Национальный цифровой ресурс Руконт - межотраслевая электронная библиотека (ЭБС) на базе технологии Контекстум (всего произведений: 525384)
Консорциум Контекстум Информационная технология сбора цифрового контента
Уважаемые СТУДЕНТЫ и СОТРУДНИКИ ВУЗов, использующие нашу ЭБС. Рекомендуем использовать новую версию сайта.

Методы обработки и планирования эксперимента. Ч. 3. Непараметрические методы обработки данных (90,00 руб.)

0   0
Первый авторРадченко Юрий Степанович
АвторыВерещагин Вячеслав Николаевич
ИздательствоИздательский дом ВГУ
Страниц33
ID683719
АннотацияВ данном учебном пособии рассматриваются задачи проверки непараметрических гипотез о свойствах выборки, а также подробно изложены ранговые алгоритмы обработки данных. Некоторые тесты не входят в классический курс математической статистики.
Кому рекомендованоРекомендовано для студентов бакалавриата 4-го курса и магистрантов 1–2-го курсов.
Радченко, Ю.С. Методы обработки и планирования эксперимента. Ч. 3. Непараметрические методы обработки данных [Электронный ресурс] / В.Н. Верещагин, Ю.С. Радченко .— Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2018 .— 33 с. — 33 с. — Режим доступа: https://rucont.ru/efd/683719

Предпросмотр (выдержки из произведения)

Методы_обработки_и_планирования_эксперимента._Ч._3._Непараметрические_методы_обработки_данных_.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ю.С. Радченко, В.Н. Верещагин МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ И ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Часть 3 Непараметрические методы обработки данных Учебно-методическое пособие для вузов Воронеж Издательский дом ВГУ 2018
Стр.1
ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 1. Общая характеристика задач непараметрической статистики Роль априорной информации в статистических задачах Задачи непараметрической статистики Примеры задач непараметрической статистики 2. Порядковые статистики, ранги и их статистические свойства Порядковые статистики Ранги выборки Статистические свойства рангов Информативность рангов и способ ранжировки 3. Ранговая корреляция Коэффициент ранговой корреляции Спирмена Сравнение корреляции Пирсона и Спирмена 4. Непараметрические статистические критерии Задача о сдвиге распределения Ранговый критерий (Одновыборочный критерий Вилкоксона) Знаковый критерий 5. Двухвыборочная задача о сдвиге распределения 5.1. Двухвыборочный критерий Вилкоксона 5.2. Критерий ранговой корреляции 6. Многомерные задачи непараметрической статистики Проверка гипотезы о случайности и независимости элементов выборки Многовыборочная задача о сдвиге распределения Влияние связок Многовыборочная задача о сдвиге распределения для альтернативы с упорядочиванием 7. Методы множественного сравнения выборок Отбор выборок, отличающихся друг от друга Сравнение с контрольной выборкой Литература Введение Данное учебно-методическое пособие является продолжением пособий «Методы обработки и планирования эксперимента. Часть 1. Оценка распределений и их параметров» и «Методы обработки и планирования эксперимента. Часть 2. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ, АППРОКСИМАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ». В данном учебном пособии рассматриваются задачи проверки непараметрических гипотез о свойствах выборки, а также подробно изложены ранговые алгоритмы обработки данных. Некоторые тесты не входят в классический курс математической статистики. Поэтому изло3
Стр.3
H0 : xp F p H1 : a) b) c) 1() , F 1() pp x  F 1() pp x  F 1() pp x   ,   , . 3. Задача о масштабе. Генеральная совокупность имеет закон распределения вида: F( , ) ( ) . Здесь  - параметр, характеризующий скорость роста :=1, x F x функции распределения, или масштаба распределения. Основная гипотеза:H0 альтернативы H1 : a) 1, b) 1, c) 1. 4 Задача о независимости элементов выборки. Пусть  12  неизвестной функцией распределения. Основная гипотеза H0 : альтернатива H1 : F nii x x x F x F nii x x x F x 1 ( ,12. . . )  . ()i 1 n ( ) Общий подход при решении непараметрических задач заключается в преобразовании выборки с целью свести задачу к задаче, в которой фигурируют известные распределения, т.е. непараметрическую гипотезу свести к параметрической и простой для основной гипотезы. Суть преобразований – выявление непараметрических, не зависящих от распределения фактов, позволяющих решать поставленную задачу. При этом используются: 1. Закон больших чисел при 2. Внутреннее свойство выборки  12  n 1 . x , . . nx x . ( ,12. . . )  , ()i ( ) x , . . nx x - выборка из генеральной совокупности, с некоторой n 6
Стр.6
Преобразование выборки с целью выявления непараметрических фактов. № Тип преобразований 1 Перестановка элементов выборки 2 Поэлементное приведение выборки в интервал [0,1] с помощью обращения F(x) 3 Упорядочивание элементов выборки по величине Используемые непараметрические свойства Равновероятность перестановок при симметричности закона распределения x x x ) W( 12, . . . )n Равномерность приведений выборки в [0,1], в случае, когда F x F x 0( ) ( ) Получаем порядковые статистики, которые сходятся по вероятности к квантилю R распределения 4 Отображение выборки на пространство ранговых векторов n , где n – объем вы1 борки, R – порядок статистики (ранг), т.е. положение ее в упорядоченном ряду Равновероятность ранговых векторов при симметричности закона распределения 12( , . . . )n W x x x ) 2. Порядковые статистики, ранги и их статистические свойства Порядковые статистики Пусть имеется выборка 1,. . , nXX из некоторой генеральной совокупности. Конкретные значения, полученные в опыте 1,. . , nxx - выборочные значения или реализация выборки. Упорядочим выборочные значения в порядке возрастания:   дом. (  XX1 ,. . , n ) – последовательность случайных величин. X  i вая статистика, X  1 и  nX - экстремальные статистики. X  n -  1 xx1 , . . , n , где  i  i 1     x зует размах выборки. Если исходная выборка  (1) ряде XX,.. n элементы являются зависимыми. Кроме того, распреде F x , W x - законы распределения элементов исходной выборки, то плотность вероятности j – й порядковой статистики (),1jX n! ления значений вариационного ряда имеют различный вид. Если     j n имеет вид W ( x ) j     j 1 ! n j ! F( x ) 1 j 1 7  1 F( x ) W( x ) n j ( )  x X ,.. X является независимой, то в вариационном 1 n .Такой ряд называется вариационным ря- порядкоX характери
Стр.7
На рис.1 приведены графики распределений порядковых статистик их нормально распределенной выборки W( x ) exp x / /   0.748 fi x 1( fi x 2( fi x 3( fi x 4( fi x 5( f x( ) ) ) ) ) ) 0.8 0.6 0.4 0.2 7.358 10 14 0 2 22 при n=5. 3  3 2 1 0 x Рис. 1 Очевидно, что порядковые статистики имеют негауссовские распределения, а также различные математические ожидания и дисперсии    ( 2) X m ( ) jj nj 1 !         F u W u du ( )   , n! m j n j! u F u( ) 1 ( ) 2 1   jj nj j      F u W u du ( ) DjjjX   X ( ) 2 j n j! 2 n! 1 !  u F u( ) 1 ( )  1 где   1 2 3 3 2.2. Ранги выборки. Пусть имеется выборка XT  0 1 2 3 4 5 Упорядоченная выборка имеет вид PXT  0 1 2 3 4 6 7 8 9 0 1.561 1.321 1.527 1.049 0.314 2.044 1.879 2.556 4.192 2.809 5 6 7 8 9 0 0.314 1.049 1.321 1.527 1.561 1.879 2.044 2.556 2.809 4.192 Номер элемента iX в упорядоченной выборке PXT и есть ранг iR данного элемента в исходной выборке. Ранги - целые числа. 8
Стр.8
RXT  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 5 3 4 2 1 7 6 8 10 9 Ранг является функцией выборки и представляет собой случайную величину дискретного типа с возможными значениями 1,2,.., n. Совокупность рангов выборки называется ранговым вектором. Ранговый вектор - случайный целочисленный вектор. Реализациями (возможными значениями) этого вектора являются всевозможные перестановки чисел 1,2,..,n. Число возможных перестановок n! Необходимость исследования рангов определяется следующими обстоятельствами. 1. Ранговый вектор содержит часть информации, содержащейся в исходной выборке, т.к. с помощью упорядочения исходной выборке {Xi} ставится в однозначное соответствие пара векторов - вектор порядковых статистик {X(R)} и ранговый вектор {Ri}. Располагая значениями {X(R)} и {Ri} можно восстановить исходную выборку. 2. Используя информацию, содержащуюся в рангах, можно строить статистические процедуры, которые являются достаточно простыми ввиду целочисленности рангов. 3. Ранговые процедуры обладают свойствами непараметричности (не требуют знания закона распределения), при определенных условиях являются весьма эффективными . 4. Ранговые процедуры особенно важны, когда наблюдения носят не количественный, а качественный (нечисловой) характер и результаты наблюдений можно упорядочить. Рангом i превышающих i функцию    Тогда C X X k ) , i=1,…,n, определяет случайный ранговый вектор { iR }. { iR } и  i Ri  C t n ( k1 i  X полностью в совокупности содержат всю информацию, которая находится в исходной выборке. 2.3.Статистические свойства рангов при инвариантности к перестановкам Рассмотрим свойства ранговых векторов, когда распределение выборки инвариантно по отношению к перестановкам аргументов (элементы выборки независимы и одинаково распределены). 9 R элемента выборки i X , X X t k    t 0, 0 1, 0 . X называется число значений выборки, не i .Чтобы посчитать ранг i-го элемента введем
Стр.9
Пусть упорядочивание производится непосредственно по алгебраическим значениям измеряемых величин. Т.к. {X(R)} и {Ri} находятся во взаимно однозначном соответствии с исходной выборкой {Xi}, то f x x x f x ,  . x 1 2, ,. . n  r ( )R i Здесь x(R) и ri - соответственно значения элементов векторов порядковых статистик и рангового вектора. Ввиду инвариантности плотности вероятности к перестановке аргументов: f x r f x x x(n) . Безусловное распределение рангового вектора является равномерным:   1  ,   (1) (2),. . PRi N . ( )R i  , ! Безусловное распределение порядковой статистики определяется соотношением: f Rn,. . Поэтому можно переписать ! ( )R i f x r N f x x  , N!  (1) (2),. . ,x(n) 1    , ( )  x N f x x !  (1) ( ) . f x P Ri (R)      . Откуда следует формулировка следующей теоремы. Теорема Гаека. При инвариантности выборки по отношению к перестановкам упорядоченная статистика и ранговый вектор статистически независимы. Следствие 1. Для независимых выборочных значений с одинаковыми ,  iR тоже независимы и их распределения имеют вид: n! , f x X()iR   P s i gn X   ,  i 1 n 2 P R   1  (R )     2 f x (R ) n n! n R1    . Следствие 2. При статистической независимости двух случайных выборок X и Y их упорядоченные статистики и ранговые векторы, независимые для каждой из выборок, независимы между собой. Информативность рангов и способ ранжировки Важным для обеспечения информативности рангов, а также эффективности статистических процедур на их основе, является выбор способа ранжировки. Он зависит от задачи. 10 и симметричными относительно нуля распределениями случайный вектор {sign(Xi)} и
Стр.10

Облако ключевых слов *


* - вычисляется автоматически