П.Г. Демидова
Кафедра теории функций и функционального анализа
Элементы компьютерной алгебры
Методические указания
Ярославль 2004
ББК
УДК
В 14я73+В15я73
Э 45
51(075)
Составители: Ф.И. Папоркова, Н.Б. Чаплыгина
Элементы компьютерной алгебры: Метод. указания / Сост. <...> Предназначены для студентов первого курса математического факультета,
обучающихся по дисциплине «Дополнительные главы геометрии и алгебры»
(блок ЕН), специальности 010200 Прикладная математика и информатика, очной формы обучения. <...> © Ярославский государственный университет, 2004
© Ф.И. Папоркова, Н.Б. Чаплыгина, 2004
Учебное издание
Элементы компьютерной алгебры
Составители: Папоркова Флорида Идыфатовна
Чаплыгина Надежда Борисовна
Редактор, корректор В.Н. Чулкова
Компьютерная верстка И.Н. Ивановой
Подписано в печать 08.04.2004 г. Формат 60×84/16. <...> 2
.
Преобразование точек плоскости
Пусть задана прямоугольная система координат и точка Р(х,у) с
координатами х и у, задаваемая матрицей (ху). <...> Рассмотрим несколько частных случаев, демонстрирующих разное влияние отдельных элементов матрицы на перемещение точки Р. <...> = ( х * у *)
0 1
и
или
осуществляет симметричное отображе-
ние точки Р(х,у) относительно начала координат, что эквивалентно
повороту точки на 180о:
( ху)
− 1 0 <...> ах = х*,
у = у *.
осуществляет перемещение точки Р(ху) в
направлении оси Оу. <...> 0 d
вызывает перемещение одновременно вдоль
осей Ох и Оу. <...> При а=d>1 имеет место увеличение масштаба координат точки Р. <...> Итак, элементы
главной диагонали матрицы преобразования вызывают отображение
и изменение масштаба координат. <...> Далее рассмотрим влияние элементов побочной диагонали матрицы преобразования. <...> 0
1
(ху)
270о против часовой
Таким образом, элементы побочной диагонали матрицы вызывают либо поворот, либо симметричное отображение. <...> где b≠±1, с≠±1, осуществляют
симметрию с последующим изменением масштаба соответственно по
оси Ох и оси Оу. <...> Результат преобразования точек с помощью матрицы общего вида, когда преобразование применено <...>
Элементы_компьютерной_алгебры__Методические_указания.pdf
Министерство образования Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Кафедра теории функций и функционального анализа
Элементы компьютерной алгебры
Методические указания
Ярославль 2004
Стр.1
ББК В 14я73+В15я73
Э 45
УДК 51(075)
Составители: Ф.И. Папоркова, Н.Б. Чаплыгина
Элементы компьютерной алгебры: Метод. указания / Сост. Ф.И. Папоркова,
Н.Б. Чаплыгина; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль, 2004. – 32 с.
Цель данных методических указаний – помочь студентам в приобретении
и закреплении элементарных навыков самостоятельного написания программ,
связанных с изучением курса «Геометрия и алгебра. Часть 1».
Предназначены для студентов первого курса математического факультета,
обучающихся по дисциплине «Дополнительные главы геометрии и алгебры»
(блок ЕН), специальности 010200 Прикладная математика и информатика, очной
формы обучения.
Рецензент: кафедра теории функций и функционального анализа Ярославского
государственного университета им. П.Г. Демидова.
© Ярославский государственный университет, 2004
© Ф.И. Папоркова, Н.Б. Чаплыгина, 2004
Учебное издание
Элементы компьютерной алгебры
Составители: Папоркова Флорида Идыфатовна
Чаплыгина Надежда Борисовна
Редактор, корректор В.Н. Чулкова
Компьютерная верстка И.Н. Ивановой
Подписано в печать 08.04.2004 г. Формат 60×84/16.Бумага тип.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,86. Уч.-изд. л. 1,6. Тираж экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе
Ярославского государственного университета.
Отпечатано на ризографе.
Ярославский государственный университет.
150000 Ярославль, ул. Советская, 14.
2
.
Стр.2
Преобразование точек плоскости
координатами х и у, задаваемая матрицей (ху). Под воздействием линейного
преобразования, осуществляемого матрицей А=
Пусть задана прямоугольная система координат и точка Р(х,у) с
= ( * *) или aх+су=х*, bx+dy=y*.
, точка
Р(х,у) отображается в точку Р*(х*, у*), что эквивалентно записи
( )
Рассмотрим несколько частных случаев, демонстрирующих разное
влияние отдельных элементов матрицы на перемещение точки Р.
Начнем с элементов главной диагонали:
не меняет положения точки Р. Действительно, ( )
х=х*, у=у*.
2. Матрица А=
−
0
1
−1 осуществляет симметричное отображе0
ние точки Р(х,у) относительно начала координат, что эквивалентно
повороту точки на 180о:
−
( )
3. Матрица А=
−
0
1
4. Матрица А=
−1 = ( *, *),
0
0
1
относительно оси Ох:
правлении оси Ох:
6. Матрица А=
направлении оси Оу.
3
5. Матрица А=0
0
1
−1
0
1
0
0
1
1
0
ки Р(х,у) относительно оси Оу:
( )
−
0
1
−1 = ( *, *),
0
− = *,
− =
*.
вызывает симметричное отображение точ−
= *,
=
*.
осуществляет отображение, симметричное
0
( )
( ) 0
1
0
0
1
−1 = ( *, *),
= ( *, *),
= *,
= *,
− =
*.
вызывает перемещение точки Р(ху) в на
=
0
*.
осуществляет перемещение точки Р(ху) в
1. Тождественное преобразование задается матрицей А=
0
1
1
0
0
1
1
0
и
= ( * *) или
a d
c
b
ху
у
ху
х
ху
xy
a d
ху
c
b
ху
у
у
х
ху
ху
а
х
ах
ху
а
ху
d
ху
ху
х
х
х
у
у
у
х
у
у
Стр.3
7. Матрица А=0
0
вызывает перемещение одновременно вдоль
осей Ох и Оу. При а=d>1 имеет место увеличение масштаба координат
точки Р. При 0
Стр.4
13. Матрица А=
( )
0 0)
1
1 0
1
1 0
= ( *, *),
= ( * *)
вызывает сдвиг в направлении оси Ох:
( +
) ( * *),
=
+ = *,
=
*.
да, когда преобразование применено к началу координат, имеет вид
(
Результат преобразования точек с помощью матрицы общего ви
*
0, * 0 . Это означает, что начало ко=
=
ординат
является инвариантом. Это ограничение может быть преодолено
путем введения однородных координат, о которых более подробно
будет сказано позднее. Сейчас мы лишь заметим, что эта трудность
преодолевается при помощи преобразования, задаваемого матрицей
вида
(
А=0
у*,у
Р
А= 0
у*,у
Р*
х,х*
Р*
5
−1
х,х*
1
0
у*,у
Р
Р
Р
х,х*
Р*
х,х*
Р*
1)
1
0
у*,у
Р
Р
Р*
А=
0
1
х,х*
−1
0
у*,у
х,х*
А= 0
−1
0
−1
0 1 0
1 0 0
1
0 1 0
1 0 0
, и введения третьей компоненты в радиусвекторы
точек Р(х,у) и Р*(х*,у*), т.е. представляя их в виде (х у 1) и
(х* у* 1). Действительно, имеем:
1
= ( * *1)
А=
0
1
0
у*,у
Р*
( +
+
1 =) ( * *1).
А=0
0
y
xcy
xy
xcy
c
ху c
bd
a c
mn
mn
х
у
a
xy
ху
и
xy
и
ли
d
ли
x
m
y
у
х
y
n
xy
a d
х
у
Стр.5