Излагается метод фурье-преобразования и обобщенные функции: дельтафункция, функция Хевисайда, знаковая и прямоугольная функции, гребенчатая
функция. <...> Рассматриваются методы решения однородных дифференциальных
уравнений обобщенного гипергеометрического типа и анализируются их решения в виде специальных функций математической физики. <...> Сферические функции и операторы момента импульса ............
223 <...> Ортогональную систему координат в геометрии ввел Рене Декарт
(1596–1650) в 1637 г. Ортонормированный базис использовался далее
в теории векторного пространства и затем был распространен на пространство функций. <...> Если выбрать их длины равными единице, то они называются ортами и образуют в пространстве дискретный базис {en } , где
n 1, 2,..., N , удовлетворяющий условию ортонормированности
em en
где
m, n
m, n , <...> Дискретный базис гильбертова пространства образует набор специальных функций { n ( x)} , где n 1,2,..., N ; N – конечное или бесконечное число. <...> Уравнения обобщенного гипергеометрического типа решаются
методом факторизации, разработанным автором и изложенным в гл. <...> 10 дифференциальные уравнения с частными
производными второго порядка сводятся к уравнениям гипергеометрического типа. <...> 2 и 3 рассматриваются обобщенные
сингулярные функции – дельта-функция, функция Хевисайда, прямоугольная функция и др. <...> Ортонормированный бесконечномерный базис гильбертова
пространства образуется множеством гармонических функций
{ei 2
kx
},
x
,
k
.
Функция ei 2 kx
k ( x) описывает установившийся колебательный
процесс и удовлетворяет волновому уравнению Гельмгольца
d2
dx
k
2
(2 k )2
k
0. <...> Если для f ( x) образом
является f (k ) , то
Fk { f (ax)}
1 k
f
.
|a|
a
(1.6)
Следовательно, сжатие функции по переменной x, соответствующее
a 1 , приводит к растяжению фурье-образа по переменной k и к
уменьшению его значений во столько же раз. <...> Функция Гаусса и ее фурье-образ
Из (1.6) при a
1 k
1 следует теорема об инверсии аргумента
F { f ( x)} f ( k ) .
k
(1.7)
Следовательно, четности функции и ее образа совпадают <...>
Математические_методы_физики....pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Е. А. КРАСНОПЕВЦЕВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ФИЗИКИ
ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ
ФУНКЦИЙ
Утверждено
Редакционно-издательским советом
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2008
Стр.1
УДК 53:51(075.8)
К 782
Инновационная образовательная программа НГТУ
«Высокие технологии»
Рецензенты: К.А. Матвеев, д-р техн. наук, проф.,
П.М. Меднис, канд. физ.-мат. наук, проф.
Работа подготовлена на кафедре
полупроводниковых приборов и микроэлектроники НГТУ
для студентов РЭФ
Краснопевцев Е.А.
К 782 Математические методы физики. Ортонормированные базисы
функций : учеб. пособие / Е.А. Краснопевцев – Новосибирск: Изд-во
НГТУ, 2008. – 338 с.
ISBN 978-5-7782-1071-4
Рассматривается построение, исследование и использование ортонормированных
базисов, образованных элементарными и специальными функциями.
Излагается метод фурье-преобразования и обобщенные функции: дельтафункция,
функция Хевисайда, знаковая и прямоугольная функции, гребенчатая
функция. Рассматриваются методы решения однородных дифференциальных
уравнений обобщенного гипергеометрического типа и анализируются их решения
в виде специальных функций математической физики. Излагается метод
функции Грина и дифференциальные уравнения с частными производными
второго порядка. Приводятся примеры решений задач и задачи для самостоятельного
решения.
Издание предназначено для студентов, приступающих к изучению квантовой
механики, статистической физики, теоретической оптики.
УДК 53:51(075.8)
ISBN 978-5-7782-1071-4
Краснопевцев Е.А., 2008
Новосибирский государственный
технический университет, 2008
2
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .........................................................................................................
Глава 1. Преобразование Фурье ..................................................................
1.1. Теоремы Фурье ............................................................................
1.2. Преобразование периодических функций .................................
Глава 2. Дельта-функция ..............................................................................
2.1. Свойства дельта-функции ...........................................................
2.2. Дельта-функция в двумерном пространстве .............................
2.3. Дельта-функция в трехмерном пространстве ...........................
2.4. Гребенчатая функция ..................................................................
Глава 3. Конечнозначные сингулярные функции ......................................
3.1. Функция Хевисайда .....................................................................
3.2. Функция знака ..............................................................................
3.3. Прямоугольная функция и функция sinc ..................................
Примеры 1 ...........................................................................................
Задачи 1 ...............................................................................................
Глава 4. Гамма- и бета-функции Эйлера ....................................................
4.1. Гамма-функция ............................................................................
4.2. Бета-функция ...............................................................................
4.3. Формула Стирлинга .....................................................................
4.4. Дробное дифференцирование и интегрирование .....................
Примеры 2 ...........................................................................................
Задачи 2 ...............................................................................................
3
6
11
13
22
28
29
34
36
38
43
43
45
48
54
74
81
81
85
87
89
96
107
Стр.3
Глава 5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка .............................................................................................
5.1. Метод факторизации ...................................................................
5.2. Решение уравнения обобщенного гипергеометрического типа
5.3. Весовая функция и область определения решений ..................
5.4. Условие ортонормированности ..................................................
5.5. Производящая функция и алгоритм решения ...........................
5.6. Метод степенного ряда для уравнения с особой точкой ..........
5.7. Разложение решения в ряд по малому параметру. Метод
Вентцеля–Крамера–Бриллюэна (ВКБ) .............................................
Примеры 3 ...........................................................................................
Задачи 3 ...............................................................................................
Глава 6. Классические ортогональные полиномы .....................................
6.1. Полиномы Эрмита .......................................................................
Примеры 4 ...........................................................................................
Задачи 4 ...............................................................................................
6.2. Обобщенные полиномы Лагерра ................................................
Примеры 5 ...........................................................................................
Задачи 5 ...............................................................................................
6.3. Полиномы Лежандра ...................................................................
6.4. Присоединенные функции Лежандра ........................................
Примеры 6 ...........................................................................................
Задачи 6 ...............................................................................................
6.5. Полиномы Чебышева ..................................................................
Примеры 7 ...........................................................................................
Задачи 7 ...............................................................................................
Глава 7. Сферические функции и операторы момента импульса ............
7.1. Операторы момента импульса ....................................................
7.2. Сферические функции .................................................................
Примеры 8 ...........................................................................................
Задачи 8 ...............................................................................................
Глава 8. Функции Бесселя ............................................................................
8.1. Уравнения Бесселя и Ломмеля ...................................................
8.2. Функции Бесселя первого рода ..................................................
8.3. Рекуррентные соотношения ......................................................
8.4. Условия ортонормированности ..................................................
8.5. Функции Бесселя полуцелого порядка ......................................
4
113
114
119
124
126
127
128
130
133
147
151
155
164
172
174
187
192
194
199
205
209
211
218
221
223
223
227
236
240
242
242
243
250
253
255
Стр.4
8.6. Сферические функции Бесселя ..................................................
8.7. Функция Эйри первого рода .......................................................
8.8. Преобразования Ганкеля и Фурье–Бесселя ..............................
8.9. Фурье-преобразование в n-мерном пространстве ....................
Примеры 9 ...........................................................................................
Задачи 9 ...............................................................................................
Глава 9. Функция Грина ...............................................................................
9.1. Свойства функции Грина ............................................................
9.2. Метод сшивания .........................................................................
9.3. Спектральное представление для уравнения Лиувилля ...........
Примеры 10 .........................................................................................
Задачи 10 .............................................................................................
Глава 10. Дифференциальные уравнения с частными производными ....
10.1. Типы уравнений .........................................................................
10.2. Волновое уравнение ..................................................................
10.3. Уравнение теплопроводности ..................................................
Примеры 11 .........................................................................................
Литература ......................................................................................................
Предметный указатель ..................................................................................
256
261
264
268
273
291
294
296
297
300
304
316
318
318
321
327
331
335
337
5
Стр.5