Устойчивость уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами: Учебное пособие (290,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова С.А. Кащенко Устойчивость уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами Учебное пособие Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов специальностей Математика и Прикладная математика и информатика ЯРОСЛАВЛЬ 2005

Стр.1

УДК 517.925 ББК В161.61я73 К 31 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. План 2004 года Рецензенты: доктор физ.-мат. наук, профессор Н.Х. Розов; кафедра математики физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова Кащенко, С.А. Устойчивость уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами: Учебное пособие / С.А. Кащенко; К 31 Яросл. гос. ун-т. – Ярославль: ЯрГУ, 2005. – 216 с. ISBN 5-8397-0362-1 Изложена теория устойчивости решений линейных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами, базирующаяся на теории зон устойчивости А.М. Ляпунова. В качестве приложений асимптотическими методами исследованы вопросы устойчивости для широких классов регулярно и сингулярно возмущенных уравнений, в том числе уравнений с точками поворота. Рассмотрены классические вопросы построения функции Грина и вывода асимптотических законов распределения собственных значений периодической и антипериодической краевых задач. Учебное пособие по дисциплине ”Дифференциальные уравнения“ (блок ОПД) предназначено студентам специальностей 010100 Математика и 010200 Прикладная математика и информатика очной формы обучения. Рис. 3. Библиогр.: 36 назв. УДК 517.925 ББК В161.61.я73 ISBN 5-8397-0362-1  Ярославский государственный университет c им. П.Г. Демидова,  Кащенко С.А., c 2005 2005

Стр.2

Оглавление Введение 1 Теория зон устойчивости 6 7 § 1.1. Теоремы сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 § 1.2. Краевые задачи Штурма - Лиувилля . . . . . . . . . . . 10 § 1.3. Уравнения с периодическими коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 § 1.4. Теория зон устойчивости А.М. Ляпунова . . . . . . . . . 18 § 1.5. Об одном критерии неустойчивости решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 § 1.6. Распространение теории зон устойчивости на несамосопряженный случай . . . . . . . . 42 2 Устойчивость решений уравнений с близкими к постоянным коэффициентами 49 § 2.1. Уравнения с близкими к нулевым коэффициентами . . . 49 § 2.2. Уравнения с близкими к постоянным коэффициентами . 53 § 2.3. Параметрический резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3 Устойчивость решений сингулярно возмущенных уравнений 61 § 3.1. Устойчивость решений уравнений без точек поворота . . 61 § 3.2. Уравнения с точками поворота . . . . . . . . . . . . . . . 65 § 3.3. Уравнения со знакопеременным и гладким коэффициентом p(t) . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4 Асимптотические законы распределений собственных значений периодической и антипериодической краевых задач 3 84

Стр.3

4 § 4.1. Асимптотика собственных значений для уравнений без точек поворота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 § 4.2. Асимптотика собственных значений при условии r(t) ≥ 0 87 § 4.3. Асимптотика собственных значений в случае знакопеременной r(t) . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5 Параметрический резонанс при двухчастотном возмущении 103 § 5.1. Постановка задачи и редукция к специальному уравнению второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 § 5.2. Исследование уравнений первого приближения при достаточно больших значениях расстройки между частотами внешних возмущений . . . . . . . . . . . 106 § 5.3. Исследование уравнения первого приближения при достаточно малой расстройке между частотами внешних возмущений . . . . . . . . . . . 107 6 Функции Грина периодической краевой задачи 111 § 6.1. Функции Грина первого порядка . . . . . . . . . . . . . . 111 § 6.2. Функция Грина уравнения второго порядка . . . . . . . 115 § 6.3. Вырожденные случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 § 6.4. О приближенном вычислении первых собственных значений . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7 Предельные значения собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота 127 § 7.1. Постановка задачи и формулировка основного результата 128 § 7.2. Обоснование предельного свойства функции s(b) . . . . 136 § 7.3. Вспомогательное утверждение . . . . . . . . . . . . . . . 141 § 7.4. Обоснование теоремы 7.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 § 7.5. Обобщение результата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 8 Асимптотика собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота 160 § 8.1. Постановка задачи и формулировка результата . . . . . 160 § 8.2. Вспомогательные утверждения . . . . . . . . . . . . . . . 166 § 8.3. Обоснование теоремы 8.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 О Г ЛАВЛЕНИЕ

Стр.4

О Г ЛАВЛЕНИЕ 5 9 Асимптотика собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений второго порядка с точками поворота § 9.2. Обоснование теоремы 9.1.1 для собственных значений λ+ § 9.3. Вспомогательное утверждение . . . . . . . . . . . . . . . 187 § 9.4. Завершение доказательств приведенных теорем . . . . . 191 § 9.5. Постановка задачи и основные результаты в несамосопряженном случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 1 (ε) и λ− § 9.6. Несамоcопряженный случай: вспомогательное утверждение . . . . . . . . . . . . . . . . 196 § 9.7. Обоснование теоремы 9.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 § 9.8. Обоснование соотношений (9.5.8) . . . . . . . . . . . . . 203 § 9.9. Обоснование соотношений (9.5.7) . . . . . . . . . . . . . 204 § 9.10. Завершение доказательств теорем несамосопряженного случая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Литература 212 183 § 9.1. Постановка задачи и формулировка результатов в самосопряженном случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 1 (ε) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Стр.5