке для функций класса Lp . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.1. Формулы для производных интеграла БохнераМартинелли
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.2. Теоремы о скачке производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.3. Теорема о скачке ¯
∂-нормальной производной . . . . . . . . . . . . 49
8. Оператор Ходжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9. Голоморфность функций, представимых интегралом БохнераМартинелли
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.1. Постановка ¯
9.2. Однородная ¯
∂-задачи Неймана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
∂-задача Неймана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.3. Теоремы о голоморфности функций, представимых
интегралом Бохнера-Мартинелли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
9.4. Разложения ядра Бохнера-Мартинелли по однородным
гармоническим многочленам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
384
Стр.384
Оглавление
Глава 3. Оператор Бохнера-Мартинелли в шаре и полупространстве
65
10.
Интеграл Бохнера-Мартинелли в шаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10.1. Собственные функции оператора Бохнера-Мартинелли
в шаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10.2. Спектр оператора Бохнера-Мартинелли в шаре . . . . . . . . 68
10.3. Вычисление интеграла Бохнера-Мартинелли в шаре . . . 69
11. Интеграл Бохнера-Мартинелли в полупространстве . . . . . . . . . 71
11.1. Вычисление интеграла Бохнера-Мартинелли в полупространстве
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
11.2. Собственные функции оператора Бохнера-Мартинелли
в полупространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
12. Итерации интегрального оператора Бохнера-Мартинелли в
шаре для бесконечно дифференцируемых функций . . . . . . 78
13. Итерации интегрального оператора Бохнера-Мартинелли в
шаре для распределений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
14. Итерации интегрального оператора Бохнера-Мартинелли в
шаре для аналитических функционалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 4. Формула Бохнера-Мартинелли-Коппельмана и ее
модификации
84
15. Спектр оператора Бохнера-Мартинелли в Lp . . . . . . . . . . . . . . . . 87
90
16. Интегральное представление Бохнера-МартинеллиКоппельмана
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
17. Теорема о скачке интеграла Бохнера-МартинеллиКоппельмана
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
17.1. Теорема о скачке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
17.2. Однородная ¯
∂-задача Неймана для дифференциальных
18. Теорема о замкнутости интеграла Mγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
19. Модификации формулы Бохнера-Мартинелли-Коппельмана
19.1. Свойства ядра Vp,q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
19.2. Некоторая модификация формулы Бохнера-МартинеллиКоппельмана
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
20. Условия ¯
21. Условия ¯
19.3. Основная модификация формулы Бохнера-МартинеллиКоппельмана
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
∂-замкнутости форм с гармоническими коэффициентами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
∂-замкнутости дифференциальных форм с гладкими
коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Глава 5. Комплекс Дольбо для оператора Коши-Римана
116
385
форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
103
Стр.385
Оглавление
22. Формула Бохнера-Мартинелли-Коппельмана для пространств
Ws
25. Регулярные области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
25.1. Условие равенства нулю интеграла Mγ в области D . . . 129
25.2. Интегральное описание пространств Vs
25.3. Дифференциальное описание пространств Vs
23. Построение точных комплексов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
23.1. Точный комплекс пространств Vs
24. Описание пространств Vs
23.2. Точный двойной комплекс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
0(D) и Vs
q < n−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
25.4. Дифференциальное описание пространства Vs
Глава 6. Формула Лефшеца для комплекса Дольбо в строго
псевдовыпуклых областях
q (D) . . . . . . . . . . . . . 130
q (D),
n−1(D) . . . 134
139
26. Локальные ядра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
27. Вспомогательный комплекс Дольбо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
28. Построение глобальных интегральных операторов . . . . . . . . . . 144
29. Параметрикс вспомогательного комплекса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
30. Вспомогательные формулы для числа Лефшеца . . . . . . . . . . . . . 148
31. Регуляризация следа оператора f∗ на нулевой группе
когомологий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
32. Полное число Лефшеца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
33. Основная формула для числа Лефшеца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
34. Голоморфная формула Лефшеца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
35. Случай простых неподвижных точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
35.1. Нахождение индексов внутренних неподвижных точек . 157
35.2. Нахождение индексов граничных неподвижных точек . . 159
35.3. Формула для числа Лефшеца в случае простых
неподвижных точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
36. Главное значение по Коши особого интеграла ХенкинаРамиреза
в строго псевдовыпуклых областях . . . . . . . . . . . . . 166
36.1. Теорема о главном значении по Коши интеграла
Хенкина-Рамиреза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
36.2. Вычисление главного значения для разности ядер
Бохнера-Мартинелли и Хенкина-Рамиреза . . . . . . . . . . . . . 169
36.3. Формула Сохоцкого-Племеля для интеграла ХенкинаРамиреза
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
37. Главное значение по Коши особого интеграла Коши-Сеге в
шаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
37.1. Теорема о главном значении по Коши интеграла
Коши-Сеге . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
386
q (D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
q (D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
n(D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Стр.386
Оглавление
37.2. Главное значение интеграла Коши-Сеге в смысле
Керзмана-Стейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
37.3. Главное значение интеграла Бохнера-Мартинелли в
шаре в смысле Керзмана-Стейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Глава 7. Многомерные граничные аналоги теоремы Морера
187
38. Функции со свойством Морера вдоль комплексных и
действительных плоскостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
39. Функции со свойством Морера вдоль комплексных прямых . 192
40. Граничные теоремы Морера в шаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
41. Многомерный логарифмический вычет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
41.1. Формула многомерного логарифмического вычета . . . . . .
204
41.2. О голомоpфности функций, пpедставимых фоpмулой
логаpифмического вычета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
42. Голоморфное продолжение вдоль комплексных кривых и
аналоги теоремы Морера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
42.1. Голоморфное продолжение вдоль кривых . . . . . . . . . . . . . . . 213
42.2. Некоторые интегральные критерии голоморфного
продолжения функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
42.3. Аналоги теоремы Морера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
43. Теорема Морера в классических областях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
43.1. Классические области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
43.2. Теорема Морера в классических областях . . . . . . . . . . . . . . 229
43.3. Аналог теоремы Гартогса-Бохнера в классических
областях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
44. О достаточности семейства комплексных прямых, пересекающих
порождающее многообразие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
44.1. Пример семейства комплексных прямых, не являющихся
достаточным семейством . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
44.2. Достаточные семейства комплексных прямых . . . . . . . . . .
45. О многомерном аналоге теоремы Морера для вещественно
аналитических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Глава 8. Задача Коши для оператора Коши-Римана
251
46. Задача Коши для уравнения Коши-Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
46.1. Постановка задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
46.2. Единственность задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
46.3. Необходимые условия разрешимости задачи Коши . . . . . 253
46.4. Достаточные условия разрешимости задачи Коши . . . . . 254
46.5. Условия разрешимости задачи Коши в шаре . . . . . . . . . . . . 257
47. Базисы с двойной ортогональностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
48. Многомерные аналоги формулы Карлемана . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
48.1. Формула Карлемана-Голузина-Крылова . . . . . . . . . . . . . . . . 264
387
240
Стр.387
Оглавление
48.2. Теорема Тарханова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
48.3. Формула Айзенберга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
48.4. Условия разрешимости задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
48.5. Формулы Карлемана, основанные на базисах с двойной
ортогональностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
49. Задача Коши для комплекса Дольбо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
49.1. Различные постановки задачи Коши для комплекса
Дольбо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
49.2. Условия разрешимости задачи Коши для комплекса
Дольбо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
49.3. Условия разрешимости задачи Коши в терминах
когомологий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Глава 9. Аналитическое представление CR-функций на гиперповерхностях
с особенностями
284
50. Аналитическое представление CR-функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
51. Теорема об аналитическом представлении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
52. Граничное поведение представляющих функций . . . . . . . . . . . . 295
Глава 10. Особый интегральный оператор Бохнера-Мартинелли 306
53. Определение особого интегрального оператора БохнераМартинелли
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
54. Поведение особого интегрального оператора БохнераМартинелли
в весовых пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
55. Теорема Привалова и теорема о скачке для интеграла
Бохнера-Мартинелли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
56. Конормальный символ для MS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
57. Алгебра, порожденная MS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Глава 11. Дзета-функция и нелинейные системы уравнений
326
58. Разделяющие циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
59. Вычетный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
60. Инволютивное преобразование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
61. Степенные суммы для систем полиномов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
62. Степенные суммы для систем мероморфных функций . . . . . . 333
63. Формулы для нахождения степенных сумм . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
64. Упрощенная система уравнений и суммы кратных рядов . . . 338
64.1. Упрощенная система уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
64.2. Вычисление сумм кратных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
65. Многомерные аналоги рекуррентных формул Ньютона для
систем нелинейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
65.1. Вычисление некоторых интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
65.2. Аналоги формул Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
66. Дзета-функция нелинейных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
388
Стр.388