Линии второго порядка в проективных координатах
§ 9.6. <...> Линейные подпространства и операции над ними
§ 10.4. <...> Общие сведения о билинейных и полуторалинейных функциях . <...> Симметрические и кососимметрические, эрмитовы и косоэрмитовы функции . <...> Операторы в евклидовых пространствах и системы
линейных уравнений (268). <...> Операторы в псевдоевклидовых, эрмитовых, симплектических пространствах и в пространствах с общим скалярным произведением . <...> 240
241
Глава 14
273
Глава 15
Квадратичные функции и поверхности второго порядка . <...> Тензоры в евклидовых и симплектических пространствах
§ 16.5. <...> 24. Ш и л о в Е . Г . Конечномерные линейные пространства. <...> Базис в пространстве — это произвольная тройка некомпланарных векторов e1 , e2 , e3 . <...> На прямой базис образует произвольный ненулевой вектор. <...> С каждым репером O, e1 , . . . , ek (где k = 1, 2, 3 в случае прямой, плоскости и пространства соответственно) связывается аффинная
система координат, в которой координатами произвольной точки M
являются числа x1 , . . . , xk такие, что
−−→
OM = x1 e1 + . . . + xk ek . <...> Найти аффинные координаты вершин правильного шестиугольника ABCDEF , принимая за начало отсчета точку A, а за базис —
−
−
→ −−→
пару векторов AB, BC. <...> Скалярное произведение
В прямоугольной системе координат на плоскости скалярное проd
изведение (a, b) = |a| · |b| cos(a,
b) векторов a(x1 , y1 ) и b(x2 , y2 ) вычисляется по формуле
(a, b) = x1 x2 + y1 y2 . <...> Скалярное, векторное и смешанное произведения
в аффинной системе координат
Метрическими коэффициентами базиса e1 , e2 на плоскости или
базиса e1 , e2 , e3 в пространстве называют следующие скалярные произведения:
gij = (ei , ej ). <...> Если два вектора на плоскости заданы своими координатами a =
= (x1 , x2 ), b = (y1 , y2 ) относительно произвольного базиса, то их скалярное произведение вычисляется по формуле
(a, b) =
2 X
2
X
i=1 j=1
y
gij xi yj = x1 x2 G 1 ,
y2
где gij — метрические коэффициенты данного базиса. <...> При каких условиях на числа g11 , g12 , g21 , g21 <...>
Сборник_задач_по_аналитической_геометрии_и_линейной_алгебре_.pdf
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Часть I
Аналитическая геометрия
Глава 1
Системы координат на плоскости и в пространстве . . . . . 13
§ 1.1. Системы координат: первые задачи . . . . . . . . . . . . . 13
§ 1.2. Полярные, сферические и цилиндрические системы координат
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§ 1.3. Элементы векторной алгебры и аффинные системы координат
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§ 1.4. Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
§ 1.5. Ориентация, векторное и смешанное произведения . . . . . 26
§ 1.6. Скалярное, векторное и смешанное произведения в аффинной
системе координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Глава 2
Геометрические места точек, составление уравнений кривых
на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
§ 2.1. Эллипс, гипербола, парабола и их простейшие свойства . . 36
§ 2.2. Составление уравнений кривых на плоскости . . . . . . . . 41
Глава 3
Прямые на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§ 3.1. Составление уравнения прямой по различным способам ее
задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§ 3.2. Взаимное расположение прямых на плоскости. Пучки прямых
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
§ 3.3. Линейные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§ 3.4. Метрические задачи на прямую: перпендикуляры, углы и
расстояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
§ 3.5. Метрические задачи на плоскости в произвольной аффинной
системе координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Стр.2
4
Оглавление
Глава 4
Прямые и плоскости в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . 58
§ 4.1. Составление уравнений прямых и плоскостей . . . . . . . . 58
§ 4.2. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
Пучки и связки плоскостей. Связки прямых . . . . . . . . 62
§ 4.3. Линейные неравенства в пространстве . . . . . . . . . . . 69
§ 4.4. Метрические задачи в пространстве . . . . . . . . . . . . . 70
§ 4.4. Метрические задачи в пространстве в произвольной аффинной
системе координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Глава 5
Аффинные и ортогональные замены координат . . . . . . . . 76
Глава 6
Кривые второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§ 6.1. Составление уравнений кривых второго порядка . . . . . . 85
§ 6.2. Нахождение вида и расположения линии второго порядка по
уравнению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
§ 6.3. Ортогональные инварианты линий второго порядка . . . . 90
§ 6.4. Аффинные типы линий второго порядка . . . . . . . . . . 92
§ 6.5. Касательные к линии второго порядка . . . . . . . . . . . 93
§ 6.6. Диаметры, взаимно сопряженные, и асимптотические направления
линий второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
§ 6.7. Пучки и связки линий второго порядка . . . . . . . . . . . 101
Глава 7
Поверхности второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
§ 7.1. Составление уравнений поверхностей . . . . . . . . . . . . 106
§ 7.2. Простейшие свойства поверхностей второго порядка . . . . 110
§ 7.3. Приведение поверхности к каноническому виду . . . . . . 112
§ 7.4. Ортогональные инварианты поверхностей второго порядка . 115
§ 7.5. Касательные и диаметральные плоскости. Прямолинейные
образующие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
§ 7.6. Плоские сечения поверхностей второго порядка . . . . . . 125
Глава 8
Аффинные и изометрические преобразования . . . . . . . . . 130
§ 8.1. Аффинные преобразования плоскости . . . . . . . . . . . . 131
§ 8.2. Аффинные преобразования пространства . . . . . . . . . . 134
§ 8.3. Аффинные преобразования и линии второго порядка . . . 135
§ 8.4. Изометрические преобразования плоскости и пространства . 138
Стр.3
Оглавление
Глава 9
Проективная геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
§ 9.1. Проективная прямая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
§ 9.2. Проективные преобразования прямой . . . . . . . . . . . . 144
§ 9.3. Проективная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
§ 9.4. Проективные преобразования плоскости . . . . . . . . . . 149
§ 9.5. Линии второго порядка в проективных координатах . . . . 151
§ 9.6. Поляритет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Часть II
Линейная алгебра
Глава 10
Основные понятия линейной алгебры . . . . . . . . . . . . . . 159
§ 10.1. Векторное пространство, линейная независимость . . . . 159
§ 10.2. Базис, размерность, координаты . . . . . . . . . . . . . . 163
§ 10.3. Линейные подпространства и операции над ними . . . . . 166
§ 10.4. Линейные функции и отображения . . . . . . . . . . . . . 171
§ 10.5. Аффинные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Глава 11
Операторы в линейных пространствах . . . . . . . . . . . . . 179
§ 11.1. Матрица линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . 179
§ 11.2. Ядро и образ линейного оператора. Инвариантные подпространства.
Проекторы. Комплексификация и овеществление . . 182
§ 11.3. Подстановка линейного оператора в многочлен. Аннулирующие
многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
§ 11.4. Собственные значения, собственные векторы . . . . . . . 189
§ 11.5. Жорданова нормальная форма линейных операторов . . 194
§ 11.6. Подстановка оператора (матрицы) в функцию числового
аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
§ 11.7. Нахождение инвариантных подпространств . . . . . . . . 200
Глава 12
Билинейные и квадратичные функции . . . . . . . . . . . . . 202
§ 12.1. Общие сведения о билинейных и полуторалинейных функциях
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
§ 12.2. Симметрические и кососимметрические, эрмитовы и косоэрмитовы
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
§ 12.3. Приведение к каноническому виду . . . . . . . . . . . . . 208
5
Стр.4
6
Глава 13
Пространства со скалярным произведением . . . . . . . . . . 211
§ 13.1. Элементарные свойства скалярного произведения . . . . 211
§ 13.2. Ортогональные системы векторов . . . . . . . . . . . . . 216
§ 13.3. Матрица Грама. n-мерный объем . . . . . . . . . . . . . . 221
§ 13.4. Ортогональное дополнение . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
§ 13.5. Расстояния и углы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
§ 13.6. Геометрия аффинных евклидовых пространств . . . . . . 230
§ 13.7. n-мерный куб и n-мерный симплекс . . . . . . . . . . . . 233
§ 13.8. Метод наименьших квадратов и интерполяция функций . 235
Глава 14
Операторы в пространствах со скалярным произведением . 240
§ 14.1. Операторы в евклидовом (эрмитовом) пространстве . . . 241
14.1.1. Сопряженный оператор (241). 14.1.2. Самосопряженные
операторы (244). 14.1.3. Кососимметрические и косоэрмитовы
операторы (250). 14.1.4. Ортогональные и унитарные
операторы. Группы преобразований (254). 14.1.5. Полярное
разложение (264). 14.1.6. Нормальные операторы (265).
14.1.7. Операторы в евклидовых пространствах и системы
линейных уравнений (268).
§ 14.2. Операторы в псевдоевклидовых, эрмитовых, симплектических
пространствах и в пространствах с общим скалярным произведением
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
14.2.1. Сопряженные операторы (273). 14.2.2. Операторы, сохраняющие
скалярное произведение (изометрические операторы)
(274). 14.2.3. Самосопряженные (симметрические,
эрмитовы) и кососимметрические (косоэрмитовы) операторы
(277).
Глава 15
Квадратичные функции и поверхности второго порядка . . . 280
§ 15.1. Квадратичные функции в евклидовом пространстве . . . 280
§ 15.2. Поверхности второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Глава 16
Тензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
§ 16.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
§ 16.2. Тензорные произведения пространств . . . . . . . . . . . 289
§ 16.3. Симметрические и кососимметрические тензоры . . . . . 292
§ 16.4. Тензоры в евклидовых и симплектических пространствах . 296
§ 16.5. Операция Ходжа и евклидова структура . . . . . . . . . 299
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Оглавление
Стр.5
Светлой памяти наших Учителей:
Павла Сергеевича Александрова,
Сергея Владимировича Бахвалова,
Бориса Николаевича Делоне,
Александра Геннадиевича Куроша,
Алексея Серапионовича Пархоменко,
Игоря Владимировича Проскурякова
посвящается настоящая книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
к первому изданию
Многолетнее преподавание курсов аналитической геометрии и линейной
алгебры убедила нас в необходимости создания нового единого
сборника задач по этим двум дисциплинам. Настоящая книга отражает
обновление курса линейной алгебры, предпринятое С.П. Новиковым
в 70–80-х годах и основанное на активном применении методов
линейной алгебры в аппарате современной математической физики и
возросшей роли прикладных методов линейной алгебры.
Объединение в одной книге задач по аналитической геометрии и
линейной алгебре позволяет подчеркнуть геометрические аспекты линейной
алгебры и сделать ее объекты более наглядными.
Книга состоит из двух частей. В первой части содержатся задачи
по традиционному курсу аналитической геометрии, а во второй — по
курсу линейной алгебры и геометрии. Мы старались почти все теоретические
задачи сопровождать упражнениями разной степени трудности,
чтобы читатель с их помощью сразу же мог проверить, как он
понял новые определения и алгоритмы.
Составители с удовольствием благодарят рецензентов профессоров
А.В. Зарелуа и А.В. Чернавского за конструктивную критику и доцента
Н.Н. Ченцову за помощь в подборе задач по вычислительным
методам линейной алгебры.
Стр.6
Сборник_задач_по_аналитической_геометрии_и_линейной_алгебре__(1).pdf
Сборник_задач_по_аналитической_геометрии_и_линейной_алгебре__(2).pdf