В основу изложения раздела «Теория погрешностей» положен учебник профессора Ю.В. Кемница «Теория ошибок измерений», «Недра», Москва, 1967 год. <...> Раздел «Теория погрешностей» в настоящее время излагается на основе дисциплин «Теория вероятностей» и «Математическая статистика». <...> Объединены разделы «Математическая обработка ряда равноточных результатов измерений» и «Математическая обработка ряда неравноточных результатов измерений», традиционно помещаемых раздельно во всех учебниках по теории погрешностей. <...> При совместном рассмотрении этих разделов равноточные измерения рассматриваются как частный случай неравноточных измерений, и все формулы для этого случая легко вытекают из общего случая. <...> Дополнительно введен раздел «Теория погрешностей зависимых результатов измерений» с примерами обработки GPS-измерений и раздел по основополагающим принципам метода наименьших квадратов в применении к уравниванию геодезических сетей и составлению эмпирических формул. <...> Элементы множества ΩА PA n=() ,m (1.10) т.е. будет равна отношению числа благоприятствующих эле мен тарных ис ходов к общему числу единственно воз мож ных равновероятных элементарных исходов. <...> Событию A соответствует b благоприятных исходов, следовательно PA b .ab= + () Пример 1.2 В партии из n изделий k бракованных. <...> При измерении 20 линий теодолитного хода в 3 из них были допущены грубые промахи. <...> 3.3) равноточно и независимо друг от друга измерены три направления X1 каждого направления равна σ2 числены углы α и β. <...> При известном математическом ожидании М(х) = а наилучшая оценка дисперсии может быть получена по формуле m =. n 2 0 () xa − 2 (6.8) Она обладает всеми свойствами наилучших оценок. <...> При неизвестном математическом ожидании М(х) = а наилучшая оценка дисперсии может быть получена по формуле m =, n 2 () xx − где x n= — оценка неизвестного математического ожидания. [] x Оценка (6.10) обладает всеми свойствами наилучших оценок. <...> Тогда где 12µ — оценка первого смешанного <...>
Математическая_обработка_результатов_геодезических_измерений._2-е_издание.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
А.Б. Беликов, В.В. Симонян
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Учебное пособие
2-е издание
Москва 2016
Стр.1
УДК 621.311.22
ББК 31.37+38.728
Б43
Р е ц е н з е н т ы:
доктор технических наук, профессор В.Н. Баранов,
ФГБОУ ВПО «Государственный университет по землеустройству» (ГУЗ);
кандидат технических наук, профессор И.И. Ранов, НИУ МГСУ
Б43
Беликов, А.Б.
Математическая обработка результатов геодезических измерений :
учебное пособие / А.Б. Беликов, В.В. Симонян ; М-во образования и науки
Рос. Федерации,
Нац. исследоват. Моск. гос. строит. ун-т. 2-е изд.
Москва : НИУ МГСУ, 2016. 432 с.
ISBN 978-7264-1255-9
Рассмотрены основные вопросы теории погрешностей, необходимые при обработке
геодезических результатов измерений. Приведены сведения по теории вероятностей
и математической статистике, положенные в основу изложения курса.
Рассмотрены варианты обработки результатов традиционных методов измерений,
а также GPS-измерений. Приведены общие сведения по методу наименьших квадратов.
Отдельно рассмотрен вопрос применения метода наименьших квадратов
к уравниванию геодезических сетей и построению эмпирических формул.
Для аспирантов, обучающихся по направлению 21.06.01 Геология, разведка
и разработка полезных ископаемых по программе «Геодезия в строительстве».
УДК 621.311.22
ББК 31.37+38.728
ISBN 978-7264-1255-9
© НИУ МГСУ, 2015
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Раздел I . СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.2. Частость и вероятность случайного события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.3. Классическое определение вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.4. Связь между случайными событиями.
Условная вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.5. Схемы повторения испытаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.6. Примеры решения типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
1.7. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.1. Основные понятия. Функция и плотность распределения . . . . . . . .16
2.2. Числовые характеристики случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . .21
2.3. Примеры случайных дискретных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
2.4. Примеры случайных непрерывных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
2.5. Центральная предельная теорема Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
2.6. Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
2.7. Решение типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
2.8. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
3. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
3.1. Двумерная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
3.2. Многомерный случайный вектор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
3.3. Примеры решения типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
3.4. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
4. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
4.1. Свойства математических ожиданий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
4.2. Свойства дисперсий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
4.3. Свойства третьих центральных моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
4.4. Свойства четвертых центральных моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
4.5. Свойства корреляционной матрицы случайного вектора . . . . . . . . .66
Раздел II . СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68
5. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. . . . . . .68
5.1. Понятие генеральной совокупности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68
5.2. Выборка из генеральной совокупности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
5.3. Основные задачи математической статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
421
Стр.421
6. ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ
ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
6.1. Общие сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
6.2. Методы построения оценок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74
6.3. Оценка математического ожидания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75
6.4. Оценка дисперсии
и среднеквадратического отклонения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
6.5. Оценка моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
6.6. Выборочный коэффициент корреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
6.7. Примеры решения типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82
6.8. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
7. ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
7.1. Общие положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
7.2. Доверительный интервал для математического ожидания . . . . . . . .87
7.3. Доверительный интервал для дисперсии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
7.4. Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения .90
7.5. Доверительный интервал для выборочного коэффициента
корреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
7.6. Примеры решения типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
7.7. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
8. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
8.1. Общие положения по проверке статистических гипотез . . . . . . . . . .93
8.2. Сравнение двух средних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97
8.3. Сравнение выборочной средней с гипотетической
генеральной средней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100
8.4. Критерий Аббе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
8.5. Сравнение дисперсий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
8.6. Проверка гипотезы о значимости выборочного
коэффициента корреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
8.7. Проверка гипотезы о нормальном распределении
генеральной совокупности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
8.8. Примеры решения типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
8.9. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
9. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ, РЕГРЕССИОННЫЙ
И ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115
9.1. Общие положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115
9.2. Корреляционный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115
9.3. Регрессионный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
9.4. Однофакторный дисперсионный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
9.5. Оценка автокорреляционной функции рядов
результатов наблюдений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
9.6. Примеры решения типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
9.7. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130
422
Стр.422
Раздел III. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ . . . . . . . .132
10. ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА И ЕЕ ИЗМЕРЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . .132
10.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132
10.2. Классификация измерений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
11. ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
11.1. Двойственный характер процесса измерений . . . . . . . . . . . . . . . . .138
11.3. Аддитивная гипотеза строения погрешности
результата измерения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
11.4. Систематические и случайные погрешности . . . . . . . . . . . . . . . . .143
11.5. Результат измерения и его погрешность
как случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
11.6. Числовые характеристики точности измерения . . . . . . . . . . . . . . .149
11.7. Закон распределения результатов измерений
и их погрешностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150
11.8. Оценки числовых характеристик точности измерений . . . . . . . . .151
11.9. Основные задачи, решаемые при помощи
теории погрешностей результатов измерений . . . . . . . . . . . . . . . .152
11.10. Оценка точности результатов измерений
по истинным (действительным) погрешностям . . . . . . . . . . . . . .154
11.11. Примеры решения типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156
11.12. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158
12. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ФУНКЦИЙ
РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
12.1. Основные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
12.2. Накапливание погрешностей
в основных геодезических действиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162
12.3. Примеры решения типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169
12.4. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174
13. ВЕСА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177
13.1. Определение веса результата измерения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177
13.2. Оценка относительной точности функций
результатов измерений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179
13.3. Расчет весов в основных геодезических действиях . . . . . . . . . . . .180
13.4. Примеры решения типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184
13.5. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186
14. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЯДА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ . . . . . . . . . . . . . . .187
14.1. Уравнивание ряда результатов измерений
одной и той же величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187
14.2. Уравнивание ряда равноточных измерений
одной и той же величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193
423
Стр.423
14.3. Апостериорная оценка точности при обработке
рядов измерений одной и той же величины . . . . . . . . . . . . . . . . . .194
14.4. Порядок математической обработки рядов результатов
измерений одной и той же величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200
14. 5. Примеры решения типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201
14. 6. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206
15. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПО НЕВЯЗКАМ
УСЛОВНЫХ УРАВНЕНИЙ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208
15.1. Общие принципы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208
15.2. Оценка точности угловых измерений по невязкам
в полигонах и ходах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213
15.3. Оценка точности нивелирования по невязкам
в полигонах и ходах. Пересеченная местность . . . . . . . . . . . . . . . .216
15.4. Оценка точности нивелирования по невязкам
в полигонах и ходах. Равнинная местность . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217
15.5. Примеры решения типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219
15.6. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222
16. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ
ПО РАЗНОСТЯМ ДВОЙНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223
16.1. Общие положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223
16.2. Исследование коллимационной
погрешности прибора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225
16.3. Оценка точности угловых измерений
по разностям в полуприемах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226
16.4. Оценка точности линейных измерений по разностям прямых
и обратных измерений. Непосредственное измерение линий . . . .228
16.5. Оценка точности линейных измерений
по разностям прямых и обратных измерений.
Измерение линий свето- и радиодальномерами . . . . . . . . . . . . . . .229
16.6. Оценка точности нивелирования по разностям
двойных измерений на станции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229
16.7. Оценка точности нивелирования по разностям
прямого и обратного превышений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .230
16.8. Примеры решения типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231
16.9. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234
17. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ. . . . .235
17.1. Критерий определения слабодействующих и превалирующих
источников погрешностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235
17.2. Об искажении СКП систематическими погрешностями . . . . . . . .238
17.3. Априорная оценка точности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239
17.4. Применение методов теории погрешностей
при исследовании приборов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243
424
Стр.424
17.5. Использование дисперсионного анализа
при исследовании приборов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248
Раздел IV. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ
ЗАВИСИМЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256
18. ПОНЯТИЕ ЗАВИСИМЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ . . . . . . . . . .256
18.1. Общие соображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256
18.2. Математические модели возникновения
физической корреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258
18.3. Случайный вектор и его числовые характеристики . . . . . . . . . . . .262
18.4. Оценка точности функций зависимых
результатов измерений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265
18.5. Обработка ряда зависимых результатов
измерений одной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .268
18.6. Примеры решения типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .269
18.7. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274
19. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ
ЗАВИСИМЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ К ОБРАБОТКЕ
РЕЗУЛЬТАТОВ GPS-ИЗМЕРЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276
19.1. Общие положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276
19.2. Использование коэффициента корреляции
для оценки качества работы GPS-приемников
в дифференциальном режиме по разным созвездиям . . . . . . . . . .278
19.3. Использование коэффициента корреляции для определения
совместимости различных типов GPS-приемников . . . . . . . . . . . .281
19.4. Использование коэффициента корреляции
для выявления эффекта многолучевости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283
20. ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ
ПОГРЕШНОСТЕЙ ЗАВИСИМЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ . . . . . .287
20.1. Передача дирекционного угла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .287
20.2. Получение корреляционной матрицы координат точек
теодолитного хода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294
20.3. Учет зависимости между координатами точек теодолитного
хода при вычислении площади полигона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299
20.4. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .301
Раздел V. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ УРАВНИВАНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
СЕТЕЙ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ . . . . . . . . . . . . . .302
21. ПРИНЦИПЫ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.
УРАВНИВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ
ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ МЕТОДОМ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302
21.1. Задачи и принципы уравнивания геодезических построений . . . .302
21.2. Основные определения и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .309
425
Стр.425
21.3. Вывод нормальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .314
21.4. Уравнивание геодезических построений в случае
нелинейных параметрических уравнений связи . . . . . . . . . . . . . . .316
21.5. Порядок уравнивания геодезических построений
параметрическим методом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .318
21.6. Порядок составления нормальных уравнений
с контролем по суммам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .319
21.7. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322
22. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . .324
22.1. Общие соображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324
22.2. Точные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324
22.3. Итерационные методы решения систем нормальных уравнений
(метод последовательных приближений) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .336
22.4. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339
23. АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ
В ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ МЕТОДЕ УРАВНИВАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . .341
23.1. Общие соображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341
23.2. Вычисление величины μ2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341
23.3. Нахождение обратных весов уравненных
значений неизвестных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .342
23.4. Вычисление обратной матрицы нормальных уравнений
в схеме Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .345
23.5. Вычисление обратных весов и СКП функций
уравненных значений неизвестных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .347
23.6. Примеры решения типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .348
23.7. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .355
24. УРАВНИВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ
КОРРЕЛАТНЫМ МЕТОДОМ (МЕТОД УСЛОВНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ) . . . .356
24.1. Основные определения и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .356
24.2. Вывод нормальных уравнений коррелат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .358
24.3. Вычисление поправок и уравненных значений результатов
измерений. Контроль уравнивания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .360
24.4. Уравнивание коррелатным методом
при нелинейных условных уравнениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .362
25. АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ
В КОРРЕЛАТНОМ МЕТОДЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .364
25.1. Вычисление СКП единичного веса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .364
25.2. Вычисление весов функций
уравненных значений неизвестных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .365
25.3. Вычисление обратных весов функций уравненных
значений неизвестных в схеме Гаусса решения систем
нормальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .368
426
Стр.426
25.4. Примеры решения типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .369
25. 5. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .377
Раздел VI. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ
ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ
ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .380
26. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПАРАМЕТРОВ ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИХ
ФОРМУЛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .380
26.1. Общие положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .380
26.2. Общее решение задач по определению параметров
полуэмпирических формул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .381
27. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПАРАМЕТРОВ
ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .385
27.1. Определение параметров полуэмпирической формулы
линейного вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .385
27.2. Определение параметров полуэмпирической формулы
нелинейного вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .391
27.3. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .399
28. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ
ПАРАМЕТРОВ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ
ПРИ НАЛИЧИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .400
28.1. Построение эмпирической формулы
методом подбора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .400
28.2. Построение эмпирической формулы методом
параболического интерполирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .404
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .411
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412
ПРИЛОЖЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .413
Стр.427