Вычислительная математика, численный анализ

В монографии изложены результаты исследования математической модели стержневого элемента консольного типа, представленной нелинейным дифференциальным уравнением. Показаны возможности численной реализации методов и процедур. Результаты сравниваются с расчетами консольной конструкции в программах ЛИРА10 и SCAD++. Также представлены материалы по расчету сложных конструкций, поясняющие технологию использования для современных технических вычислений системы Mathematica и программных комплексов SCAD Office, ЛИРА 10.

В настоящее время математическое моделирование устройств и систем основывается на использовании таких средств вычислительной математики, как численный анализ и численное решение краевых задач для уравнений математической физики. В настоящем пособии рассматриваются вопросы интерполяции и сглаживания экспериментальных данных, численного вычисления интегралов, а также введения в численные методы решения краевых задач методом сеток и методом конечных элементов.

Дисциплина «Математические методы в физической культуре» относится к части, формируемой участниками образовательных отношений, к обязательным дисциплинам Блока дисциплин: Б1. В.О2. В соответствии с учебным планом дисциплина изучается на 1 курсе в 1-м и 2-ом семестрах по заочной форме обучения. Итоговая форма контроля – экзамен. Для успешного освоения дисциплины необходимы входные знания, уме- ния и навыки студента по математике и информатике в объеме средней школы.

Служит дополнением к авторскому лекционному курсу, читаемому по дисциплине и является руководством для самостоятельного изучения материала в системе дистанционного обучения MOODLE и выполнения контрольной работы в межсессионный период.

Книга отражает актуальный уровень развития численных методов и алгоритмов, ориентированных на применение современной вычислительной техники и позволяющих проводить количественный анализ математических моделей широкого класса реальных природных, социальных и технических объектов. Изложены методы решения задач линейной алгебры, систем нелинейных алгебраических уравнений, интерполяция функций, методы численного интегрирования и дифференцирования, численные методы решения задачи Коши и краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведены основы общей теории разностных схем и ее применение к построению и анализу методов численного решения эллиптических, параболических и гиперболических уравнений, а также численные методы решения интегральных уравнений. Представлены методы генерации сеток для многомерных задач математической физики, многосеточные методы решения, численные методы для решения уравнения переноса и уравнений газовой динамики, алгоритмические основы метода конечных элементов.

Приведены формулировки стационарных и нестационарных задач теплопроводности. Рассмотрены основные особенности построения численного решения этих задач в рамках конечно-элементной технологии.

Изложены результаты теоретических исследований процессов неэквимолярной массоотдачи в системах газ(пар) – жидкость. Приведена разработка методики расчета, интегрированная в программный комплекс вычислительной гидродинамики ANSYS Fluent массобменного оборудования, а также предложена математическая модель и введен параметр, определяющий взаимосвязь движущих сил (параметр p). Модель базируется на численном решении трехмерных нестационарных уравнений переноса массы, энергии, импульса, а также на специально добавленой надстройке UDF, необходимой для корректного расчета массообменных процессов. На основе представленной модели исследовано влияние неэквимолярности, а также получены профили скоростей и концентраций в осесимметричном газовом потоке, осложненном поперечной диффузией, при ламинарном и турбулентном течении пара (газа).

В курсе лекций рассмотрены вопросы математического моделирования связанных физико-механических задач и применения методов конечных элементов для их решения. Особое внимание уделено связанным задачам электроупругости, термоупругости, пороупругости и задачам взаимодействия деформируемых тел с акустическими средами. Акцентируются математические особенности рассматриваемых задач в их классических и обобщенных постановках. Теоретическая часть пособия подкреплена лабораторными работами по решению модельных задач пьезоэлектричества, термоупругости и задач о взаимодействии твердотельных тел с акустическими средами с использованием программного комплекса ANSYS версии 11.0 и выше. Пособие является переработанной версией в авторском переводе соответствующего англоязычного пособия: Nasedkin A. V., Nasedkina A. A. Finite element modeling of coupled problems: textbook / Rostov-on-Don: publishing house of Southern Federal University, 2015.

В учебно-методическом пособии изложены общие сведения о моделировании, основы теории подобия и анализа размерностей, включая примеры решения задач, сведения о численных и экспериментальных методах моделирования в строительной отрасли, рекомендации к выполнению курсовой работы.

Учебное пособие посвящено теории оптимизации функции многих переменных, содержит описание численных методов локальной и глобальной безусловной оптимизации. Материал пособия направлен на приобретение навыков решения оптимизационных технико-экономических задач.

Методические рекомендации предназначены студентам, изучающим курс численных методов или вычислительную математику.

В серии методических материалов рассмотрены основные вопросы численных методов. Предназначены для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов.

В пособии кратко изложены некоторые математические методы, часто используемые в физике. В том числе методы матанализа, численные методы и т. д.

Рассматривается движение спутных коаксиальных циркуляционно- продольных потоков жидкости со взаимно противоположным вращением. Такое течение называется контрвихревым и применяется в современных технологиях микробиологической и химической промышленности, в гидротехнике, гидроэкологии, энергетике, двигателестроении. Рассмотрены вопросы математического и численного моделирования контрвихревых течений, а также гидравлика таких потоков, в том числе методики гидравлических расчетов сооружений и оборудования, основанных на их использовании.

В монографии рассматриваются процессы переноса под действием электрического поля в многокомпонентных химически и биологически активных сплошных средах. Построены математические модели процессов переноса, которые исследованы аналитическими, асимптотическими и численными методами.

В монографии изложены достижения в области математического и численного моделирования нестационарного переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы. Излагаются вопросы, связанные с решением обратных задач и разработкой качественных расчетно-аналитических моделей в проблеме контроля и прогноза экологического состояния атмосферы. Выполняется разработка соответствующих вычислительных моделей и эффективных алгоритмов для решения задач прогноза переноса и рассеяния аэрозолей, использующих оперативную информацию метеорологического характера

Предлагается численный метод построения внешней полиэдральной оценки трубки траекторий нелинейной динамической системы, заданной дифференциальным включением. Метод основан на аппроксимации сечений трубки траекторий (множеств достижимости) для вспомогательной системы, описываемой выпуклой оболочкой графика дифференциального включения, и позволяет строить полиэдральные оценки, пригодные как для непосредственного изучения трубки путем компьютерной визуализации, так и в рамках решения более общих задач

В статье рассматривается задача моделирования системы трубопроводов с различной пропускной способностью в нестационарном режиме. Представлена изотермическая постановка задачи с постоянным компонентным составом, которую в дальнейшем легко обобщить на неизотермический случай, с учетом изменения компонентного состава газа, поступающего на входы ГТС

Практикум содержит планы практических занятий, включающие теоретическую и практическую части, задания, контрольные вопросы и литературу, способствует формированию общекультурных и профессиональных компетенций. Предназначен для студентов-бакалавров, обучающихся по направлению подготовки 231300.62 – Прикладная математика

В работе рассмотрено развитие модели "обогни нападение" Ю- Б. Гермейера в части учета многоуровневой системы обороны на заданном направлении. Модель представляет собой частный случай задачи дискретного оптимального управления терминального типа и может быть решена методом субградиентного спуска. Поставленная задача управления уточняет задачу распределения ресурсов защиты на заданном направлении по уровням с помощью использования более общих ограничений, учитывающих возможность действия средств защиты на различных рубежах

Издание рассматривает методики, предназначенные для решения задач механики сплошной среды на неструктурированных многоугольных и многогранных сетках. Это методики ДМК, ТИМ и МЕДУЗА, применяемые в Институте теоретической и математической физики РФЯЦ-ВНИИЭФ.

Выполнено компьютерное моделирование численного двумерного и экспериментального квазидвумерного бенчмарков по кристаллизации бинарных сплавов Приведено сравнение результатов расчетов численного бенчмарка, выполненных с помощью программ FLUENT и GIGAN. Получены качественно и количественно похожие результаты для сегрегации примеси. Представлены результаты численного моделирования экспериментов по перекристаллизации прямоугольного слитка композиции олово!свинец Sn-3%Pb. Расчеты выполнены с помощью программы GIGAN по двум моделям затвердевания: равновесной и неравновесной. Сравнение экспериментальных данных и результатов расчета показало, что эволюция температурного поля под действием естественной конвекции и распределение примеси в закристаллизованном образце лучше описываются неравновесной моделью кристаллизации.

Представлен алгоритм, позволяющий находить решения многогруппового уравнения переноса излучения в многомерных геометриях с таблично заданными сечениями рассеяния. Приводятся результаты верификации алгоритма на простой модельной задаче с модельными гладкими сечениями рассеяния. Представлены результаты расчетов плотностей потоков нейтронов и гамма-квантов с сечениями рассеяния, отвечающими реальным законам взаимодействия излучения со средой, в небольшой модельной задаче с точечным изотропным моноэнергетическим источником, а также в защитной области реактора ВВЭР-1000. Показано, как меняются значения плотностей потоков при переходе от таблично заданных сечений к их полиномиальному представлению

В систему уравнений газовой динамики, описывающую двумерные течения в эйлеровых координатах, консервативным образом вводятся искусственные диффузии массы, импульса и полной энергии. После перехода к лагранжевым координатам получены формулы для скорости искусственной диффузии массы в уравнении неразрывности, а также для искусственных вязкостей в уравнениях движения и энергии. Искусственная вязкость в уравнении движения представляет собой тензор, пропорциональный девиатору тензора скоростей деформаций Результаты тестовых расчетов демонстрируют высокую эффективность новой системы вязкостей по уменьшению энтропийного следа в численном решении уравнений лагранжевой газовой динамики.

Предлагается модификация алгоритма Боуэра-!Уотсона построения треугольной неструктурированной топологически двумерной сетки в областях произвольной формы и связности. Алгоритм состоит из четырех частей: 1) триангуляция исходного контура; 2) минимизация геометрической меры нерегулярности; 3) минимизация топологической меры нерегулярности; 4) измельчение полученной сетки (не обязательное).

Дается описание алгоритмов расчета взрывчатого превращения ВВ, реализованных в кодах ЭГАК и ТРЭК. Рассматриваются кинетики Тарвера и Морозова!Карпенко Особое внимание уделено расчетам на дробной сетке.

Дано описание математического обеспечения программно-технического комплекса ИСКЕНДЕР, разработанного на основе методов математического и численного моделирования взаимосвязанных термо- и гидродинамических процессов, происходящих при движении многофазных потоков в трубах наклонно-направленной скважины, проточных каналах погружного электроцентробежного насоса и пористой среде нефтяного пласта сложной структуры. Пакет предназначен для экспресс-анализа эксплуатационных режимов работы добывающих скважин с вертикальным или горизонтальным окончанием, решения задач оптимизации таких режимов, ведения хранилища данных по нефтяным месторождениям и подземному оборудованию скважин. Приведены примеры решения некоторых задач, иллюстрирующие работу модулей пакета.

Рассматриваются методы мелкозернистого распараллеливания, применяемые в методике ТИМ-2D. Мелкозернистое распараллеливание осуществляется в модели распределенной памяти с использованием интерфейса MPI. При этом применяются два подхода 1) c наложением параобластей в один слой ячеек; 2) без наложения параобластей с расчетом взаимодействия между ними. Приводится сравнение методов по эффективности распараллеливания на одном из тестовых расчетов.

Описывается развитие монотонного метода частиц для двумерных задач газовой динамики, реализованного в рамках комплекса ЭГАК. Приводятся алгоритмы взаимодействия частиц с компонентами, которые заданы без применения частиц, а также алгоритмы, позволяющие делать расчет, используя частицы только в окрестности контактных границ

Описаны этапы и методы повышения эффективности расчета в параллельном режиме по комплексу программ 3D-РНД начальных данных задач математической физики в трехмерной постановке. В первом методе используется балансировка вычислительной нагрузки на основе оценки вычислительной сложности ячеек сетки, согласно которой осуществляется их распределение по процессам. Во втором методе выполняются деление всего объема ячеек на большое количество порций (блоков) и их динамическое распределение между процессами. Для сохранения рассчитанных данных в комплексе программ 3D-РНД используется библиотека ЕФР, которая обеспечивает эффективный доступ к файловым данным на многопроцессорных ЭВМ. Для методов описаны базовые алгоритмы расчета и сохранения начальных данных, проведен сравнительный анализ скоростных показателей расчета начальных данных ряда задач

Представлены результаты математического моделирования процесса тепломассопереноса при перекристаллизации интерметаллического образца TiAl(Nb,Cr,Zr) методом вертикальной бестигельной зонной плавки. Для расчетов применялась неравновесная математическая модель затвердевания многокомпонентных расплавов ! обобщение ранее предложенной модели затвердевания бинарных расплавов. Целью работы являлось установление соответствия между технологическими условиями процесса кристаллизации и микроструктурой получаемых в результате слитков

Представлен подход к моделированию нестационарных отрывных турбулентных течений и генерируемых ими акустических полей для объектов сложной формы с использованием сеток, состоящих из усеченных шестигранников, и рассмотрены принципы его реализации. На примерах решения задач моделирования трансзвукового нестационарного турбулентного течения в каверне и генерируемого им акустического поля, а также обтекания тандема цилиндров показано, что используемые алгоритмы являются перспективными для данного класса задач

Описан метод распараллеливания с применением двумерной декомпозиции расчетной сетки с наложением в один столбец и весь диапазон строк вдоль каждого столбца, рассчитываемого на процессоре. Данный подход гарантирует полноту информации как о геометрических, так и термодинамических параметрах ячеек вне зависимости от степени неортогональности расчетной сетки Приведены результаты тестовых расчетов на точность и эффективность распараллеливания, полученные при различных декомпозициях расчетной сетки.

Статья посвящена реализации в рамках программы InterVal-3D возможности пересчета газодинамических величин с одной трехмерной регулярной (структурированной) сетки на другую с учетом восстановленной границы раздела между веществами в смешанных ячейках. Дается описание программы InterVal-3D, ее возможностей, а также принципов пересчета, положенных в основу программы. Описывается реализованный алгоритм восстановления границы раздела веществ. Приводится сравнительный анализ результатов пересчета с использованием алгоритма восстановления контактных границ и без него в модельных задачах с различными типами пространственных сеток.

В многогрупповом приближении анизотропия рассеяния нейтронов описывается коэффициентами разложения по полиномам Лежандра. При численном решении обычно используются разложения низкого порядка из трех или пяти членов. Восстановленная из таких разложений плотность распределения косинуса угла рассеяния может принимать отрицательные значения, что делает невозможным решение задач переноса методом Монте-Карло в одинаковой постановке с разностными методами. Чтобы этого избежать, исходная плотность заменяется эквивалентной дискретной плотностью. Эквивалентность понимается в смысле совпадения моментов плотностей. Для сглаживания лучевых эффектов к дискретной плотности добавляется комбинация треугольных плотностей, сохраняющая два первых момента исходной плотности

В рамках двухжидкостного приближения с равными давлениями фаз предлагается модель, позволяющая физически корректно описывать динамику двухфазного вертикально стратифицированного течения. Данная модель основана на модификации конечно-разностной аппроксимации конвективных членов в уравнениях сохранения массы и градиентов давления с учетом наличия четко выраженной границы раздела фаз. Демонстрируются примеры корректного расчета задач со стратифицированным двухфазным потоком

Методика ТИМ-2D предназначена для решения задач механики сплошной среды на неструктурированных многоугольных лагранжевых сетках произвольного вида. В методике используется трехуровневое распараллеливание. На первом и втором уровнях, при распараллеливании счета по математическим областям и внутри математических областей по параобластям, используется модель распределенной памяти и интерфейс MPI. На третьем уровне осуществляется распараллеливание итераций счетных циклов в модели общей памяти с помощью интерфейса OpenMP. Уровни распараллеливания могут использоваться как по отдельности, так и в различных сочетаниях при решении одной задачи.

Дается краткое описание методики САТУРН, предназначенной для численного решения двумерных и трехмерных стационарных и нестационарных задач переноса нейтронов и нелинейных задач переноса энергии фотонами, ионами, электронами и быстрыми заряженными частицами. Решение уравнения переноса выполняется в кинетическом или диффузионном приближении

В рамках модели двумерной кинематической волны дается математическое описание склонового стока дождевых осадков на поверхности водосбора речной сети с учетом впитывания воды в зону неполного насыщения почвы. Для определения содержания влаги в этой зоне предложен приближенный подход, основанный на модели капиллярной пропитки. Показано, что в начальный момент появления жидких осадков склоновый сток не образуется. Запаздывающий аргумент и момент появления склонового стока вычисляются из системы алгебраических уравнений

Рассматривается метод повышения производительности коллективных коммуникаций в конкретной реализации MPI за счет разбиения коммуникационных пространств, на которых изначально инициируются коллективные операции, на однородные подпространства и последующего выполнения этих операций по частям на отдельных подпространствах. При этом используются уже существующие алгоритмы коллективных операций

Дается описание математической модели процесса выращивания биокристаллов методом свободной диффузии. Приводятся результаты модельных расчетов, позволившие выявить основные механизмы зарождения и роста биокристаллов и наметить пути улучшения качества и увеличения размеров выращиваемых кристаллов под управляющим воздействием температурного поля

Дается описание методов распараллеливания, используемых при расчете газодинамических задач на неструктрированных сетках. Основное внимание уделено алгоритмам распараллеливания при перестроении сетки. Результаты расчета тестовой задачи подтверждают применимость разработанных методов

Приводится описание методов распараллеливания, используемых при расчете газоди- намических задач на неструктурированных сетках. Основное внимание уделено алгоритмам распараллеливания при перестроении сетки. Результаты расчета тестовой задачи подтверждают применимость разработанных методов.

Предлагается модификация алгоритма Боуэра – Уотсона построения треугольной неструктурированной топологически двумерной сетки в областях произвольной формы и связности. Алгоритм состоит из четырех частей: 1) триангуляция области, ограниченной исходным контуром; 2) минимизация геометрической меры нерегулярности; 3) минимизация топологической меры нерегулярности; 4) измельчение полученной сетки (необязательное)

Описано развитие монотонного метода частиц для двумерных задач газовой динамики, реализованного в рамках комплекса программ ЭГАК. Приводятся алгоритмы взаимодействия частиц с компонентами, которые заданы без применения частиц, а также алгоритмы, позволяющие делать расчеты, используя частицы только в окрестности контактных границ

Статья посвящена реализации в рамках программы InterVal-3D возможности пересчета газодинамических величин с одной трехмерной регулярной (структурированной) сетки на другую с учетом восстановленной границы раздела между веществами в смешанных ячейках. Дается описание программы InterVal-3D, ее возможностей, а также принципов пересчета, заложенных в основу программы. Описывается реализованный алгоритм восстановления границы раздела веществ. Приводится сравнительный анализ результатов пересчета с использованием алгоритма восстановления контактных границ и без него в модельных задачах с различными типами пространственных сеток

В многогрупповом приближении анизотропия рассеяния нейтронов описывается коэффициентами разложения по полиномам Лежандра. При численном решении обычно используются разложения низкого порядка из трех или пяти членов. Восстановленная из таких разложений плотность распределения косинуса угла рассеяния может принимать отрицательные значения, что делает невозможным решение задач переноса методом Монте-Карло в одинаковой постановке с разностными методами. Во избежание этого исходная плотность заменяется эквивалентной дискретной плотностью. Эквивалентность понимается в смысле совпадения моментов плотностей. Для сглаживания лучевых эффектов к дискретной плотности добавляется комбинация треугольных плотностей, сохраняющая два первых момента исходной плотности

Дано краткое описание методики САТУРН, предназначенной для численного решения двумерных и трехмерных стационарных и нестационарных задач переноса нейтронов и нелинейных задач переноса энергии фотонами, ионами, электронами и быстрыми заряженными частицами. Решение уравнения переноса выполняется в кинетическом или диффузионном приближении Методика САТУРН ориентирована на применение современных многопроцессорных суперЭВМ с распределенной памятью. Изложены базовые положения методики. Формулируются физико-математические модели и математические методы, используемые для решения отмеченных классов многомерных задач, а также алгоритмы распараллеливания.

Приведено описание подхода к анализу конструкторско-технологической информации с помощью искусственной нейронной сети (ИНС) и классического алгоритма обратного распространения при ее обучении, на основе которого разработано программное обеспечение для создания, обучения и функционирования полносвязной ИНС произвольной топологии. Проанализированы технологические данные испытаний фрез для контурной обработки древесины, полученные с применением метода аппроксимации экспериментальных зависимостей регрессионными формулами. Описаны результаты численных экспериментов с использованием ИНС. При проведении первого эксперимента применялась полносвязная ИНС для комбинации «обрабатываемый материал – направление подачи», включающая 3 нейрона; при проведении второго эксперимента произведено обучение ИНС, включающей 6 нейронов. Оценена точность данных, полученных при помощи метода ИНС, в сравнении с классическими способами обработки и использования экспериментальных данных. Установлено, что прогноз выходных параметров, в частности уровня вибраций и качества получаемой поверхности, с помощью ИНС обладает более высокой точностью, чем оценка, которую дают феноменологические модели. Использование метода на основе ИНС позволяет подобрать режимы резания при заданной комбинации «обрабатываемый материал – направление подачи» для обеспечения требуемых параметров технологической операции. Показано, что ИНС практически не имеет ограничений по количеству анализируемых факторов, может обрабатывать числовой, текстовый или логический тип данных и отражать субъективные оценки объекта исследования проектировщиком, что невозможно при классическом экспериментальном подходе с применением регрессионных моделей. Поэтому ИНС с накопленными и проанализированными знаниями способна генерировать значения количественных характеристик проектируемых технологических операций с учетом особенностей конкретного производства, что позволило сделать вывод о перспективности дальнейших исследований в области использования ИНС при анализе и хранении производственных данных, а также для получения новых знаний.

Рассматривается движение спутных коаксиальных циркуляционно-продольных потоков жидкости со взаимно противоположным вращением. Такое течение называется контрвихревым и применяется в современных технологиях микробиологической и химической промышленности, в гидротехнике, гидроэкологии, энергетике, двигателестроении. Рассмотрены вопросы математического и численного моделирования контрвихревых течений, а также гидравлика таких потоков, в том числе методики гидравлических расчетов сооружений и оборудования, основанных на их использовании.