МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» М.И. Быкова, С.А. Шашкина УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В СИСТЕМЕ MAPLE Учебно-методическое пособие Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 2012 1 Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 30 марта 2012 г., протокол № 7 Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой математического анализа ВГУ А.Д. <...> Баев Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического и прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета. <...> Рекомендуется для студентов 3-го курса факультета прикладной математики, информатики и механики. <...> Для направлений: 010400 – Прикладная математика и информатика; 010500 – Математическое обеспечение и администрирование информационных сетей; 010800 – Механика и математическое моделирование; 010300 – Фундаментальная информатика и информационные технологии 2 ВВЕДЕНИЕ Настоящее методическое пособие посвящено одному из важных разделов математической физики, знание которого представляется весьма существенным для научных исследований, сопряженных с математическими расчетами. <...> К числу наиболее замечательных программ, позволяющих автоматизировать вычисления и высококачественно оформить их, можно отнести программу Maple. <...> В заключении предлагаемого методического пособия приведены примеры решения задач с использованием замечательных возможностей пакета Maple. <...> В предлагаемом методическом пособии рассмотрены основные специальные функции, изучаемые в курсе математической физики. <...> Кроме того, предложены примеры задач, решения для которых получены не аналитически, а в системе компьютерной математики Maple. <...> Надо отметить, что интерфейс Maple интуитивно <...>
Уравнения_математической_физики_в_системе_MAPLE.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
М.И. Быкова, С.А. Шашкина
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
В СИСТЕМЕ MAPLE
Учебно-методическое пособие
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2012
1
Стр.1
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее методическое пособие посвящено одному из важных разделов
математической физики, знание которого представляется весьма существенным
для научных исследований, сопряженных с математическими
расчетами.
Следует отметить, что в настоящее время специалист по прикладной
математике не мыслится без хорошего знания компьютера. К числу наиболее
замечательных программ, позволяющих автоматизировать вычисления
и высококачественно оформить их, можно отнести программу Maple. Этот
пакет широко используется для преподавания математики во многих учебных
заведениях. Для студентов Maple является неоценимым помощником в
изучении разнообразных математических методов, освобождая их от рутинных
математических вычислений и сосредотачивая их внимание на существе
изучаемого метода. В заключении предлагаемого методического пособия
приведены примеры решения задач с использованием замечательных
возможностей пакета Maple.
В предлагаемом методическом пособии рассмотрены основные специальные
функции, изучаемые в курсе математической физики. Кроме того,
предложены примеры задач, решения для которых получены не аналитически,
а в системе компьютерной математики Maple. Эта система в последнее
время стала полезной для многих пользователей ПК, которые занимаются
математическими вычислениями, простирающимися от решения учебных
задач в вузах до моделирования сложных физических объектов, систем и
устройств. Несомненно, любая научная лаборатория или кафедра вуза
должны располагать математической системой, если они всерьез заинтересованы
в автоматизации выполнения математических расчетов любой степени
сложности. Несмотря на свою направленность на серьезные математические
вычисления, системы класса Maple необходимы для широкой категории
пользователей: студентам и преподавателям вузов, инженерам, аспирантам,
научным работникам и даже учащимся математических классов
общеобразовательных и специальных школ. Все они найдут в Maple многочисленные
достойные возможности для применения. Надо отметить, что
интерфейс Maple интуитивно понятен, простота управления параметрами и
легкость подготовки графических процедур позволяет легко визуализировать
решения математических задач. Высочайший «интеллект» этой системы
символьной математики объединяется в ней с прекрасными средствами
математического моделирования, что дает возможность применения такой
системы, как Maple, при преподавании и при обучении от самых основ до
вершин математики.
3
Стр.3
равенств:
Чтобы ряд (2) был решением уравнения (3), необходимо выполнение
2 2
⎣
a ⎡ −v
0⎢
a
a
1⎢(
2⎢(
⎣
⎡
⎣
⎡
…
an ⎢(
…
⎣
⎡
a =
n
Очевидно, a2 1 0=+k
+ n)2 − 2
v
Из первого равенства находим
a
(
+ n) − v
2
a k2 = − −2 2
k
2 ( + )
2k
и используя формулы xГ x = xГ( 1 )
a k2 = +k v
( )
a =
+
0
2
2
Полагая
2 ( 1 )
1
v
Г v +
и
(−1)
Г n( 1) n !
k
Г k +( 1) (Г k v+ +
u u= =∑ ! (
1
k 0
∞
=
−∞,0 :| |< ∞z
,
| arg |
Стр.6
Будем иметь
u +k 1
uk
=
⎛ z
2
⎛ z
2
⎜ ⎞
⎝
⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎟
⎠
2k v
+
( 1)! (Г k v+ + 2)
2
k +
k→∞ k +( 1)(k v+ + =
lim
⎛ z
2
⎜ ⎞
⎝
⎟
⎠
2 2
k+ +v
k Г k v+ +1)
! (
=
( 1)(k v+ +1 )
k +
⎛ z
2
⎜ ⎞
⎝
⎟
⎠
2
,
(5)
1) 0 ,
конечных z.
В плоскости с разрезом ()
| |< ∞z
.
регулярная функция комплексного переменного z. Данный ряд сходится
при любых z и v , причем в области
| z R<|
Следовательно, по признаку Даламбера ряд (4) сходится при любых
−∞, 0 каждый член ряда (4) — однозначная и
и |v| < N (R, N — произвольно
большие фиксированные числа) сходимость равномерна по отношению к
каждому из переменных. Действительно, начиная с достаточно большого k,
отношение модулей последующего члена ряда к предыдущему, равное на
основании (5) величине
u
uk
k+1 =
( 1)(k v+ + ≤
⎛ z
2
k +
⎜ ⎞
⎝
⎟
⎠
1) 4( 1)( 1
k +
2
R
2
k + − N )
,
не будет превосходить некоторой правильной положительной дроби q, не
зависящей от z и v . Отсюда, согласно известному признаку сходимости,
следует, что рассматриваемый ряд сходится равномерно в указанной области.
Напомним, что функциональный ряд ∑
∞
k=1
которой области, если для всякого z, принадлежащего этой области и mk ≥ ,
выполняется неравенство
u
uk
k+1 ≤
Стр.7
J z =∑ ! (
v ( )
k 0
∞
=
k Г k v
z
( 1) 2
⎝
− ⎛
k
⎠
⎜ ⎞
2k v
+
+ +
⎟
1 )
,
| |< ∞z
,
| arg |
Стр.8