Национальный цифровой ресурс Руконт - межотраслевая электронная библиотека (ЭБС) на базе технологии Контекстум (всего произведений: 567130)
Консорциум Контекстум Информационная технология сбора цифрового контента
Уважаемые СТУДЕНТЫ и СОТРУДНИКИ ВУЗов, использующие нашу ЭБС. Рекомендуем использовать новую версию сайта.

Уравнения теории поля и алгебры Клиффорда (150,00 руб.)

0   0
Первый авторМарчук Н. Г.
ИздательствоРегулярная и хаотическая динамика
Страниц304
ID301446
АннотацияВ книге изучаются уравнения релятивистской теории поля и, в частности, рассматриваются свойства ковариантности и симметрии уравнений Дирака - Максвелла и Дирака - Янга - Миллса. Вводится ряд новых систем уравнений, называемых модельными уравнениями теории поля. Эти системы уравнений воспроизводят основные свойства стандартных систем уравнений теории поля. В тоже время модельные уравнения имеют ряд отличий от стандартных уравнений теории поля, и, в частности, они обладают новой внутренней симметрией по отношению к псевдоунитарной (либо симплектической, либо спинорной) группе. Разработка концепции локальной псевдоунитарной (симплектической, спинорной) симметрии модельных уравнений теории поля ведет к далеко идущим следствиям. В книге используется математический аппарат алгебр Клиффорда.
ISBN978-5-93972-761-7
УДК512.62
ББК22.144.7
Марчук, Н.Г. Уравнения теории поля и алгебры Клиффорда : [монография] / Н.Г. Марчук .— Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2009 .— 304 с. — Библиогр.: с. 296-299 (79 назв.) .— ISBN 978-5-93972-761-7 .— URL: https://rucont.ru/efd/301446 (дата обращения: 02.08.2021)

Предпросмотр (выдержки из произведения)

В книге изучаются уравнения релятивистской теории поля и, в частности, рассматриваются свойства ковариантности и симметрии уравнений Дирака –Максвелла и Дирака –ЯнгаМиллса. <...> Уравнения Дирака –Максвелла в пространстве Минковского . <...> Модельные уравнения Дирака –Максвелла с калибровочной псевдоунитарной симметрией . <...> Две экспоненты от элементов второго ранга . <...> Модельные уравнения Дирака –Янга –Миллса с локальной спинорной симметрией . <...> Модельные уравнения с локальной спинорной симметрией на псевдоримановом многообразии . <...> Модельные уравнения в формализме алгебры АтьиКэлера . <...> Тензоры со значениями в алгебре АтьиКэлера . <...> Унитарные, псевдоунитарные и спинорные группы в формализме алгебры Атьи–Кэлера . <...> Связь спинорного многообразия X1,3 с пространствами Римана –Картана . <...> Модельные уравнения с локальной спинорной симметрией . <...> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Список обозначений C C4 R R1,3 η ∂µ γµ ψ Mat(n,C) Mat(n,R) detA trA AT  ← A† A 1 Tp q Mat(4,C)Tp O(1, 3) O+(1, 3) SO(1, 3) SO+(1, 3) U(n) − поле комплексных чисел; четырехмерное векторное комплексное пространство; поле вещественных чисел; пространство Минковского; матрица Минковского; декартовы координаты пространства Минковского; частные производные ∂/∂; матрицы Дирака; дираковски сопряженный спинор; алгебра комплексных квадратных матриц порядка n; алгебра вещественных матриц порядка n; определитель матрицы; след матрицы; транспонированная матрица; комплексно сопряженная матрица; эрмитово сопряженная матрица (матрица транспонирована и взято комплексное сопряжение от ее элементов); единичная матрица; множество тензорных полей типа (p, q); q множество тензорных полей типа (p, q) со значениями в алгебре матриц Mat(4, C); группа Лоренца; ортохронная группа Лоренца; собственная группа Лоренца; собственная ортохронная группа Лоренца; группа Ли унитарных матриц порядка n; 8 U(r, s) SU(n) SU(r, s) Cℓ(p, q) Cℓk(p, q) CℓR(p, q) СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ группа Ли псевдоунитарных матриц порядка r +s <...>
Уравнения_теории_поля_и_алгебры_Клиффорда.pdf
УДК 512.62 ББК 22.144.7 М30 Интернет-магазин http://shop.rcd.ru • физика • ма т ема тика • биол о гия • нефт е г а з о вые т е х но ло гии Марчук Н.Г. Уравнения теории поля и алгебры Клиффорда. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. — 304 с. В книге изучаются уравнения релятивистской теории поля и, в частности, рассматриваются свойства ковариантности и симметрии уравнений Дирака –Максвелла и Дирака –Янга –Миллса. Вводится ряд новых систем уравнений, называемых модельными уравнениями теории поля. Эти системы уравнений воспроизводят основные свойства стандартных систем уравнений теории поля. В тоже время модельные уравнения имеют ряд отличий от стандартных уравнений теории поля, и, в частности, они обладают новой внутренней симметрией по отношению к псевдоунитарной (либо симплектической, либо спинорной) группе. Разработка концепции локальной псевдоунитарной (симплектической, спинорной) симметрии модельных уравнений теории поля ведет к далеко идущим следствиям. В книге используется математический аппарат алгебр Клиффорда. ISBN 978-5-93972-761-7 -Н.Г.Марчук, 2009 c c -НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009 http://shop.rcd.ru http://ics.org.ru ББК 22.144.7
Стр.2
Оглавление Список обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 От автора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ГЛАВА 1. Уравнения Дирака –Максвелла . . . . . . . . . . . . . 23 1.1. Пространство Минковского и тензорные поля . . . . . . . . . 23 1.2. Уравнения Дирака –Максвелла в пространстве Минковского . 25 1.3. Зарядовое сопряжение спиноров Дирака . . . . . . . . . . . . 35 ГЛАВА 2. Модельные уравнения Дирака –Максвелла . . . . . . . 39 2.1. Модельная система уравнений Дирака –Максвелла . . . . . . 39 2.2. Модельные уравнения Дирака –Максвелла с калибровочной псевдоунитарной симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3. Формула для Cµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4. Спиноризация модельных уравнений . . . . . . . . . . . . . . 44 ГЛАВА 3. Алгебры Клиффорда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1. Группы, векторные пространства, алгебры . . . . . . . . . . . 50 3.2. Алгебры Грассмана Λ(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3. Алгебры Клиффорда Cℓ(p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4. Клиффордово умножение элементов алгебры Грассмана . . . 58 3.5. Коммутаторы и антикоммутаторы . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.6. Теорема о свертке генераторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.7. Операторы сопряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.8. Структура унитарного (или евклидова) пространства на алгебрах Клиффорда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.9. Эрмитовы идемпотенты и смежные структуры . . . . . . . . . 76 3.10. Нормальные представления элементов алгебр Клиффорда в виде комплексных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.11. Матричные представления алгебры Cℓ(1, 3) . . . . . . . . . . . 87 3.12. Другие матричные представления алгебры Cℓ(1, 3) . . . . . . 91 3.13. Вторичные генераторы алгебры Cℓ(1, 3) . . . . . . . . . . . . . 94
Стр.3
4 ОГЛАВЛЕНИЕ 3.14. Простейшие операции над элементами алгебры Cℓ(1, 3) . . . . 95 3.15. Множество CℓR EOO(1, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 ГЛАВА 4. Группы и алгебры Ли, связанные с алгебрами Клиффорда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.1. Унитарная группа алгебры Клиффорда . . . . . . . . . . . . . 104 4.2. Случай алгебры Клиффорда Cℓ(1, 3) . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.3. Псевдоунитарная группа алгебры Клиффорда . . . . . . . . . 110 4.4. Симплектическая подгруппа псевдоунитарной группы . . . . 115 4.5. Спинорные и ортогональные группы . . . . . . . . . . . . . . 119 4.6. Две экспоненты от элементов второго ранга . . . . . . . . . . 121 4.7. Группы Pin(1, 3), Pin+(1, 3), Spin(1, 3) и Spin+(1, 3) . . . . . 127 4.8. Унитарные подгруппы псевдоунитарной, симплектической и спинорных групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 ГЛАВА 5. Модельные уравнения теории поля в формализме алгебры Клиффорда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.1. Тензоры со значениями в алгебре Клиффорда . . . . . . . . . 135 5.2. Уравнения Янга –Миллса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.3. Модельные уравнения Дирака –Янга –Миллса . . . . . . . . . 138 5.4. Гамильтонова форма модельных уравнений Дирака –Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.5. Локализация псевдоунитарной симметрии . . . . . . . . . . . 152 5.6. Модельные уравнения с двумя полями Янга –Миллса . . . . . 158 5.7. Полудивергентный вид модельного уравнения Дирака . . . . 161 5.8. Модельные уравнения Дирака –Янга –Миллса с локальной спинорной симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.9. Операция зарядового сопряжения . . . . . . . . . . . . . . . . 164 ГЛАВА 6. Модельные уравнения на псевдоримановом многообразии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.1. Псевдориманово спинорное многообразие . . . . . . . . . . . 166 6.2. Модельные уравнения на псевдоримановом многообразии . . 176 6.3. Модельные уравнения с локальной спинорной симметрией на псевдоримановом многообразии . . . . . . . . . . . . . . . 180 ГЛАВА 7. Модельные уравнения в формализме алгебры Атьи– Кэлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.1. Дифференциальные формы и тетрада на спинорном многообразии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.2. Тензоры со значениями в алгебре Атьи–Кэлера . . . . . . . . 189
Стр.4
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 7.3. Унитарные, псевдоунитарные и спинорные группы в формализме алгебры Атьи–Кэлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.4. Формальные частные производные Dµ . . . . . . . . . . . . . 193 7.5. Операторы ⋆, d, δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 7.6. Связь спинорного многообразия X1,3 с пространствами Римана –Картана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 7.7. Формальные ковариантные производные . . . . . . . . . . . . 203 7.8. Модельные уравнения с псевдоунитарной симметрией . . . . 205 7.9. Модельные уравнения с локальной спинорной симметрией . 211 ГЛАВА 8. Модельные уравнения теории поля в матричном формализме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 8.1. Модельные уравнения Дирака –Максвелла . . . . . . . . . . . 216 8.2. Связь между стандартными и модельными уравнениями Дирака –Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 8.3. Модельные уравнения Дирака –Янга –Миллса . . . . . . . . . 224 8.4. Модельные уравнения Дирака –Янга –Миллса с локальной псевдоунитарной симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 8.5. Модельные уравнения с двумя полями Янга –Миллса . . . . . 230 8.6. Модельная система уравнений со спинорной локальной симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 ГЛАВА 9. Специальные модельные уравнения . . . . . . . . . . . 239 9.1. Основная идея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 9.2. Алгебры Ли антиэрмитовых дифференциальных форм . . . . 246 9.3. Основные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 9.4. Неабелевы законы сохранения заряда . . . . . . . . . . . . . . 250 9.5. Унитарная и спинорная калибровочные симметрии . . . . . . 251 ГЛАВА 10. Амплитуда в релятивистских уравнениях поля . . . . 253 10.1. Модельные уравнения Дирака –Максвелла с локальной спинорной симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 10.2. Специальные модельные уравнения Дирака –Максвелла . . . 255 10.3. Фиксация спинорной калибровки . . . . . . . . . . . . . . . . 260 10.4. Частный случай aµ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 ГЛАВА 11. Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 11.1. Ковариантные преобразования и симметрии модельных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 11.2. Формулы для коммутаторов и антикоммутаторов . . . . . . . 272 11.3. Матричные представления генераторов алгебр Клиффорда . . 276
Стр.5
6 ОГЛАВЛЕНИЕ 11.4. Выражение компонент тетрады через компоненты метрического тензора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 11.5. Алгебраические операции над тензорами . . . . . . . . . . . . 287 11.6. Гипотезы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 11.7. P.S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Стр.6