В.И. ИКРЯННИКОВ, Э.Б. ШВАРЦ
ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
ПРЕДЕЛЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Учебное пособие для студентов заочного отделения
НОВОСИБИРСК
2009
УДК 517.2(076.5)
И 425
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф. <...> Полное исследование и построение графика функции ............ 65 <...> Важнейшие сведения из элементарной математики ....... 80
4
Предисловие
к серии пособий «Практикум по высшей математике»
для студентов заочного отделения
«Цель расчетов – не числа, а понимание» <...> Р.В. Хемминг
Авторы задались целью выпустить серию пособий по практическому освоению методов решения задач. <...> Как бы трудно ни было на первых порах изучать высшую математику, постарайтесь придерживаться двух правил: заниматься регулярно, «хотя бы по чуть – чуть» и почаще заглядывать в учебники и справочники по элементарной математике, чтобы восстановить подзабытое
со школы. <...> Авторы надеются, что выпускаемая серия пособий облегчит студентам самостоятельно освоить математику в пределах вузовской программы. <...> В первой части рассматриваются: предел числовой последовательности,
предел функции, методы нахождения пределов и непрерывность функции. <...> Во второй части изучается дифференциальное исчисление и его
приложение к исследованию функций и построению графиков. <...> В первую очередь, необходимо в совершенстве освоить технику вычисления
производных от любых, сколь угодно сложных функций. <...> Диаграмма сложной функции – это последовательность простых функций, для которых известны производные
7
(таблица производных). <...> В этой же части приводится введение в дифференциальное исчисление функции многих переменных. <...> Главная задача студентов – понять, что
представляет собой функция многих переменных, ее коренное отличие от функции одной переменной, освоить технику вычисления
частных производных и полного дифференциала функции. <...> В приложении приводятся важнейшие сведения из курса элементарной математики. <...> «Выполняется неравенство (равенство)».
множество <...>
Практикум_по_высшей_математике._Пределы._Дифференциальное_исчисление.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
В.И. ИКРЯННИКОВ, Э.Б. ШВАРЦ
ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
ПРЕДЕЛЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Учебное пособие для студентов заочного отделения
НОВОСИБИРСК
2009
Стр.1
УДК 517.2(076.5)
И 425
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф. А.Г. Пинус;
канд. техн. наук, доц. В.И. Бутырин
Икрянников В.И.
И 425 Практикум по высшей математике. Пределы. Дифференциальное
исчисление : учеб. пособие / В.И. Икрянников, Э.Б. Щварц. –
Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2009. – 86 с.
ISBN 978-5-7782-1209-1
Учебное пособие представляет собой первую часть «Практикума по
высшей математике». Оно состоит из двух частей: пределы и дифференциальное
исчисление. Пособие предназначено помочь студентам самостоятельно
овладеть навыками решения типовых задач по математике, необходимыми
для успешной сдачи экзамена и в последующем изучении
специальных дисциплин. Пособие снабжено большим количеством примеров,
решение которых сопровождается подробными комментариями.
Кроме этого, в начале каждой новой темы приводится краткий теоретический
материал, позволяющий облегчить понимание методов решения задач.
Пособие предназначено для студентов заочного отделения.
УДК 517.2(076.5)
ISBN 978-5-7782-1209-1
© Икрянников В.И., Щварц Э.Б., 2009
© Новосибирский государственный
технический университет, 2009
2
Стр.2
Содержание
Предисловие к серии пособий «Практикум по высшей математике»
для студентов заочного отделения ............................................................. 5
Предисловие к пособию «Практикум по высшей математике.
Пределы. Дифференциальное исчисление»............................................... 7
Обозначения ................................................................................................. 9
Часть 1. Пределы ........................................................................................ 11
1. Предел числовой последовательности .............................................. 11
2. Предел функции .................................................................................. 16
2.1. Основные теоремы о пределах. Непрерывность функции ....... 19
3. Методы вычисления пределов ........................................................... 20
3.1. Случай
nx
............................................................... 20
3.2. Случай x a a R .................................................................... 25
3.2.1. Алгебраические функции .................................................. 25
3.2.2. Тригонометрические функции.
Первый замечательный предел ......................................... 29
3.3. Неопределенность вида 1
Второй замечательный
предел. .......................................................................................... 32
3.4. Метод эквивалентных замен ....................................................... 34
4. Исследование функций на непрерывность ....................................... 38
Часть 2. Дифференциальное исчисление ................................................. 41
1. Определение производной и дифференциала.
Таблица производных ......................................................................... 41
2. Техника вычисления производных .................................................... 44
2.1. Правила построения диаграмм сложных функций ................... 45
3
Стр.3
2.2. Вычисление производной сложных функций ........................... 47
2.3. Вычисление производных высших порядков. ........................... 53
3. Вычисление пределов при помощи правила Лопиталя ................... 57
4. Исследование функций ...................................................................... 60
4.1. Полное исследование и построение графика функции ............ 65
5. Дифференциальное исчисление функции многих переменных ..... 71
5.1. Определение функции многих переменных .............................. 71
5.2. Частные производные .................................................................. 73
5.3. Дифференцирование сложных функций .................................... 76
Приложение. Важнейшие сведения из элементарной математики ....... 80
4
Стр.4