МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
¾ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ¿
А.А. Каменский, А.А. Некипелов, В.В. Чернушкин
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Часть 2
Учебное пособие
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2016
Стр.1
Содержание
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
7. Неинерциальные системы отсчета . . . . . . . . . . . . . . 5
7.1. Движение в равномерно вращающейся системе отсчета 5
8. Малые колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
8.1. Собственные частоты колебаний . . . . . . . . . . . . 9
8.2. Вынужденные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
9. Формализм Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9.1. Функция Гамильтона и канонические уравнения . . . 20
9.2. Скобки Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9.3. Канонические преобразования . . . . . . . . . . . . . . 26
9.4. Метод Гамильтона-Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . 30
10. Гидродинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
10.1. Идеальная жидкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
10.2.Âÿçêàÿ жидкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
11. Функции стандартных библиотек Maxima . . . . . . . . . . 37
11.1. Аналитические преобразования алгебраических выражений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
11.2.Îïåðàöèè с векторами и матрицами . . . . . . . . . . 42
11.3.Дифференцирование и интегрирование. Разложение в
ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
11.4.Ðåøåíèå дифференциальных уравнений . . . . . . . . 45
11.5. Построение графиков функций . . . . . . . . . . . . . 47
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3
Стр.3
Для решения дифференциального уравнения (при E = 0) укажем
çàðàíåå, что величины sin α, cos α и omega положительны:
−−>eq:subst([E=0,v='diff(s,t)],%);
−−>assume (sin(alpha)>0 and omega>0);
−−>ode2(eq, s, t);
1
Ответив на вопрос Maxima про g: positive, получим îòâåò:
t =
ω sin α ln 2 ω sin αs2ω2 sin2 α − 2 s g cos α+
+2 s ω2 sin2 α − 2 g cos α + const.
Задача 7.2
Определить отклонение от начальной плоскости движения для тела,
брошенного с начальной скоростью v0
Указание: считать ускорение свободного падения равным
g = {0, 0, −g}, а угловую скорость вращения системы отсчета равной
Ω = {−Ωcos θ, 0, Ω sin θ}, где θ øèðîòà.
Решение.
−−>load(vect);
−−>v:[vx,vy,vz]; g1:[0,0,-g];
−−>Omega1:[-Omega*cos(theta),0,Omega*sin(theta)];
−−>depends([vx,vy,vz],t);
отсчета есть
mdv
dt = mg + 2m[v ×Ω] +m[Ω× [r ×Ω]] .
тичным по Ω:
−−>eq[1]:m*diff(v[1],t)=m*g1[1]+2*m*express(v~Omega1)[1];
−−>eq[2]:m*diff(v[2],t)=m*g1[2]+2*m*express(v~Omega1)[2];
−−>eq[3]:m*diff(v[3],t)=m*g1[3]+2*m*express(v~Omega1)[3];
продифференцировав каждую его часть по времени.
−−>eliminate([eq[1],diff(eq[2],t),eq[3]],
[diff(vx,t),diff(vz,t)]);
−−>eqv:trigsimp(%[1])=0;
6
Подставим dvx/dt и dvz/dt из первого и третьего уравнений во âòîðîå,
(7.1)
Введем его в координатной форме, пренебрегая слагаемым, квадраУравнение
движения частицы в равномерно вращающейся системе
Стр.6
Теперь дифференциальное уравнение содержит единственную проекцию
скорости и допускает понижение степени (на запрос Maxima о знаке
параметра введем nonzero):
Ð−−>ode2(eqv,vy,t);
ассматривая отклонение от начальной плоскости движения, положим
в начальный момент времени y = 0, vy = 0. Остальные начальные
условия введем с учетом связи проекций скорости между собой:
−−>ic2(%,t=0,vy=0,diff(vy,t)=2*(-Omega*cos(theta)
*v0z-Omega*sin(theta)*v0x));
Поскольку данное приближение справедливо для малых величин Ω,
то исключим слагаемые избыточной малости, убрав многоточие из ряда
Тейлора командой ratdisrep
−−>ratdisrep(ta);
−−>r:ratdisrep(taylor(%,Omega,0,1));
−−>ode2('diff(y,t)=part(r,2),y,t);
−−>ic1(%,t=0,y=0);
−−>r:factor(%);
Ответ:
vy = gt2 − 2v0zt cos(θ) − 2v0xt sin(θ)Ω.
Замечание: при нулевой начальной скорости (например, тело падает
в шахту), получаем кубическую зависимость от времени:
y = −Ωt2 v0z cos θ + v0x sin θ − gt
3 .
y = gΩt3
3
cos(θ).
Задача 7.3
Определить влияние, оказываемое вращением Земли на малые колебания
математического маятника (маятник Фуко).
Решение.
причем
Потенциальная энергия математического маятника равна U = mgh,
x2 + y2 + z2 = l2,
где l длина нити.
−−>z:sqrt(l^2-x^2-y^2);
−−>U:m*g*(l-z);
7
Стр.7
В дальнейшем потребуется разложение в ряды в символьном виде,
поэтому свяжем производные координат со скоростями с помощью команды
gradef:
−−>gradef(x,t,vx); gradef(y,t,vy);
−−>load(vect);
−−>v:[diff(x,t),diff(y,t),diff(z,t)];
−−>Omega:[Omegax,Omegay,Omegaz];
−−>F:-ev(express(grad(U)),diff);
Сила, действующая на материальную точку маятника равна
F = −gradU :
Подставим ее в уравнение движения (7.1), снова пренебрегая слагаемым,
квадратичным по Ω. Запишем уравнение в координатной форме,
ограничившись членами первого порядка малости:
−−>m*'diff(v[1],t)=F[1]+2*m*express(v~Omega)[1];
−−>eqx:ratdisrep(taylor(%,[x,y,vx,vy],0,1));
−−>m*'diff(v[2],t)=F[2]+2*m*express(v~Omega)[2];
−−>eqy:ratdisrep(taylor(%,[x,y,vx,vy],0,1));
в виде
−−>eq1:expand(subst([x=X(t),y=Y(t),
vx='diff(X(t),t),vy='diff(Y(t),t)],eqx/m));
−−>eq2:expand(subst([x=X(t),y=Y(t),
vx='diff(X(t),t),vy='diff(Y(t),t)],eqy/m));
Два уравнения легко сводятся к одному с помощью комплексной замены
ξ(t) = X(t) + iY (t),
¨X(t) = 2Ωz ˙Y (t) − g
l X(t), ¨Y (t) = −2Ωz ˙X(t) − g
l Y (t) .
для этого умножим (почленно) второе уравнение на мнимую единицу и
сложим с первым:
−−>subst(X(t)=xi(t)-%i*Y(t),eq1+%i*eq2);
−−>ev(%,diff);
−−>eq:expand(%);
ξ¨(t) = −2iΩz ˙ξ(t) − g
−−>ode2(eq,xi(t),t);
8
l ξ(t).
Вернувшись к записи через производные, получим систему уравнений
Стр.8
Ответив positive на вопрос Maxima о знаке величины l(lΩ2
лучим решение в виде
ξ(t) = [k1 sin (ωt) + k2 cos (ωt)] e−iΩzt,
где
Множитель e−iΩzt означает медленное вращение плоскости колебаний маятника.
ω
= Ω2z + g
l ≈ g
l .
8. Малые колебания
8.1. Собственные частоты колебаний
Задача 8.1
Закон гармонических колебаний задан в виде
x(t) = Asin(βt) cos2(βt) − sin2(βt)/3 .
Найти положение равновесия, частоту и амплитуду колебаний.
Решение.
Для гармонических колебаний со смещенным положением равновесия
xeq можем записать
d2x
dt2 = −ω2(x(t) − xeq),
Отсюда найдем частоту колебаний:
−−>x:A*sin(beta*t)*(cos(beta*t)^2-sin(beta*t)^2/3);
−−>factor(diff(x,t,3)/diff(x,t,1));
à−−>omega:sqrt(-%);
затем и положение равновесия:
−−>xeq:trigsimp(x+diff(x,t,2)/omega^2);
Амплитуду найдем по формуле
a = (x(t) − xeq)2 + ( ˙x(t)/ω)2 :
Ответ:
(8.1)
−−>a:sqrt(trigsimp((x-xeq)^2+diff(x,t)^2/omega^2));
ω = 3|β|, xeq = 0, a = |A|/3.
9
d3x
dt3 = −ω2dx
dt .
z + g), по
Стр.9
Задача 8.2
Решить предыдущую задачу для следующих функций x(t):
à) x(t) = Asin(2βt) +B sin2(βt);
á) x(t) = Acos(βt + δ1) +B cos(βt + δ2).
Указание: для автоматического разложения тригонометрических
функций кратных аргументов использовать опцию trigexpand :
−−>trigexpand:true;
Ответ:
a) ω = 2|β|, xeq = B/2, a = 1
Задача 8.3
Частица массы m совершает одномерное движение в поле
U(x) = U0 cos(αx) − F0x.
Получить условие, при котором могут возникнуть малые колебания и
найти их частоту (U0, α, F0 ïîñòîÿííûå).
Решение.
Из условия экстремума потенциальной энергии найдем положение
равновесия:
−−>x0:part(solve(diff(U(x),x)=0,x)[1],2);
F0
αU0
/α
Предупреждение solve: using arc-trig functions to get a solution. Some
solutions will be lost. îçíà÷àåò, что в формуле на экране
−asin
не учтен знак ±. Выберем далее знак òàêèì, чтобы коэффициент êî−−>k:subst(x=x0,diff(U(x),x,2));
−−>omega:sqrt(ratsimp(abs(k))/m);
чения
подкоренного выражения.
Ответ:
лебаний k получился положительным, это обеспечивается добавлением
модуля.
Очевидно, результат применим только в случае положительного зна|F0|
< |U0α|, ω = | α|m (U0α)2 − F2
0 .
10
á) ω = |β|, xeq = 0, a = A2 +B2 + 2AB cos(δ2 − δ1).
24A2 +B2,
Стр.10