ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МАШИН И ОБОРУДОВАНИЯ Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области технологии продуктов питания и пищевой инженерии в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки дипломированного специалиста 260600 «Пищевая инженерия» и направлениям подготовки: 260100 «Продукты питания из растительного сырья», 260200 «Продукты питания животного происхождения» уровня бакалавриата и уровня магистратуры Санкт-Петербург ГИОРД 2014 УДК 532.5:681.3.06 ББК Л11-1с116я73-5 Ч67 Авторы: Г. В. Алексеев, Б. А. Вороненко, М. В. Гончаров, И. И. Холявин Рецензенты: директор ООО «ПРОТЕИН ПЛЮС», д. т. н., профессор В. Н. Красильников; заведующий кафедрой техники мясных и молочных производств ИХБТ НИУ ИТМО, д. т. н., профессор В. А. Арет; профессор кафедры информационных технологий и высшей математики ГИЭФПТ, д. т. н., профессор Л. И. Фридман Ч67 Численные методы при моделировании технологических машин и оборудования : учеб. пособие / Г. В. Алексеев, Б. А. Вороненко, М. В. Гончаров [и др]. <...> ISBN 978-5-98879-177-5 В кратком, но достаточном объеме изложены основные теоретические сведения важнейших разделов курса и приведены методические рекомендации по численному исследованию теоретических и эмпирических моделей технологических машин и оборудования с помощью пакетов программ Mathcad и Excel. <...> Численные методы исследования теоретических моделей разрабатываемых объектов . <...> Численные методы исследования однофакторных эмпирических моделей . <...> Численные методы исследования многофакторных эмпирических моделей . <...> Общие возможности численной оптимизации решений математических моделей. <...> Студенты, изучившие теоретический материал и выполнившие соответствующие задания, в частности должны: • знать методы и средства численного анализа теоретических и эмпирических моделей реальных машин и технологического оборудования; • знать методы и средства <...>
Численные_методы_при_моделировании_технологических_машин_и_оборудования.pdf
УДК 532.5:681.3.06
ББК Л11-1с116я73-5
Ч67
Авторы: Г. В. Алексеев, Б. А. Вороненко,
М. В. Гончаров, И. И. Холявин
Рецензенты: директор ООО «ПРОТЕИН ПЛЮС»,
д. т. н., профессор В. Н. Красильников;
заведующий кафедрой техники мясных
и молочных производств ИХБТ НИУ ИТМО,
д. т. н., профессор В. А. Арет;
профессор кафедры информационных
технологий и высшей математики ГИЭФПТ,
д. т. н., профессор Л. И. Фридман
Ч67
Численные методы при моделировании технологических машин и оборудования
: учеб. пособие / Г. В. Алексеев, Б. А. Вороненко, М. В. Гончаров [и др]. —
СПб. : ГИОРД, 2014. — 200 с. : ил.
ISBN 978-5-98879-177-5
В кратком, но достаточном объеме изложены основные теоретические сведения
важнейших разделов курса и приведены методические рекомендации по численному
исследованию теоретических и эмпирических моделей технологических
машин и оборудования с помощью пакетов программ Mathcad и Excel.
Для организации самостоятельной работы и вычислительного практикума
студентов издание комплектуется компакт-диском с MathCAD-программами
для решения задач численного моделирования.
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся
по программам бакалавров и магистров «Машины и агрегаты пищевой промышленности»
и «Процессы и аппараты пищевых производств». Компоновка учебного
пособия позволяет использовать его как студентам заочной формы обучения,
так и студентам дневного отделения для индивидуальной работы, а также при
дистанционной форме обучения. Оно может быть полезно для студентов, аспирантов
и преподавателей других пищевых направлений, а также специалистов,
занимающихся проблемами создания бытовой техники.
УДК 532.5:681.3.06
ББК Л11-1с116я73-5
ISBN 978-5-98879-177-5
© ООО «Издательство „ГИОРД“», 2014
Стр.2
Оглавление
Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1. Общие сведения о содержании работ по созданию
технологических машин и оборудования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1. Общая методология работ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Характерные особенности современной науки . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Наука как система знаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Методы исследования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Последовательность выполнения НИР. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Методы обоснования тем научных исследований . . . . . . . . . . . . . . 18
Выбор темы научно-исследовательской работы . . . . . . . . . . . . . . . 20
Технико-экономическое обоснование на проведение НИР . . . . . 21
1.2. Общие подходы к моделированию объекта разработок. . . . . . . . . . . 23
2. Численные методы исследования теоретических моделей
разрабатываемых объектов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1. Требования теории приближенных вычислений. . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Абсолютная и относительная погрешности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Погрешность округленного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Погрешности арифметических действий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Погрешности элементарных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Способ границ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Обратная задача теории погрешностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Контрольные вопросы по п. 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Задания по п. 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2. Методы численного решения скалярных уравнений. . . . . . . . . . . . . 46
Метод хорд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Метод касательных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Метод простой итерации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Контрольные вопросы по п. 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Задания по п. 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3. Численные методы решения систем нелинейных уравнений. . . . . . 60
Метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5
Стр.3
Оглавление
Контрольные вопросы по п. 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Задания по п. 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4. Возможности численного интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Метод прямоугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Метод Симпсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Метод трапеций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Метод Монте-Карло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Контрольные вопросы по п. 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Задания по п. 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.5. Численное решение обыкновенных дифференциальных
уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Метод Пикара. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Метод Эйлера и его модификации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Метод Рунге-Кутты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Метод Адамса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Контрольные вопросы по п. 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Задания по п. 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3. Численные методы исследования эмпирических моделей
технологических машин и оборудования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1. Численные методы исследования однофакторных
эмпирических моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1.1. Оценка неизвестных параметров закона распределения . . . 89
Задания по п. 3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.1.2. Составление выборочного уравнения прямой линии
регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Выборочное уравнение регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Отыскание параметров линейных уравнений регрессии. . . . . . 97
Задания по п. 3.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.1.3. Использование критерия согласия Пирсона . . . . . . . . . . . . 105
Задания по п. 3.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2. Численные методы исследования многофакторных
эмпирических моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.2.1. Основные понятия о планировании эксперимента . . . . . . 111
Полный факторный эксперимент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Матрица планирования полного факторного эксперимента. . 113
Дробный факторный эксперимент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Проведение эксперимента на объекте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Проверка воспроизводимости эксперимента . . . . . . . . . . . . . . 119
Получение оценок коэффициентов модели. . . . . . . . . . . . . . . . 119
6
Стр.4
Оглавление
Проверка значимости коэффициентов модели. . . . . . . . . . . . . 120
Проверка адекватности математической модели . . . . . . . . . . . 121
Интерпретация модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Продолжение аппроксимирующего эксперимента . . . . . . . . . 122
3.2.2. Особенности обработки данных при наблюдении
(пассивном эксперименте) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Понятие о методе наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Построение системы показателей (факторов).
Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции
в пакете прикладных программ Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Выбор вида модели и оценка ее параметров . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.3. Возможности поиска оптимальных решений моделей
разрабатываемых объектов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.3.1. Общие сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.3.2. Решение задачи линейной оптимизации средствами
Excel и Mathcad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Задания по п. 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4. Общие возможности численной оптимизации решений
математических моделей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.1. Краткие сведения из теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.2. Порядок выполнения анализа с помощью ЭВМ. . . . . . . . . . . . . . . . 170
Контрольные задания по гл. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Приложение 1. Варианты выборок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Таблица П1. Варианты выборок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Таблица П2. Варианты выборок Х . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Таблица П3. Варианты выборок Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Приложение 2. Транспортные задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Приложение 2А.Транспортная задача по критерию времени . . . 197
Приложение 2Б. Транспортная задача с осложнениями. . . . . . . . 198
Приложение 2В. Транспортная задача по критерию стоимости. . . 198
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Стр.5