Симплектическая и пуассонова геометрия на пространствах петель гладких многообразий и интегрируемые уравнения А. В.Цыганов. <...> Системы Штеккеля и цепочки Тоды в методе Якоби . <...> Замены времени для обобщенных цепочек Тоды . <...> Динамические граничные матрицы и внешние автоморфизмы . <...> Естественным обобщением симплектических многообразий с заданной невырожденной дифференциальной формой являются пуассоновы многообразия. <...> Пространство гладких функций C∞(M) над M сзаданной скобкой (1.1.1) называется пуассоновой алгеброй — коммутативной ассоциативной алгеброй Ли. <...> Если всюду k =0,то есть rank невырождена и данная теорема является теоремой Дарбу, а координаты (p, q) называются каноническими координатами или координатами Дарбу. =dimM, то тензор Пуассона Определение 1.1. <...> Если тензор Пуассона гообразие (M,ω) называется симплектическим многообразием размерности 2n с симплектической формой ω = невырожден, то мно−1. объединения симплектических листов Oa — минимальных пуассоновых подмногообразий, на которых индуцированная пуассонова структура не В общем случае пуассоново многообразие M представимо в виде вырождена. <...> Если размерность всех симплектических листов тензора одинакова и они образуют слоение Fs : M→Ak коранга k, то пуассоново многообразиеMназывают регулярным. <...> Пуассоново многообразие M называется обладает k симметриями — т. е. существуют k векторных полей Zi, которые трансверсальны симплектическим листам (1.1.3) Данные векторные поля Zi могут быть всегда нормированы с помощью заданных функций Казимира Zi(Cj)= δij. <...> Любое регулярное, трансверсально-постоянное пуассоново многообразиеMлокально представимо в виде произведения симплектических листов Oa и абелевой группы G, порождаемой векторными полями Zi. в виде прямой суммы Например, касательное пространство в любой точке m представимо TmM= Hm ⊕Vm «горизонтального пространства» Hm, которое является касательным пространством к симплектическому листу, и «вертикального <...>
Интегрируемые_системы_в_методе_разделения_переменных.pdf
УДК 512.77+517.912+517.958
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биология
• нефт е г а зовые
технологии
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований
по проекту №05–01-14031.
Цыганов А.В.
Интегрируемые системы в методе разделения переменных. — МоскваИжевск:
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных
исследований, 2005. — 384 с.
В книге описана современная инвариантная теория нахождения переменных
разделения в уравнении Гамильтона–Якоби, которая позволяет избежать громоздких
координатных вычислений и особых аналитических приемов, используемых
ранее для различных интегрируемых систем классической механики.
Рассмотрено большое количество конкретных примеров, для которых проведено
сравнение различных методов построения переменных разделения.
Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей университетов,
специалистов.
ISBN 5-93972-459-0
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005
А. В.Цыганов, 2005
c
c
http://rcd.ru
http://ics.org.ru
Стр.4
Оглавление
Введение . . . ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 9
ГЛАВА 1. Интегрируемые системы на пуассоновых
многообразиях . . . . . ... .. ... .. .. ... .. ... .. 11
§ 1. Пуассоновы многообразия . ... .. .. ... .. ... .. . 12
1. Основные определения . ... .. .. ... .. ... .. . 12
2. Примеры симплектических и пуассоновых многообразий 14
3. Лагранжевы подмногообразия . .
. . ... .. ... .. . 17
4. Билагранжевы многообразия . .. .. ... .. ... .. . 19
5. Тензора Киллинга на римановых многообразиях . . . . 21
§ 2. Бигамильтоновы многообразия . .. .. ... .. ... .. . 27
1. ωN-многообразия . .
2. Координаты Дарбу–Нийенхейса .
. . ... .. .. ... .. ... .. . 27
. . ... .. ... .. . 28
3. Примеры ωN-многообразий . .. .. ... .. ... .. . 30
4. Пуассоновы отображения ... .. .. ... .. ... .. . 35
5. Примеры пуассоновых отображений . ... .. ... .. . 36
§ 3.Интегрируемые гамильтоновы системы . ... .. ... .. . 40
1. Уравнение Гамильтона–Якоби . .
. . ... .. ... .. . 41
2. Теорема Лиувилля .. .. ... .. .. ... .. ... .. . 43
3. Представление Лакса .. ... .. .. ... .. ... .. . 45
4. Бигамильтоновы интегрируемые системы . .. ... .. . 48
ГЛАВА 2. Метод разделения переменных для конечномерных
интегрируемых систем ... .. ... .. .. ... .. ... .. 55
§ 1. Разделение переменных в уравнении Гамильтона–Якоби . . 55
1. О разделении переменных . .
2. Метод Гамильтона–Якоби . .
3. Геометрическое определение . .
. .
. .
. .
. . ... .. ... .. . 55
. . ... .. ... .. . 58
. . ... .. ... .. . 61
§ 2. Разделение переменных на римановых многообразиях . . . 65
1. Системы натурального вида .
. . ... .. ... .. . 65
2. Разделение переменных при движении по геодезическим 66
3. Разделение переменных для гамильтонианов натурального
вида .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 69
4. Теорема Бертрана–Дарбу ... .. .. ... .. ... .. . 71
5. Ортогональные системы криволинейных координат в пространстве
Rn .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 73
6. Обобщенная теорема Бертрана–Дарбу . . . . . . . . . . 75
Стр.5
6Оглавление
7. Алгоритм ортогонального разделения переменных . . . 79
§ 3. Разделение переменных на пуассоновых многообразиях . . 82
1. Разделение переменных на ωN-многообразиях . . . . . 82
2. Метод Склянина ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 93
3. Инвариантные переменные разделения .. .. ... .. . 99
§ 4. Примеры построения переменных разделения . . . . . . . . 103
1. Система Неймана .. .. ... .. .. ... .. ... .. . 103
2. Волчок Горячева–Чаплыгина .
. .
. . ... .. ... .. . 108
3. Старшие стационарные потоки уравнения KdV . . . . . 110
4. Стационарные потоки уравнения Буссинеска . . . . . . . 113
5. Разделение переменных в квантовой механике . . . . . 116
ГЛАВА 3. Построение интегрируемых систем в методе
разделения переменных .. .. ... .. .. ... .. ... .. 119
§ 1. Метод Якоби . .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 119
1. Введение .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 119
2. Основные факты ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 120
3. Пример: переменные Чаплыгина .
. . ... .. ... .. . 123
4. Различные реализации идеи Якоби . ... .. ... .. . 125
§ 2. Системы Штеккеля и цепочки Тоды в методе Якоби . . . . 126
1. Однородные обобщенные штеккелевские системы . . . . 126
2. Системы типа Штеккеля ... .. .. ... .. ... .. . 129
3. Цепочки Тоды . ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 131
4. Обобщенные цепочки Тоды .. .. .. ... .. ... .. . 136
§ 3. Коммутативные пуассоновы подалгебры
для скобок Склянина . .
. .
. . ... .. .. ... .. ... .. . 146
1. Первые скобки Склянина ... .. .. ... .. ... .. . 146
2. Вторые скобки Склянина ... .. .. ... .. ... .. . 149
3. Коммутативные подалгебры .
. . ... .. ... .. . 151
4. Обобщенный волчок Горячева–Чаплыгина . . . . . . . . 156
5. Периодические цепочки Тоды .. .. ... .. ... .. . 160
6. Интегрируемые системы на алгебре so(4) .. ... .. . 162
§ 4. Канонические преобразования расширенного фазового
пространства .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 167
1. Введение .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 167
2. Преобразования, сохраняющие уравнение
Гамильтона–Якоби . .. ... .. .. ... .. ... .. . 169
3. Преобразования Кеплера и Лиувилля ... .. ... .. . 172
4. Преобразования Мопертюи–Якоби . ... .. ... .. . 175
5. Примеры . .
§ 5.Замены времени для обобщенных цепочек Тоды ... .. . 179
1. Преобразования матриц Лакса . .
. . ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 176
. . ... .. ... .. . 179
2. Семейство интегрируемых систем на плоскости с интегралами
3, 4 и 6 степени ... .. .. ... .. ... .. . 182
3. Замена времени для цепочки Тоды An типа . ... .. . 184
Стр.6
Оглавление
. .
7
4. Разделение переменных . ... .. .. ... .. ... .. . 187
5. Преобразование Бэклунда . .
. . ... .. ... .. . 191
ГЛАВА 4. Интегрируемые системы типаШтеккеля .. ... .. 194
§ 1. Теорема Штеккеля ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 194
§ 2. Замена времени для систем Штеккеля . ... .. ... .. . 197
1. Связь различных штеккелевских систем . .. ... .. . 197
2. Обобщенные штеккелевские системы ... .. ... .. . 199
3. Примеры . .
§ 3.Системы Штеккеля и отображение Абеля . .
§ 4. Представление Лакса . .
. . ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 201
. . ... .. . 206
1. Отображение Абеля . .. ... .. .. ... .. ... .. . 207
2. Однородные штеккелевские системы ... .. ... .. . 210
3. Примеры . .
. . ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 211
. . ... .. .. ... .. ... .. . 214
1. Движение по геодезическим . .. .. ... .. ... .. . 215
2. Потенциальное движение ... .. .. ... .. ... .. . 219
3. Однородные штеккелевские системы общего вида . . . . 224
4. Примеры . .
. . ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 226
§ 5.Замены координат . ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 239
1. Точечные преобразования .. .. .. ... .. ... .. . 239
2. Квазиточечные преобразования координат . . . . . . . . 241
3. Примеры . .
. . ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 242
§ 6. Вырожденные штеккелевские системы, обладающие кубическим
интегралом движения .. .. .. ... .. ... .. . 245
1. Вырожденные штеккелевские системы . . . . . . . . . . 246
2. Системы Драша ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 247
3. Представление Лакса для систем Драша .
. . ... .. . 254
ГЛАВА 5. Интегрируемые системы в динамике твердого тела .257
§ 1. Уравнения Эйлера–Пуассона и Кирхгофа . .
. .
. . ... .. ... .. . 262
. . ... .. . 257
§ 2. Система Клебша . ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 259
1. Введение .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 259
2. Матрицы Лакса ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 260
3. Эллиптические координаты . .
4. Решение К¨
еттера .. .. ... .. .. ... .. ... .. . 264
§ 3.Системы Стеклова ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 269
1. Введение .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 269
2. Разделение переменных
для системы Стеклова–Ляпунова . . ... .. ... .. . 271
3. Изоморфизм системы Стеклова–Ляпунова и потенциального
движения по поверхности сферы . . . . . . . . . 273
4. Представление Лакса .. ... .. .. ... .. ... .. . 275
5. Системы Стеклова на so(4) и e(3) .. ... .. ... .. . 278
6. Разделение переменных для системы Стеклова на алгебре
so(4) .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 280
Стр.7
8Оглавление
§ 4. Случай Ковалевской и его интегрируемые обобщения . . . 283
1. Волчок Ковалевской на алгебрах e(3) и so(4) ... .. . 283
2. Переменные Ковалевской ... .. .. ... .. ... .. . 286
3. Гиростат Ковалевской и система Клебша .
. . ... .. . 294
§ 5.Гиростат Ковалевской–Горячева–Чаплыгина . .. ... .. . 297
1. Случай Чаплыгина на алгебрах e(3) и so(4) . ... .. . 297
2. Гиростат Ковалевской при B = x, J =0 .
. . ... .. . 301
3. Уравнения движения в форме Лакса ... .. ... .. . 303
4. Переменные разделения ... .. .. ... .. ... .. . 304
§ 6. Интегрируемые системы на сфере .. .. ... .. ... .. . 306
1. Метод Якоби и симплектические преобразования . . . . 307
2. Симплектические преобразования алгебры e(3) .. .. . 309
3. Интегрируемые системы на сфере с интегралами 2, 3
и 6 степени . .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 311
4. Семейство интегрируемых систем на сфере, обладающих
кубическим интегралом движения .. .. ... .. . 316
5. Семейство интегрируемых систем на сфере, обладающих
интегралом движения четвертой степени . . . . . . 322
§7. Алгебра so(p, q) и интегрируемые волчки .. .. ... .. . 325
1. Взаимодействующие волчки, алгебра so(p, q) ... .. . 327
2. Деформации функции Гамильтона . . ... .. ... .. . 330
3. Матрицы Лакса в неподвижной системе отсчета . . . . 332
4. Примеры . .
5. Волчок Ковалевской на алгебре so(4) ... .. ... .. . 337
Приложение 1. Внешние автоморфизмы представлений
алгебры sl(2) .. .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 341
1. Внешние автоморфизмы ... .. .. ... .. ... .. . 341
2. Примеры . .
3. Динамические граничные матрицы и внешние
автоморфизмы . ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 344
Приложение 2. Вырожденные системы в методе
классической r-матрицы .. .. ... .. .. ... .. ... .. 346
1. Вырожденные системы . ... .. .. ... .. ... .. . 346
2. Центральные функции в алгебре петель . . . . . . . . . 347
3. Вырожденные системы на алгебре sl(n,C) .. ... .. . 350
4. Магнетик Годена. Система Эйлера–Калоджеро–Мозера 357
Приложение 3. Программа для нахождения переменных
разделения в уравнении Гамильтона–Якоби .. .. ... .. 361
Литература .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 367
Предметный указатель .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 383
. . ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 334
. . ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 342
Стр.8