Дифференциальное и интегральное исчисление. Дифференциальные и интегральные уравнения. Теория функций

Настоящее пособие составлено на основе олимпиадных задач по математике преподавателями факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова. Пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также указания и решения к большинству задач.

Рассмотрены обыкновенные дифференциальные уравнения. Изложение теоретического материала сопровождается примерами. Приведены задания для самостоятельной работы и ответы к ним.

Настоящее учебное пособие подготовлено для студентов всех направлений факультетов РЭФ, ФТФ, МТФ, изучающих в курсе математики раздел «операционное исчисление». Пособие содержит теоретический материал, примеры типовых задач с подробными решениями, задания для самостоятельной работы студентов.

Курс обыкновенных дифференциальных уравнений является одним из важных разделов современной математики и имеет большое значение в современном математическом образовании. Данное учебное пособие посвящено вопросам существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения вида y′ = f (x, y), зависимости решения от параметров, интегрированию некоторых уравнений первого и n-го порядка в квадратурах. Рассматриваются методы нахождения аналитических решений систем линейных дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами. Пособие содержит большое число подробно решенных примеров различного уровня сложности, что способствует глубокому усвоению теории.

Настоящее пособие адресовано студентам дневного и заочного отделений, обучающимся по направлениям: 44.03.05 Педагогическое образование (профили Математика, Математика и Информатика, Математика и Физика), 02.03.03 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем.

Учебно-методическое пособие «Определенный интеграл» посвящено изучению определенного интеграла и его приложений - одного из важнейших и эффективных орудий математики в решении практических задач. Учебно-методическое пособие написано на основе опыта преподавания авторами дисциплины «Математика» в Многопрофильном колледже. В учебно-методическом пособии приведены теоретический материал в соответствии с темой, обращение к которому поможет выполнить задание самостоятельной работы, вопросы для самоконтроля, подготавливающие к выполнению заданий и сами задания.

В пособии систематически описаны основы лагранжева анализа конечных изменений. Предназначено для студентов направлений, получающих углублённую математическую подготовку, и связано с решением широкого круга задач. Включённый в пособие материал будет полезен также инженерам, аспирантам, научным работникам, применяющим в расчётах математические методы, для них пособие может служить и в качестве справочника.

Данное пособие составлено в соответствии с программой курса «Дифференциальные уравнения». Каждый раздел содержит теоретический материал, примеры решения типовых задач, задания для самостоятельной работы. Представленный материал дает возможность студентам использовать его в процессе аудиторной и самостоятельной работы для освоения основных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. В конце пособия представлены варианты контрольных работ, справочный материал, а также список рекомендуемой литературы

Вопросы об асимптотике собственных значений и собственных функций в зависимости от коэффициентов дифференциального выражения, а также о получении формул регуляризованного следа для соответствующих операторов являются весьма актуальными в современной спектральной теории дифференциальных операторов. В случае оператора Штурма–Лиувилля с непрерывно-дифференцируемым потенциалом основные результаты были получены И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном в работе 1953 года. Позднее в работах Л.А. Дикого, В.А. Садовничего, В.Б. Лидского, В.А. Марченко и других математиков эти результаты были обобщены на случай дифференциальных операторов высших порядков и операторов в частных производных. Для оператора Штурма–Лиувилля с сингулярным потенциалом, не являющимся локально интегрируемой функцией, и краевых условий Дирихле на конечном интервале аналогичные вопросы впервые были рассмотрены А.А. Шкаликовым и А.М. Савчуком в работах 1999–2003 годов. В сравнительно недавних работах А.Г. Костюченко и С.Р. Исмагилова (2007–2008 годы) был получен главный член асимптотики считающей функции для самосопряженных расширений векторного оператора Штурма–Лиувилля, порожденного выражением [ ] ( ) ( ) ( ) l y y x Q x y x ′′ =‑ + в пространстве 2 2( ) L R+ , где ( ) Q x – вещественная симметрическая квадратная матрица второго порядка. Данная работа посвящена нахождению трансцендентных уравнений для собственных значений самосопряженного оператора, порожденного выражением 1 1 [ ]( ) ( ) ( ) ( ) n k k k l y x y x h x x y x ‑ = ′′ = ‑ + d ‑ ∑ , где k k x n = , k h R ∈ ( 1,2, ..., 1 k n = ‑ ), а ( ) x d – d -функция Дирака, и разделенными краевыми условиями вида (0) (1) 0, y y = = [1] (0) (1) 0, y y = = [1] [1] (0) (1) 0 y y = = в пространстве 2[0, 1] L . Дальнейший анализ полученных уравнений позволяет найти асимптотику собственных значений и формулу регуляризованного следа первого порядка рассмотренных операторов

Пособие посвящено изложению специальных разделов курса математического анализа. В нем рассматриваются следующие темы: понятие определенного интеграла, его геометрический и физический смысл, основные свойства, правила вычисления, вычисление площади и длины дуги плоской фигуры, вычисление объема тела вращения, площади поверхности вращения, приложения определенных интегралов к решению простейших физических задач, несобственные интегралы, приближенное вычисление определенных интегралов. Должное внимание уделяется применению изложенных теоретических сведений к решению соответствующих задач геометрии и механики.

Пособие включает в себя теоретический и практический материал по теме «Определенный интеграл и его приложения», задания к расчетно-графической работе и методические указания для ее решения.

Пособие предназначено для студентов, изучающих курс высшей математики. Содержит теоретический материал и примеры решения задач по операционному исчислению – разделу высшей математики, входящему в обязательный стандарт образования студентов радиотехнических, электротехнических и теплоэнергетических специальностей. Также включены контрольные вопросы к курсу и список рекомендуемой литературы.

Представлены теоретические сведения об операционном исчислении и рассмотрены примеры решения задач из домашнего задания по темам: нахождение изображений и оригиналов, решение интегральных уравнений типа свертки, решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами. Приведены 25 вариантов условий домашнего задания. Для решения некоторых задач требуется применение систем компьютерной математики, например системы Maple.

Курс является классическим представителем математических дисциплин, образующих базу для подготовки специалистов в области прикладной механики. Основу курса составляет теория аналитических функций с некоторыми приложениями. Теория излагается как естественное обобщение теорем анализа функций вещественной переменной. Базой для изучения функций комплексной переменной являются: основы математического анализа, дифференциальное исчисление, функции нескольких независимых переменных, функциональные ряды. Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов факультета летательных аппаратов при изучении дисциплин «Уравнения математической физики», «Теория упругости» и окажется полезным студентам других факультетов.

Изложены аналитические и приближенно-аналитические методы и алгоритмы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Применение каждого метода продемонстрировано на решении типовых и нетиповых примеров, охватывающих различные приложения к задачам механики, экономики, расчета электрических цепей и биологических систем. Особое внимание уделено специфике решения задач анализа выходных процессов и устойчивости одно- и многомерных динамических систем, исследуемых в теории управления.