В .В. Осипов
ISBN 978-5-7638-2538-1
9 785763 825381
Моделирование динамических процессов
методом точечных представлений
В монографии рассматриваются теоретические вопросы моделирования многомерных функциональных
представлений и многомерных линейных нестационарных
систем управления, а также различные теоретические
аспекты терминального управления в одномерных динамических системах методом точечных представлений на
смежных чебышевских сетках. <...> ISBN 978-5-7638-2538-1
В монографии рассматриваются теоретические вопросы моделирования
многомерных функциональных представлений и многомерных линейных
нестационарных систем управления, а также различные теоретические аспекты терминального управления в одномерных динамических системах
методом точечных представлений на смежных чебышевских сетках. <...> Другие математические методы, используемые в современной теории управления динамическими объектами (общая теория дифференциальных и интегральных уравнений, функциональный
анализ и др.), играющие фундаментальную роль, в прикладном отношении также часто оказываются недостаточно конструктивными и мало приспособленными для компьютерной реализации. <...> В этом отношении, в частности, представляется весьма эффективным метод точечных представлений (точечного моделирования),
который позволяет достаточно просто преобразовывать и приближенно представлять в векторно-матричной форме линейные дифференциальные уравнения разного типа (с постоянными и переменными коэффициентами), описывающие динамические системы на
конечных временных промежутках. <...> Возникающие при
этом конечномерные модели есть гомоморфные образы соответствующих объектов, имеющие максимально возможную степень адекватности, увеличивающуюся с ростом размерности до нулевой эквивалентности. <...> Данная работа является продолжением исследований, опубликованных в [64−78], где были рассмотрены точечные модели скалярных
(одномерных) функциональных представлений <...>
Моделирование_динамических_процессов_методом_точечных_представлений.pdf
В. В. ОсипОВ
Моделирование
динаМических процессов
МетодоМ точечных
представлений
Монография
Институт фундаментальной подготовки
Стр.1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
В. В. Осипов
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ МЕТОДОМ ТОЧЕЧНЫХ
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Монография
Красноярск
СФУ
2012
Стр.2
УДК 519.6
ББК 22.192.3
0-741
Рецензенты:
А. М. Попов, доктор физико-математических наук, профессор, директор
института информатики и телекоммуникаций Сибирского государственного
аэрокосмического университета;
В. П. Григорьев, доктор физико-математических наук, профессор,
зав. кафедрой прикладной математики института кибернетики Томского
политехнического университета;
В. И. Гончаров, доктор технических наук, профессор, зав. научнообразовательной
лабораторией мехатроники, профессор каф. интегрированных
компьютерных систем управления Томского политехнического
университета
Осипов, В.В.
0-741
Моделирование динамических процессов методом точечных
представлений: монография / В.В. Осипов. – Красноярск : Сиб.
федер. ун-т, 2012. − 304 с.
ISBN 978-5-7638-2538-1
В монографии рассматриваются теоретические вопросы моделирования
многомерных функциональных представлений и многомерных линейных
нестационарных систем управления, а также различные теоретические аспекты
терминального управления в одномерных динамических системах
методом точечных представлений на смежных чебышевских сетках.
Книга рассчитана на научных работников, аспирантов и инженеров, использующих
в своей работе методы прикладной математики.
УДК 519.6
ББК 22.192.3
ISBN 978-5-7638-2538-1
© Сибирский федеральный университет, 2012
Стр.3
Введение
ВВЕДЕНИЕ
Математическое моделирование − это математическое описание
разнообразных объективно существующих реальностей: явлений
и систем различной природы, процессов и сигналов, многообразных
зависимостей и причинно-следственных связей.
При этом классы и типы математических моделей как математические
объекты сами становятся предметами теоретических исследований
в различных разделах прикладной математики и не только прикладной,
развивая и обогащая их новыми идеями и направлениями.
Для моделирования таких процессов и их взаимодействий (в линейных
стационарных системах) широко используется метод операторно-частотных
представлений, основанный на применении преобразования
Лапласа и Фурье. Однако этот математический аппарат оказался
в общем случае не конструктивным при переходе к временным
оригиналам, неэффективным и малопригодным для решения задач современной
теории управления динамическими системами, связанных
по своему содержанию с конечным промежутком времени. Это задачи
управляемости и наблюдаемости, а особенно разнообразные задачи
терминального управления и др. Этот аппарат совершенно не годится
для описания (моделирования) нестационарных и нелинейных динамических
систем. Другие математические методы, используемые в современной
теории управления динамическими объектами (общая теория
дифференциальных и интегральных уравнений, функциональный
анализ и др.), играющие фундаментальную роль, в прикладном отношении
также часто оказываются недостаточно конструктивными и мало
приспособленными для компьютерной реализации.
Отметим также математический метод, основанный на замене
непрерывных (аналоговых) сигналов их значениями в дискретные
моменты времени (квантование) с последующей аппроксимацией
дифференциальных уравнений соответствующими разностными
уравнениями.
Используемое при этом дискретное преобразование создает аналитический
аппарат моделирования непрерывных динамических систем,
более конструктивный, чем традиционный подход.
Вместе с тем этот аппарат в значительной степени сохраняет
и те же недостатки, которые присущи традиционному подходу, основанному
на преобразовании Лапласа.
3
Стр.4
Введение
В связи с этим остается актуальной разработка эффективных
приближенно-аналитических методов моделирования и решения на
их основе разнообразных задач прикладной теории управляемых динамических
систем.
В этом отношении, в частности, представляется весьма эффективным
метод точечных представлений (точечного моделирования),
который позволяет достаточно просто преобразовывать и приближенно
представлять в векторно-матричной форме линейные дифференциальные
уравнения разного типа (с постоянными и переменными
коэффициентами), описывающие динамические системы на
конечных временных промежутках. В результате разнообразные задачи
теории управления формулируются как задачи линейной алгебры
и конечномерного функционального анализа, для решения
которых может быть использован имеющийся уже мощный арсенал
вычислительных методов. В сущности он использует принципы
теории представления алгебраических структур − одного из фундаментальных
разделов современной математики. Возникающие при
этом конечномерные модели есть гомоморфные образы соответствующих
объектов, имеющие максимально возможную степень адекватности,
увеличивающуюся с ростом размерности до нулевой эквивалентности.
Данная
работа является продолжением исследований, опубликованных
в [64−78], где были рассмотрены точечные модели скалярных
(одномерных) функциональных представлений, построенных на основе
смежных чебышевских N-сеток.
Это точечные модели обыкновенных линейных дифференциальных
уравнений n-го порядка общего вида и эквивалентных им интегральных
уравнений, а также различные аспекты точечного обращения
интегральных преобразований Лапласа и Фурье.
Полученные точечные решения соответствующих задач при любом
конечном N оказываются гомоморфными отображениями элементов
функциональных алгебраических структур, что с ростом N
обеспечивает их сходимость к точным решениям через сплайновые
представления. Проведенные расчеты показывают высокую эффективность
метода.
Его эффективность сохраняется и при решении задач многомерной
прикладной математики. Это задачи Коши для n-мерных линейных
дифференциальных уравнений общего вида, задачи управляемости
и наблюдаемости, устойчивости линейных нестационарных сис4
Стр.5
Введение
тем, а также задачи терминального управления. Ниже излагаются основные
аспекты точечного моделирования и решения таких задач.
Автор выражает глубокую признательность и благодарность
всем родным и близким, а особенно своему отцу, учителю и коллеге
д.ф-м.н., профессору В. М. Осипову, за понимание и всяческую помощь
в написании данной работы.
Все замечания и предложения автор примет с благодарностью
по электронной почте: vv-osipov@ya.ru.
5
Стр.6
Оглавление
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ........................................................................................................ 3
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных
представлений ............................................................................. 6
1.1. Точечные представления вектор-функций и некоторых
операций с ними ............................................................................... 6
1.2. Точечные модели задач Коши для n-мерных линейных
дифференциальных уравнений общего вида и эквивалентных
интегральных уравнений ................................................................. 21
1.3. Алгебраические свойства точечных моделей многомерных
функциональных представлений ................................................... 54
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных
нестационарных систем управления ..................................... 90
2.1. Точечные модели многомерных линейных динамических
систем. Передаточные матрицы ..................................................... 90
2.2. Управляемость линейных динамических систем как свойство
их точечных моделей ....................................................................... 105
2.3. Наблюдаемость в линейных нестационарных динамических
системах ............................................................................................ 119
2.4. Обратная связь в точечных моделях линейных динамических
систем. Управляемость и наблюдаемость ..................................... 149
2.5. Устойчивость и точечные модели линейных нестационарных
динамических систем ...................................................................... 158
Глава 3. Задачи терминального управления одномерными
линейными динамическими объектами ................................ 195
3.1. Точечные модели. Алгебраические свойства ................................ 195
3.2. Управление конечным состоянием при фиксированном
времени процесса ............................................................................. 209
3.3. Некоторые экстремальные задачи терминального
управления ........................................................................................ 222
3.4. Некоторые экстремально-оценочные задачи для норм в матрично-векторных
представлениях ................................................. 232
3.5. Множество оптимальных управлений. Задача о максимальном
быстродействии ................................................................................ 253
3.6. Точечно-векторные и формульные представления сигналов
и теорема Котельникова .................................................................. 276
Список литературы .................................................................................... 295
303
Стр.304