Имитационное моделирование. Вероятностные и статистические аспекты (110,00 руб.)

Стр.1

Стр.3

Стр.6

Стр.7

Стр.8

Стр.9

Стр.10

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А.В. Зюльков, Ю.С. Радченко, А.В. Захаров ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ Учебно-методическое пособие для вузов Воронеж Издательский дом ВГУ 2017

Стр.1

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………..…. 3 КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ………………………………. 4 Вероятностные модели………………………………………………..…. 4 Сведения из теории вероятностей………………………………………. 4 Сведения из математической статистики……………………………..... 9 Некоторые особенности анализа результатов моделирования……..… 10 СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ИМИТАЦИОННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ………………………………………………………… 12 Выбор модели входных воздействий………………………………….... 12 Параметризация распределений…………………… …………..……. 12 Теоретические распределения……………………………………...... 13 Эмпирические распределения………………………………..……… 13 Методы оценки выборочной независимости………………………....... 16 Гипотеза относительно семейства распределений…………………...... 18 Итоговая статистика…………………………………………..……… 18 Гистограмма…………………………………………………….…...... 20 Сводные квантили и блоковые графики…………………………….. 20 Оценка параметров……………………………………………….……… 21 Определение наиболее подходящего распределения…………………. 22 Эвристические процедуры………………………..…………………. 22 Критерии согласия…………………………..……………………….. 25 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ……………........ 28 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПАКЕТЫ И БИБЛИОТЕКИ…………………….. 30 ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ…………………………..... 31 ПРИЛОЖЕНИЕ …………………………………………………………..... 38 ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………............ 39 ВВЕДЕНИЕ В имитационном моделировании часто возникает необходимость использования методов теории вероятностей и математической статистики. Они необходимы при моделировании входных воздействий на систему и анализе результатов моделирования. При этом нужно особенно внимательно относиться к применению методов статистического анализа, имея в виду зависимость между собой выходных данных при единичном «прогоне» модели. В пособии кратко  изложены минимально необходимые сведения из теории вероятностей и математической статистики;  приведены задания по моделированию систем с дискретным и непрерывным поведением. 3  рассмотрено использование методов статистического анализа на этапе выбора модели входных воздействий;

Стр.3

Числовыми характеристиками распределения случайной величины служат начальные km и центральные k вероятностные моменты, задаваемые для дискретных и непрерывных СВ следующими соотношениями E X X m x p1 i i , k  ( )   i k k  i xi m p1( n 1) , k i k n k mk    x w x dx  Здесь ()E  и угловые скобки обозначают усреднение по ансамблю. E() 1X m m - математическое ожидание (среднее значение); k   ( 2. 22 3. 13  ) ] 4. 24 3  - коэффициент эксцесса распределения. 4 В приложениях часто встречаются следующие параметры распределений  0m - мода распределения, точка, в которой плотность вероятности () wx достигает максимума; ния ()  em -медиана распределения, точка, в которой ( ) 0,5Fx  ; Для непрерывных СВ со строго возрастающей функцией распределеFx при 01q , q - квартиль () Fx это такое число q F()qx q т.е. x F q 1 q  зуют верхний и нижний квартиль 0,25 Cov X Y E X m Y m )(  (). Таким образом, медиана это 0,5 x и 0,75 x , для которого x . Часто испольx . Эти параметры целесообразно использовать в тех случаях, когда моменты распределений не существуют, т.е. интегралы (ряды) расходятся. Тесноту взаимосвязи СВ X и Y характеризует ковариация   ( , )  ( , ) XY ( , ) [( XY)] и корреляция Cor X Y Cov X Y  . Чаще всего теоретические распределения задаются в такой форме, что их параметры могут быть отнесены к одному из трех главных типов параметров на основании их физической или геометрической интерпретации, а именно: параметрам положения, масштабным параметрам и параметрам формы. Параметр положения определяет положение области значений распределения на оси абсцисс; обычно  - средняя (среднее значение mдля нормального распределения) или нижняя конечная точка области распределения (в последнем случае параметры положения иногда называют параметрами сдвига). При изменении параметра  соответствующее ему распределение сдвигается влево или вправо без каких-либо иных изменений. Если распределение случайной величины X имеет параметр положения 0, то распределение случайной величины YX  имеет параметр положения . 6 Var X E X m D X ( ) ( 12) [( 3      - дисперсия; - коэффициент асимметрии распределения; 1 k ( ) ,  x m w x dx  ) ( ) k . Наиболее употребительными характеристиками распределений являются: 1.

Стр.6

Масштабный параметр определяет масштаб (или единицы) измерения значений в диапазоне определения распределения. Стандартное отклонение  это масштабный параметр для нормального распределения. Изменяя параметр , соответствующее распределение можно сократить или увеличить без изменения его основной формы. Кроме того, если распределение случайной величины X имеет масштабный параметр 1, то распределение случайной величиныYX - масштабный параметр . Параметр формы в отличие от параметра положения и масштабного параметра определяет основную форму распределения в общем семействе распределений. Изменение параметра , как правило, приводит к более фундаментальному изменению свойств распределения, чем изменение параметра положения или масштабного параметра. Некоторые распределения (в частности, экспоненциальное и нормальное) не имеют параметра формы, тогда как другие (например, бета-распределение) могут иметь два таких параметра. В большинстве имитационных моделей в качестве входных данных используются случайные величины, поэтому выходные данные имитационного моделирования также носят случайный характер. В связи с этим нужно осторожно делать выводы относительно действительных характеристик модели (например, об ожидаемой средней задержке требований в системе массового обслуживанияM|M|1*). Правильное проведение анализа выходных данных невозможно без ознакомления со случайными (стохастическими) процессами. Стохастический процесс (СП) представляет совокупность «однородных» случайных величин, которые упорядочены во времени и определены в общем, выборочном пространстве. Множество всех возможных значений, которые могут принимать эти случайные величины, называется пространством состояний. Если совокупность величин представлена как 12 речь идет о дискретном стохастическом процессе, если же как{ ( ), 0} то о непрерывном. Пример. Рассмотрим систему массового обслуживания с одним устройством обслуживания, например, M|M|1, с независимыми и одинаково распределенными интервалами времени между поступлениями 12 нем обслуживания 12 D 0, 11iiD S A i  1 D  max( нерировании случайных величин 12 цесс для задержек в очереди ( 12 i AA, ,... независимым и одинаково распределенным времеSS, ,... и дисциплиной очереди FIFO(first input first output). При геSS, ,... дискретный стохастический проAA, ,... и 12 DD, ,...) может быть определен как   i ,0), 1,2,... мер, iA и iS ) в выходном стохастическом процессе 12 Таким образом, моделирование отображает случайные входные величины (наприDD, ,... . Здесь пространство состоя* Обозначения (Кендалла) для систем масового обслуживания (СМО) введены далее. 7 XX, ,... , X t t  ,

Стр.7

ний представлено множеством неотрицательных вещественных чисел. Обратим внимание, что i D и D i 1 являются положительно коррелированными. Для этой системы () Последовательность { ( ), 0} для i 1,2... , а ,i i j  Qt обозначает количество требований в очереди в момент времени t . Q t t  представляет непрерывный стохастический процесс с пространством состояний {0, 1, 2,...}. Для стационарного в широком смысле СП 12 i j ( , ция между значениями i   j X  не зависит от i C C Cj C0 22   i i j j 2 i i j     , 0,1,2,... . j  XX, ,... , mm  22 ii, C Cov X Xi) не зависит от i для j 1,2,... . КорреляX и ij , Пример. Рассмотрим выходной процесс 12 DD, ,... задержек i -ого требования в очереди 1 из предыдущего примера с коэффициентом загрузки   ( это интенсивность  , график которой при разных значениях коэффипоступления требований, а  — скорость обслуживания). Для этой системы можно вычислить корреляционную функцию j циентов загрузки  (0,5 и 0,9) изображен на Рис. 5. Из рисунка следует, что значения корреляции j личения j . В частности,  0,99  0,69 1 50  являются положительными и монотонно снижаются до нуля по мере увепри  0,9 и 1 0,78 при  0,5 . При  0,9 . Таким образом задержки требований в очереди демонстрируют долговременную зависимость. Кроме того, как свидетельствует опыт, выходные процессы для систем массового обслуживания являются положительно коррелированными. Рис.5 Рис.6 Случайным потоком называется, грубо говоря, последовательность событий во времени, разделенных случайными интервалами. Такой моделью описывается последовательность телефонных вызовов, пакетов данных в системах телекоммуникаций, поток падающих на фотоприемник фотонов и т.д. Математическая теория случайных потоков и связанных с ними точечных случайных процессов хорошо развита. Простейший случайный поток (модель широко используемая в дальнейшем) представляет собой ординарную последовательность независимых 8

Стр.8

событий во времени, разделенных экспоненциально распределенными интервалами. Если параметры  всех экспоненциальных распределений одинаковы, то имеем стационарный пуассоновский поток с интенсивностью. Величина  это среднее число событий потока в единицу времени. Поток Эрланга r -ого порядка получается путем просеивания пуассоновского потока – включения в выходной поток каждой r -ой точки входного (выбрасыванием 1r  соседних точек). Поэтому промежуток времени между соседними событиями потока Эрланга представляет собой сумму r независимых экспоненциально-распределенных СВ. Предположим, что 12 Сведения из математической статистики X , ,..., n X X , являются независимыми и одинаково  . В этом случае X n  n i 1 () 1 n S n( ) 1  i 22 1 n n () [X X n( )] i представляет собой несмещенную оценку 2 Xn и 2 Сложность использования () величиной с дисперсией V [ ( )]  , поскольку 22 ˆ соответственно. En[S ( )]  . Величины () Sn являются оценками матожидания и дисперсии, поэтому будем обозначать их как как ˆи 2 Xn к. Поскольку () Xn в качестве оценки  без какой-либо Xn является случайной Xn может быть X являются непрерывными дополнительной информации состоит в том, что невозможно определить, насколько близко значение () ar X n , в одном эксперименте () близко к , а в другом их значения могут существенно отличаться (см. Рис.6, для которого принято допущение, что величины i случайными величинами). Обычно, чтобы оценить точность () величины i ние Xn как оценки , необходимо построить доверительный интервал для оценки ˆ. Первым шагом в построении доверительного интервала является оценка дисперсии V [ ( )] Var X n Var X Var X  n i 1 [ ( )]  iii . n 1 n )  222  2 1 ( n ) 1 n i1 n ( )  1 i1 n 9 2 n ar X n . Поскольку X являются независимыми, то справедливо следующее соотноше(   Var X n  Xi является несмещенной (точечной) оценкой : [ ( )] Аналогично выборочная дисперсия 1 E X n  . распределенными СВ (наблюдениями) с конечным математическим ожиданием и конечной дисперсией генеральной совокупности 2 выборочное среднее

Стр.9

Чем больше объем выборки n , тем ближе () несмещенная оценка дисперсии V [ ( )]  в предыдущем соотношении на 2 мены 2 Var X n S n( )  n  () [ 11( )] Xn будет к (Рис.6). Кроме того, ar X n может быть получена путем заSn 22 1 n n    i n ( 1) i [X X n( )] . Некоторые особенности анализа результатов моделирования. Как свидетельствует опыт, выходные данные моделирования практически всегда являются коррелированными. Следовательно, вышеприведенные сведения о независимых и одинаково распределенных наблюдениях не могут быть непосредственно применены к анализу выходных данных моделирования. Для того чтобы понять опасности обработки выходных данных моделирования, как будто они были независимы, воспользуемся модельюстационарного в широком смысле случайного процесса. Предположим, что случайные величины 12 процесса. Тогда выборочное среднее () XX, ,... получены из такого оценкой , однако выборочная дисперсия 2 щенной оценкой 2 Таким образом, если   (положительная корреляция), как это часто бывает на практике, выборочная дисперсия 2 смещение: 22 E S n  [1 j 0 [ ( )] () которых программных продуктах имитационного моделирования выборочная дисперсия 2 () V [ ( )] Sn используется для оценки дисперсии множества выходных данных моделирования, что может привести к существенным ошибкам при анализе. Рассмотрим оценку дисперсии выборочного среднего величины 12 Можно утверждать, что Var X n    2 [ ( )] n [1 2 (1 ) ] n j   1 1 j Следовательно, если оценивать V [ ( )] Sn (что правильно при незаar X n по 2 оценки 2 j n  . () висимых и одинаково распределенных величинах), как это часто делалось ранее, существует два источника ошибки: смещение в оценке 2 () объединить два предыдущих соотношения получим 10 Sn , как  и пренебрежение корреляцией для E[ ( )]S n . Фактически, если 2 ar X n , когда XX, ,... получены из стационарного в широком смысле СП.  22 2   (1 ) ] . j n n 1 j 1 j Xn все еще остается несмещенной Sn более не является несме()  . На самом деле можно доказать, что 1 n  Sn будет иметь отрицательное E[ ( )]S n  . Этот факт имеет большое значение, поскольку в не

Стр.10