НАРОДНЫЙ КОМИССАРИАТ
ЛЕСНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
т
РУДЫ
Лесотехнической
академии
им. <...> 1 Решение это, однако
справедливо лишь для слу- „
чая трубы, выполненной
из материала, обладающего
одинаковыми у п р у г и м и
свойствами во всех направлениях. <...> Уравнение равновесия элемента abed получим, проектируя все
силы на направление радиуса, в следующем виде:
где Cj и С 2 — произвольные постоянные интегрирования, определяемые из условий на наружной и внутренней поверхностях трубы:
Напряжения (ф-ла 1) могут быть представлены в таком виде.
или, подставляя значения напряжений о и а:
*<
Обозначая для краткости
В, имеем:
f, «
: — ^ ^ I ) через Л, а ^
Фи
, Л rfu
dp 3
'
?"°
р rfo
Положив t = lnp, имеем: <...> При действии одного внутреннего давления, т. е. когда ри
имеем:
в 4 и 5 столбцах приведены значения напряжений, подсчитанные
по формулам Ламе.
к
гЛ '-Ч
Е1
РУ
J
По формулам 5 <...> Для примера проведем сравнительные подсчеты по приведенным
формулам и формулам Ламе для случая сосновой трубы с внутренним диаметром 10 см и наружным 20 см, находящейся под
действием одного внутреннего давления. <...> Так как Для нашего случая v = gt, где g — ускорение аш ;
= f, откуда * = / f
тяжести и t—время, протекшее от начала движения тела, то ш'
ф-ле (1)
мы в уравнении v — gt, по существу, произвели замену переменной
и затем уже нашли значение средней скорости, и с х о д я и з
н о в о й з а в и с и м о с т и между функцией и аргументом. <...> §-.
1оэтому
и у' изобраНетрудно понять, в чем кроется причина обнаруженного ф а к т Г
<
Рис. <...> В применении к разобранному примеру указанное замечав в и сНо
освещенность в точке М, в зависимости от выбора незаимой
надо понимать так: если среднее значение функции _у = ] / 4 ^
переменной (в качестве таковой с равным правом можно
находится по формуле:
принять и г , и ?,
2
и х), представляется
(I.
по-разному:
то результат вычисления не изменится, если мы произведем в;
интегралом какую-либо теоретически
допустимую замену пер
менной. <...> 3.
результат вычисления не изменится, если под интегралом про»8 <...>
Труды_лесотехнической_академии_им._С._М._Кирова.pdf
Пролетарии всех стран, соединяйтесь!
НАРОДНЫЙ КОМИССАРИАТ
ЛЕСНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Лесотехнической
т
Mi i t ei I u n g e it
fopsttechniachen
k a d e m i e
Л Е
С T E X
Л E H
И 3 Д А Т
И Н Г Р А Д
академии
им. С. М. Кирова
РУД Ы
Стр.1
JIS08
ДОЦ. А. Н. МИТИНСКИЙ
К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ НАПРЯЖЕНИЙ
В ДЕРЕВЯННОЙ СВЕРЛЕНОЙ ТРУБЕ,
ПОДВЕРЖЕННОЙ ДЕЙСТВИЮ ВНУТРЕННЕГО
ДАВЛЕНИЯ
справедливо лишь для слу- „
чая трубы, выполненной
из материала, обладающего
одинаковыми упругими
свойствами во всех направлениях.
отделением
института механической
обработки древесины
при выполнении работы
по исследованию фиПеред
Ленинградским
зйко-механических
свойств
деревянных сверленых труб2
Ламе,3
Рис 1.
встал вопрос о методе расчета последних.
Ниже
приводится решение этой задачи, аналогичное решению
но с учетом разных значений модуля упругости и числа
циальных напряжений о, через £2 и \У2
симость между деформациями и напряжениями:
через Ех
и |*lf
Пуассона при определении деформаций в радиальном и тангенциальном
направлениях. Пользуясь обозначениями, приведенными
на рис. 1, и обозначив модуль нормальной упругости и Пуассоново
отношение, соответствующие деформациям от действия
радиальных напряжений °t
а деформациям от танген,
имеем следующую завигающихся
действию внутреннего и наружного давлений, обычно
пользуются известным решением Лапте.1
При определении напряжений в толстостенных трубак, подверРешение
это, однако
1
<»ро, который и предложил мне решить настоящую задачу.
8
2 Lame. Lecons sur la theorie de l'elasticite. Paris. 1852.
Работа выполнялась ииж. К. К. Пичахчи под руководством проф. Д. Ф. ШаС.
П. Тимошенко. Курс сопротивления материалов, изд. 1911—1932 гг. § 135.
Стр.2
или, заменяя(Л — 1)= (\is
откуда
1
I
dt?
— ^^1) через D:
(3)
Решение этого линейного диференциального уравнения не представляет
уже трудностей; корни характеристического уравнения:
Если и —радиальное перемещение какой-либо точки, находящейся
в расстоянии р от центра, то, как известно:1
тогда
(^ |
du1
i
du
u
\ (
(1)
Уравнение равновесия элемента abed получим, проектируя все
силы на направление радиуса, в следующем виде:
или, подставляя значения напряжений о и а:
*< f, «
Обозначая для краткости
В, имеем:
Фи , Л rfu
dp3
Положив t = lnp, имеем:
— = ~
_JL . ^___
p' л ~p ;
— l
откуда:
d u
h +
k, —lr k 3 —1
' 1
Подставляя эти значения в уР
-ние (2), имеем
Напряжения представятся окончательно в таком виде:
_
(1
. • (4)
£
j
' р rfo
:— ^^I ) через Л, а ^ через
?"°
(2)
ляемые из условий на наружной и внутренней поверхностях трубы:
Напряжения (ф-ла 1) могут быть представлены в таком виде.
Общий интеграл ур-ния (3):
или подставляя t=lnp
где Cj и С2
— произвольные постоянные интегрирования, опредеДля
наружной поверхности, т. е. при р = г3
наружному давлению, т. е. ог
внутреннему, т. е. ог
= —/7к
два уравнения для определения Ct
напряжение ог
= —р , Подставляя эти значения, получаем
и С2
, а на внутренней при р = г1
:
равно
—
Стр.3
имеем:
Е1
При действии одного внутреннего давления, т. е. когда ри
гЛк
'-Ч
Р У J (5)
Формулы (4) и (5) дают значения напряжений в общем виде;
в случае, когда (лг
ными формулами напряжений в задаче Ламе.
Для примера проведем сравнительные подсчеты по приведенным
==^2
= р и Е1
формулам и формулам Ламе для случая сосновой трубы с внутренним
диаметром 10 см и наружным 20 см, находящейся под
действием одного внутреннего давления. По данным Н. А. Филиппова
* для хвойных пород отношение модулей упругости ~ составляет,
примерно, 3; каких бы то ни было данных о значениях
коэфициентов Пуассона pt
приближением их можно положить равными нулю.2
и ^2
положив rt
— 5 см, r2
= 10 см,
А_±А — з
согласно формулам (5), имеем:
_ J^
Ю- J
4
>577 p
~~ 3 Ю~ <М23.д- 1,577 _ 5
г
10-0,423>5
Произведя подсчеты:
at
10- '.577 р
-1,577 _5
- 0,423
-0Т423ф
j 0
-0,423
-0,423. JQ-I'^T ?
- 1,577
['-©>
= 0,931p
где р должно быть выражено в см
Значения напряжений ot
трубы выписаны в о
.^кваТэзТГс ^ А
а
183.- ПеВЦ
° В
и аг дл я
различных точек по толщине
2 и 3 столбцах приводимой ниже таб^цы;
' Меиниче
«и е свойства и испытания древеТакое
значение принималось инж. К. К. Пичахчи.
в литературе нет; с некоторым
Тогда
= Е2 = Е, они совпадают с извест5
6
7
8
9
10
в
4 и 5 столбцах приведены значения напряжений, подсчитанные
по формулам Ламе.
По формулам 5
По формулам Ламе
°t
1,562/,,,
1,222 рь
1.023/»,,
0,892 рь
0,784 Я ь
0,701 рь
- 0,607 рь
-0,362/»,,
— 0,208 рь
— 0,083 ръ
0
—Рь
1,666 Р ь
1.257ft
1,013^
0,853рь
0,743 ft
0,666 ft
— Рь
-0,591ft
-0,347ft
-0,186ft
- 0,077 ft
0
Как видно из таблицы, расходимость между величинами напряжений,
подсчитанными по обеим формулам, незначительна. Однако,
делать из этого какие-либо выводы было бы поспешно, вследствие
допущенных, неточностей в принятых значениях числа Пуассона
и отношения модулей, объясняемых недостаточностью экспериментальных
данных. Более точное решение, которое позволило бы
сделать какие-либо общие выводы, могло бы быть дано только
после достаточно полного опытного изучения этих величин.
UEBER DIE SPANNUNGSBESTIMMUNQEN BEI GEBOHRTEN
HOLZROHREN
Prof. A. MltinskJj
ZUSAMMENFASSUNG
Die bekannte L6sung des Lame'schen Problems in Betreff der
Spannungen in einem unter Aussen und Innendruck stehenden dickwandigen
Zylinder ist ricfilig nur unter der Bedingtmg, dass der Zyhnder
aus isotropem Werkstoff hergestellt ist.
Fur die Spannungsbestimmung bei unter Innendruck stehenden
Holzr6hren mussen die Unterschiede in der Grosse des Normalelastizitatsmoduls
und der Poisson-Zahl in Radial- und Tangentialrichtung
in Betracht gezogen werden.
Die Losung dieser Aufgabe findet sich in der hier zur Veroftentlichung
kommenden Arbeit. Die Spannungswerte im allgemeinen Fallewenn
der anisotrope Zylinder unter Innen- und Aussendrucksteht —sind
in Formel 4 gegeben. Formel 5 zeigt die Spannungswerte Mr den
Sonderfall — wenn der Zylinder nur unter Innendruck steht.
Fur die praktische Anwendung dieser Formeln zur Spannungsbestimmung
in Holzrohren ist es erforderlich auf Grund von Versuchsergebnissen
die Zahlenwerte des Moduls E und der Poissen-Zahl in; Beziehung
auf die verschiedenen Verhaltnisse zur Faserrichtung zu prSzisieren.
Стр.4