МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
В. И. Костылев
ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ ПО ЭНЕРГИИ
Часть 2
Обнаружение протяженных источников
вторичного радиоизлучения
Учебно-методическое пособие
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2017
Стр.1
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ..................................................................................................... 4
I. Квазиправдоподобный обнаружитель, минимизирующий
дисперсию шума ........................................................................................ 5
II. Энергетический обнаружитель как регуляризированный
обнаружитель обобщенного максимального правдоподобия .............. 18
III. Дискретный энергетический обнаружитель и его эффективность .. 22
Заключение ............................................................................................... 34
Библиографический список ............................................................................. 35
3
Стр.3
[0, T]) обоснованного решения в пользу одной из двух указанных гипотез.
Задачу обнаружения можно также трактовать как оценку (в результате обработки
принятого колебания xвх(t)) значения неизвестного бинарного параметра
. Нетрудно заметить [6 – 9], что индекс гипотезы, в пользу которой
принято решение, есть измеренное значение ˆ параметра , и наоборот.
Обработка сигнала x(t) выполняется приемником. Известно [2], что
структура оптимального приемника инвариантна к выбору критерия обнаружения:
оптимальный приемник должен сформировать на своем выходе
логарифм отношения правдоподобия. Если обнаруживаемый сигнал s(t) детерминирован,
то логарифм отношения правдоподобия можно [1 – 3, 10, 11,
14 – 16, 19, 20 и др.] представить в виде
N0 0
2
T
xt s t dt
вх () ()
q
2
2
,
(4)
где N0 – односторонняя спектральная плотность мощности входного белого
шума nвх(t);
qsЭT s
T 12*
0
N R RR c
RRmin
1
RRRR
min min
() ( ) 2 ,2R2 c dR1dR2
1
min
– энергетическое отношение сигнал–шум;
*
T
( ")
T (', ") St St dt
0
знд(
')
знд
(5)
22 2
00 000
dt
t dt
2( ) 21
()
NN N
TT
S t()
(6)
– функция неопределенности зондирующего сигнала на интервале [0, T].
Из (4) следует алгоритм обнаружения, оптимальный в смысле критерия
отношения правдоподобия: решение в пользу гипотезы H1 принимается
в случае превышения сигнальной частью логарифма отношения правдопо6
Стр.6
добия (первым членом в правой части (4)) априори заданного порогового
уровня h, т. е.
x ts t dt h .
вх() ()
оп
2
T
N0 0
H 1
H0
Сигнальную часть логарифма отношения правдоподобия ОП называют
также решающей статистикой или статистикой обнаружения.
Значение порога h зависит от выбранного критерия оптимальности.
Например, согласно критерию Неймана-Пирсона, который будет использоваться
в настоящей работе, порог определяется требуемым значением вероятности
ложной тревоги PЛТ. Под последней понимается вероятность принятия
решения в пользу гипотезы H1 в то время как в действительности реализовалась
гипотеза H0, т. е. PЛТ = Pr{ОП > h H0}. Выражение для вероятности
ложной тревоги оптимального обнаружителя хорошо известно:
PЛТ = 1 – (h/q) ,
(8)
где (x) – интеграл вероятности [15]. Отсюда
h = q–1(1 – PЛТ),
(9)
где –1(P) – функция, обратная к интегралу вероятности.
Другой количественной характеристикой эффективности обнаружителя
является вероятность правильного обнаружения PПО = Pr{ОП > h H1}
PПО = 1 – (h/q – q).
(10)
Зависимость вероятности правильного обнаружения от вероятности ложной
тревоги называют характеристикой обнаружения. В нашем случае она имеет
вид
PP)1( лт
ПО
1
1
q
.
(11)
Как видно из (11), отношение сигнал-шум q представляет собой параметр
характеристики оптимального обнаружения. При заданном q характеристи7
(7)
Стр.7
ка обнаружения не зависит ни от формы зондирующего сигнала, ни от формы
функции рассеяния источника.
Подставляя (1) в (7) , нетрудно получить
min
оп
где
X )
0 0
св *
() 1
знд(
N Xt S t dt
х ( )
T
(13)
комплексная огибающая сигнала на выходе фильтра, согласованного с зондирующим
сигналом; XВХ(t) – комплексная огибающая сигнала (3).
xВХ(t)
СФ
xс(t)
Кр
u(t)
ˆ
К
1(t–T)h
ИОН
Рис. 1. Структурная схема оптимального обнаружителя источника
вторичного излучения.
На рис. 1 приведена структурная схема оптимального в смысле критерия
отношения правдоподобия обнаружителя протяженных источников
вторичного излучения. Здесь СФ – согласованный с зондирующим сигналом
фильтр;
xс(t) = Re{Xc(t)exp(j2f0t)}
(14)
– сигнал на выходе согласованного фильтра; Кр – коррелятор с опорным
сигналом c (ct/2)/2 и пределами интегрирования от 2Rmin/c до
2(Rmin + R)/c;
8
RR
R
() с(2 /
min
R XR c)dR ,
(12)
Стр.8
u(t) = 1(t – T)ОП
(15)
– сигнал на выходе коррелятора, 1(t) – единичная ступенчатая функция; К –
компаратор; ИОН – источник опорного напряжения. Выходной сигнал коррелятора
подается на один из входов компаратора, на другом входе которого
присутствует постоянное опорное напряжение h, формируемое источником
опорного напряжения. При ОП h выходной сигнал компаратора есть
логическая единица, а в противном случае ОП < h – логический ноль. Выходной
сигнал компаратора принимается за оценку ˆ значения неизвестного
бинарного параметра , фигурирующего в (3). По этой оценке принимается
решение о наличии (если ˆ 1 ) или отсутствии (если ˆ 0 ) обнаруживаемого
сигнала.
Как из (12), так и из рис. 1, очевидно, что для реализации оптимального
в смысле критерия отношения правдоподобия алгоритма обнаружения
требуется полная априорная информация о функции рассеяния обнаруживаемого
источника по дальности. При неизвестной (R) оптимальный алгоритм
реализован быть не может. Один из способов преодоления априорной
неопределенности относительно (R) состоит в использовании квазиправдоподобного
обнаружителя с решающей стаистикой
min
кп
Re
RR
R
кп
где
z
AT
RR
N0
12*
R c R2 c dR1dR2
1
min min
9
1 Re A R R ;
( ) ( ) 2 ,2
min
RRRR min
(18)
( ) (2 / )
с
min
где A(R) – некоторая опорная функция коррелятора.
Несложно показать, что
zqA ,
A
(17)
AR X R c dR ,
(16)
Стр.9
– стандартная гауссовская случайная величина с нулевым средним значением
и единичной дисперсией;
qAR A R
0
2*12 1R c () ( ) 2 ,2R2 c dR1dR2
min
AT
RR
N
1
min min
min
– дисперсия помеховой составляющей решающей статистики КП.
Нетрудно показать, что для квазиправдоподобного алгоритма
PЛТ = 1 – (h/qA),
и
PP A .
1
по 1( лт ) A
1
z
q
(21)
Из (21) следует, что параметр обнаружения для квазиправдоподобного обнаружителя
есть
az Aq
A
.
(22)
Характеристика квазиправдоподобного обнаружения тем лучше, чем больше
параметр a. Вместе с тем понятно, что a q : оптимальность алгоритма
(7) состоит именно в том, что выбор опорной функции коррелятора пропорциональной
функции рассеяния по дальности обеспечивает максимальный
параметр обнаружения.
Как следует из (18), при неизвестной (R) не представляется возможпосредством
ным
повлиять в лучшую сторону на величину параметра Az
выбора вида опорной функции A(R) . В то же время, параметр qA , согласно
(19), определяется только видом опорной функции A(R) и не зависит от неизвестной
функции рассеяния по дальности, поэтому он может быть оптимизирован
соответствующим выбором функции A(R).
Чтобы решить указанную задачу, необходимо наложить на функцию
A(R) условие нормировки, например
RRRR
(19)
(20)
10
Стр.10