Линейная алгебра и её приложения (700,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

1919 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (Финансовый университет) В.В. Щиголев ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ Учебник Москва 2024

Стр.1

УДК 512 ББК 22.143 Щ76 Дерябина Г.С., доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана, кандидат физико-математических наук; Рецензенты: Рылов А.А., доцент Департамента математики факультета информационных технологий и анализа больших данных Финансового университета при Правительстве Российской Федерации, кандидат физико-математических наук, доцент. Щ76 Щиголев В.В. Линейная алгебра и её приложения: Учебник / В.В. Щиголев. — М.: Прометей, 2024. — 152 с. ISBN 978-5-00172-634-0 В учебнике рассматриваются основные понятия общей и линейной алгебры. От читателя предполагается владение элементарными понятиями школьной математики, такими как действительные числа, функции действительного аргумента, решение квадратных уравнений и т.д. множеств, а также определения и основные свойства таких объектов общей алгебры, как группы, кольца и поля. Кроме того, более подробно обсуждаются свойства колец многочленов от одной переменной и построение поля комплексных чисел. В первой вводной главе излагаются основные понятия теории Во второй основной главе излагаются основы линейной алгебры. Вводятся векторные пространства и их размерность, евклидовы и эрмитовы пространства, матрицы и операции над ними, определители. Относительно всех этих понятий доказываются основные утверждения с использованием материала первой главы. В качестве приложения изложенной теории доказывается теорема Фробениуса – Перрона. Этот важный результат теории неотрица-тельных матриц имеет как чисто математическое, так и экономиче-ское значение. Соответствует ФГОС ВО последнего поколения. Для студентов, обучающихся по направлению бакалавриата 01.03.02 и магистратуры 01.04.02 «Прикладная математика и информатика», а также по направлению бакалавриата 02.03.01 и магистратуры 02.04.01 «Математика и компьютерные науки». ISBN 978-5-00172-634-0 © Щиголев В.В., 2024 © Издательство «Прометей», 2024

Стр.2

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ......................................... 5 Глава 1. ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ..................................... 7 1.1. Элементарная теория множеств .................. 7 1.2. Группы ..................................... 15 1.3. Кольца ...................................... 24 1.4. Поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5. Многочлены и алгебраические уравнения ......... 35 1.5.1 Определения и основные свойства ............ 35 1.5.2. Степень ................................. 38 1.5.3. Деление с остатком и теорема Безу .......... 40 1.5.4. Рациональные корни ...................... 43 1.6. Комплексные числа ........................... 45 1.6.1. Построение через факторкольцо ............ 46 1.6.2. Построение через пары .................... 48 1.6.3. Модуль и аргумент ....................... 50 1.6.4. Сопряжение ............................. 52 1.6.5. Автоморфизмы .......................... 53 1.6.6. Поле C как метрическое пространство ....... 55 1.6.7. Основная теорема алгебры ................. 57 Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ................... 60 2.1. Векторные пространства ....................... 60 2.1.1. Определение .............................. 60 2.1.2. Линейные комбинации, базис и размерность .... 61 2.1.3. Подпространства .......................... 68 2.1.4. Элементарные преобразования ............... 72 2.2. Евклидовы пространства ....................... 73 2.2.1. Определение и неравенство Коши-Буняковского ........................ 73 2.2.2. Процесс ортогонализации ................... 75 3

Стр.3

2.2.3. Ортогональное дополнение .................. 78 2.2.4. Эрмитовы пространства ..................... 80 2.2.5. Евклидовы и эрмитовы пространства как метрические ........................... 84 2.2.6. Пространства 2 R() и 2 C() .................. 85 2.3. Матрицы .................................... 87 2.3.1. Размер и виды матриц ...................... 87 2.3.2. Операции над матрицами ................... 89 2.3.3. Элементарные преобразования ............... 94 2.3.4. Метод Гаусса .............................. 95 2.3.5. Ранг матрицы ............................. 97 2.3.6. Критерий обратимости через ранг ............ 100 2.3.7. Матрица перехода между базисами .......... 102 2.3.8. Координатный подход ..................... 104 2.4. Определители ............................... 105 2.4.1. Симметрическая группа .................... 105 2.4.2. Знак подстановки ......................... 107 2.4.3. Определение и примеры .................... 113 2.4.4. Основные свойства ........................ 114 2.4.5. Определитель произведения матриц над полем . 121 2.4.6. Определитель произведения матриц над коммутативным кольцом ............... 124 2.4.7. Разложение определителя по строке и столбцу . 126 2.4.8. Миноры ................................. 129 2.5. Неотрицательные матрицы .................... 131 2.5.1. Собственные векторы и собственные значения . 131 2.5.2. Определения и элементарные свойства ........ 132 2.5.3. Продуктивные матрицы ................... 133 2.5.4. Подготовка к доказательству ............... 136 2.5.5. Доказательство теоремы Фробениуса-Перрона . 139 Список обозначений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Предметный указатель ........................... 146 Литература ..................................... 150 4

Стр.4