МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ
КЛАССИЧЕСКОЙ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ
Часть I
Учебно-методическое пособие
Составитель
Я. А. Израилевич
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2017
Стр.1
Оглавление
Предисловие ....................................................................................................... 5
1. Основы классической финансовой математики ......................................... 7
1.1. Несколько простых примеров и терминология ............................. 7
1.2. Поток платежей. Эквивалентность потоков .................................. 9
1.3. Общий случай и строгое определение .......................................... 13
1.4. Модель баланса финансовой операции ........................................ 14
1.5. Номинальная и эффективная процентные ставки
по депозитам и кредитам. Полная стоимость кредита ....................... 17
1.6. Модель непрерывного начисления процентов. Число e ............. 20
1.7. Доходность. Доходность вклада ................................................... 22
1.8. Доходность кредита. Внутренняя доходность потока
платежей. IRR ......................................................................................... 24
2. Избранные вопросы экономики и финансов, важные при знакомстве
с финансовой математикой ............................................................................. 28
2.1. Эффект финансового рычага ......................................................... 28
2.2. Инфляция ......................................................................................... 30
2.3. Анализ инвестиционных проектов ............................................... 34
2.3.1. Приведенный доход проекта ...................................................... 34
2.3.2. Чистый приведенный доход проекта ......................................... 35
2.3.3. Рентабельность (прибыльность) проекта .................................. 35
2.3.4. Срок окупаемости проекта ......................................................... 36
2.3.5. Внутренняя доходность проекта ................................................ 36
2.3.6. Какими показателями пользоваться? ......................................... 37
2.3.7. Любопытная информация ........................................................... 38
2.3.8. Точки Фишера .............................................................................. 39
2.3.9. Еще одна характеристика инвестиционного проекта.
Модифицированная внутренняя доходность проекта MIRR ............ 41
2.4. Облигации и их дюрации ............................................................... 42
2.5. Время – деньги! ............................................................................... 48
3. Финансовые расчеты в электронных таблицах и без них, или
Компьютерные аспекты практических приложений классической
финансовой математики .................................................................................. 50
3.1. Парадигма. Microsoft Excel рулит ................................................. 50
3.2. Концепция. Проверка дублированием.......................................... 51
3.3. Решение простейшей задачи. Расчеты по вкладам .................... 52
3.4. Расчеты по ссудам .......................................................................... 58
3.5. Непосредственный расчет ссуд ..................................................... 62
3.6. Расчеты с помощью комбинации встроенной функции
и «подбора параметра» .......................................................................... 65
3.7. Расчеты характеристик инвестиционных проектов .................... 67
3.8. Расчеты по облигациям .................................................................. 69
3
Стр.3
проектов, облигации, роль процентных ставок. В третьем излагаются компьютерные
аспекты практических приложений классической финансовой
математики. В основном используется Microsoft Excel (или ее клон вроде
LibreOffice Calc). Расчеты ведутся как с использованием встроенных финансовых
функций, так и без них. Особое внимание уделяется повышению
надежности получаемых результатов.
Как читать это пособие? Можно линейно, все разделы по порядку,
пропуская при первом чтении то, что не кажется важным, и восполняя
пропущенное по мере необходимости. А можно начать с третьего раздела,
разбирая его тут же в Microsoft Excel, читая необходимые для понимания
материалы из предшествующих разделов и выполняя предложенные упражнения.
В
любом случае желаю Вам успеха!
Вторая часть пособия будет посвящена финансовой математике для
задач в условиях неопределенности, главным образом, стохастической
финансовой математике. Будут рассмотрены понятие риска, методы оптимизации
в условиях неопределенности, математические модели операций
на финансовых рынках, финансовая инженерия. Существенная часть пособия
будет связана с компьютерными технологиями расчетов в соответствующих
задачах.
Все совпадения с любыми другими текстами неслучайны. Все ошибки
и неточности принадлежат автору. Автор заранее благодарен за все замечания.
Стр.6
1. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ
Финансовая математика – математическая дисциплина, предоставляющая
математический аппарат для практических финансовых расчетов и для
экономической дисциплины – финансового анализа. Вместе с тем у финансовой
математики есть собственные предмет, метод и история.
Финансовая математика занимается исследованием некоторых аспектов
известного тезиса «Время – деньги!». Эти аспекты связаны с такими
общеупотребительными вещами, как вклады (депозиты), кредиты, пенсии,
а также с такими менее общеупотребительными, но всё же важными вещами,
как облигации, акции, опционы и др.
Классическая финансовая математика занимается анализом соотношений
между деньгами и временем в условиях определенности, т. е. не рассматривает
возможности краха банка или исчезновения заемщика.
Стохастическая финансовая математика занимается как анализом соотношений
между деньгами и временем при действии неопределенных и
случайных факторов, так и анализом возникающих рисков.
Современные практические приложения финансовой математики
опираются на компьютерные технологии.
Классическая финансовая математика – очень простая дисциплина. В
XIX в. ее называли финансовой арифметикой. Злые языки говорят, что в
классической финансовой математике нет ничего, кроме сложных процентов.
Сейчас это, пожалуй, не совсем так, хотя, безусловно, формула сложных
процентов лежит в основе классической финансовой математики.
Вместе с тем стоит отметить, что область применения классической
финансовой математики широка и весьма важна. Это – депозиты, кредиты,
облигации, пенсии негосударственных пенсионных фондов, анализ
инвестиционных проектов и т. д. Цена конкретной ошибки в этих областях
измеряется конкретной денежной суммой, а решения часто приходится
принимать быстро. Поэтому для того, кто предполагает заниматься
экономикой и финансами, важно уверенно ориентироваться в ситуациях,
лежащих на стыке конкретных финансовых задач, конкретных математических
моделей и конкретных компьютерных средств и методов.
И никакие книги тут не помогут, если индивидуум не будет упражняться
в решении конкретных задач, лежащих на вышеуказанном стыке (см.
раздел 3).
1.1. Несколько простых примеров и терминология
Начнем с простых примеров и терминологии.
Пример 1.1.1. Пусть студент А положил в банк Б сумму P на депозит
на 1 год при процентной ставке r, r > 0. Тогда через год банк Б выплатит
7
Стр.7
студенту А сумму S, равную P(1+ r). Можно сказать, что сумма P – сегодня
– эквивалентна сумме P(1 + r) – через год – при процентной ставке r.
Процентную ставку r в данном случае измеряют в процентах за год (в
процентах годовых). Коэффициент (1+ r) называют коэффициентом наращения
(за год), а обратную величину 1/(1 + r) – коэффициентом дисконтирования
(за год). Величину 1/(1 + r) иногда представляют в виде
1 – d = 1/(1 + r), в этом случае d называют учетной ставкой. Ясно, что
P = (1 – d)S. На практике наращение (например, выплата дохода, большего
номинальной начальной суммы вклада) выполняется в конце промежутка
времени, а дисконтирование (дисконт – скидка, например от номинальной
суммы векселя при покупке-продаже векселя) – в начале промежутка
времени.
Пример 1.1.2. Пусть студент А положил в банк Б сумму P на депозит на
3 года при процентной ставке r, r > 0, измеренной в процентах годовых, и
банк при определении дохода S использовал формулу простых процентов
SА = P(1 + nr),
(1.1.1)
где n = 3 в данном случае.
Пусть другой студент В положил в банк Г такую же сумму P на депозит
на 3 года при такой же процентной ставке r, измеренной в процентах
годовых, но банк Г при определении дохода SВ использовал формулу
сложных процентов:
где n = 3 в данном случае.
Заметим, что 1) SВ > SА; 2) формула сложных процентов естественSВ
= P(1 + r)n,
(1.1.2)
нее, чем формула простых процентов, так как учитывает возможность повторного
инвестирования; 3) вычисления коэффициентов наращения (за
n лет) по формуле сложных процентов чуть сложнее, чем по формуле простых
процентов, но калькуляторы и персональные компьютеры эту разницу
стерли.
Далее мы будем использовать формулу сложных процентов (если
иное не оговорено явно).
Итак, можно сказать, что сумма P – сегодня – эквивалентна наращенной
сумме P(1+ r)n – через n лет – при процентной ставке r. Соответственно,
можно сказать, что сумма SВ – через n лет – эквивалентна дисконтированной
сумме S/(1 + r)n – сегодня – при процентной ставке r.
Более точно можно сказать, что денежные суммы S(Т) в момент Т и
S(t) в момент t называются эквивалентными при процентной ставке r,
если
S(T) = S(t)(1 + r)(T – t).
8
(1.1.3)
При Т > t это означает, что сумма s(t), наращенная по ставке r (сложных
процентов), превратится в момент Т в сумму S(T); однако можно счи
Стр.8
тать, что Т может быть и меньше t, тогда это означает, что сумма S(T), наращенная
по ставке r (сложных процентов), превратится в момент t в сумму
s(t). Формула (1.1.3) описывает оба эти случая. Очевидно, что можно
сказать и по-другому: при Т > t эквивалентность сумм S(T) и s(t) означает,
что сумма S(T), уменьшающаяся при движении в прошлое за каждый единичный
промежуток в 1/(1 + r) раз, к моменту t превратится в точности в
сумму:
St S T
Такой пересчет будущей суммы к настоящему моменту называют
r
приведением или нахождением ее современной величины. Сама же математическая
операция сравнения денежных сумм в любые моменты времени
называется математическим дисконтированием.
Пример 1.1.3. Пусть студент Д взял в банке Е кредит величины Р сроком
n лет по процентной ставке r, r > 0, измеренной в процентах годовых,
с ежегодной выплатой равных величин С. Величина С определяется из условия
эквивалентности в данный момент времени t0 совокупности всех
платежей величине кредита Р при процентной ставке r, т. е. из равенства
величины Р, полученной в данный момент t0, сумме результатов С/(1+ r)k
дисконтирования платежей C, совершенных через k лет от текущего момента
t0, где k = 1,…n, т. е. из уравнения
c
что дает
CP
P ,
n
n
k 1 (1 )
r
.
1
k 1 (1 )
r
k
1.2. Поток платежей. Эквивалентность потоков
Мы приходим к понятию потока платежей и к понятию эквивалентности
двух потоков.
Пусть в моменты времени 0, 1, …, N производятся платежи С0, С1, …,
СN . Числа Сk могут быть положительными, отрицательными и нолями. То,
что мы отдаем, – отрицательно, а то, что мы получаем, – положительно
(рис. 1.1–1.5). Такой объект называют потоком платежей.
k
(1.1.5)
(1.1.6)
1 .()
Tt
(1.1.4)
9
Стр.9
Рис. 1.1. Платежи операции депозита (вклада), диаграмма в Excel.
Знак платежа указывает его направление (см. подразделы 1.2, 1.4)
Рис. 1.2. Платежи операции депозита (вклада), те же платежи, что на рис. 1.1,
рисунок в wxMaxima. Знак платежа указывает его направление
(см. подразделы 1.2, 1.4)
10
Стр.10