МИХАИЛ ШЛЕМОВИЧ БИРМАН ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ Математическая теория рассеяния Функция спектрального сдвига Москва Ижевск 2010 УДК 517.98 ББК 22.162 И328 Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту №10-01-07008. <...> Интернет-магазин http://shop.rcd.ru • физика • математика • биология • нефтегазо вые т ехнологии Бирман М.Ш. <...> Тогда существуют сильные пределы t→±∞ s-lim exp(iBt)exp(−iAt)Pac(A)=:W±(B,A), (1) называемые волновыми операторами. <...> Поскольку условия теоремы Като–Розенблюма симметричны, волновые операторы W±(A,B) также существуют, а тогда область значений операторов W±(B,A) совпадает с подпространством Hac(B) (в этом случае волновые операторы называются полными). <...> Стоит отметить, что существование слабых волновых операторов w-lim t→±∞ Pac(B)exp(iBt)exp(−iAt)Pac(A) 6ВВЕДЕНИЕ проверяется относительно просто. <...> Если пределы (1) существуют, то оператор рассеяния S :=W∗ +(B,A)W−(B,A) коммутирует с A, а потому он действует как умножение на операторфункцию S(λ) в диагональном для A представлении пространства Hac(A). <...> Оператор рассеяния S и матрица рассеяния S(λ) появились в теории рассеяния квантовых частиц, что объясняет название «теория рассеяния» для теории возмущений на абсолютно непрерывном спектре. <...> В тот же период в совместной с М. Г. Крейном работе [3] теорема Като–Розенблюма была перенесена на унитарные операторы. <...> Это отвечает принципу инвариантности для дробно-линейной функции ϕ,когда ϕ(A) и ϕ(B) — преобразования Кэли операторов A и B. <...> Стационарная схема гарантирует изометричность слабых волновых операторов, откуда вытекает существование и сильных пределов (1). <...> Като, но первые эффективные условия (ядерного типа) существования операторов (2) были найдены М. Ш. Бирманом в совместной с А. Л. Белопольским статье [11], где техника работ [9] и [10] получила дальнейшее развитие. <...> Подход статьи [11] (см. также [14]) позволил найти условия, гарантирующие не только существование волновых операторов (2), но также их изометричность <...>
Избранные_труды._Математическая_теория_рассеяния._Функция_спектрального_сдвига.pdf
УДК 517.98
ББК 22.162
И328
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского
фонда фундаментальных исследований по проекту №10-01-07008.
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биология
• нефтегазо вые
т ехнологии
Бирман М.Ш.
Избранные труды. Математическая теория рассеяния. Функция спектрального
сдвига. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»,
Ижевский институт компьютерных исследований, 2010. — 504 с.
Математическая теория рассеяния — одна из центральных областей математической
физики и математического анализа, активно развивавшаяся во второй половине
XX века. Наиболее заметный вклад в ее развитие был внесен М.Ш.Бирманом,
Т.Като (США) и Л. Д. Фаддеевым. Предлагаемое издание включает в себя все основные
работы М.Ш. Бирмана на эту тему, написанные им как индивидуально, так
и в соавторстве. Работы по теории рассеяния тесно связаны с другим важным объектом
спектральной теории возмущений — функцией спектрального сдвига. Поэтому
в предлагаемое издание включены также работы М.Ш.Бирмана с соавторами, посвященные
функции спектрального сдвига. Статьи, включенные в книгу, сохранили
научную актуальность. Публикация их в одном издании может облегчить вхождение
научной молодежи в эту важную и непростую область математической физики.
ISBN 978-5-93972-854-6
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010
c
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
ББК 22.162
Стр.2
Содержание
Введение . . . ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 5
Список работМ. Ш. Бирмана по математической теории рассеяния
и функции спектрального сдвига ... .. ... .. .. ... .. 13
1 М.Ш. Бирман. Возмущения непрерывного спектра сингулярного
эллиптического оператора при изменении границы
и граничных условий .. .. .. ... .. ... .. .. ... .. 15
2 М.Ш. Бирман. Об условиях существования волновых операторов
.. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 62
3 М.Ш. Бирман,М.Г. Крейн. К теории волновых операторов
и операторов рассеяния . . . . . ... .. ... .. .. ... .. 68
4 М.Ш. Бирман. Об условиях существования волновых операторов
.. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 75
5 М.Ш. Бирман, М.Г. Крейн. Некоторые вопросы теории
волновых операторов и операторов рассеяния .. .. ... .. 107
6 М.Ш. Бирман, С.Б. Энтина. Стационарный подход в абстрактной
теории рассеяния .. ... .. ... .. .. ... .. 116
7 М.Ш. Бирман. Локальный признак существования волновых
операторов . . . ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 157
8 А. Л. Белопольский, М.Ш. Бирман. Существование волновых
операторов в теории рассеяния для пары пространств . . 194
9 М.Ш. Бирман. Задачи рассеяния для дифференциальных
операторов с постоянными коэффициентами .. .. .. .
. .
. 212
10 М.Ш. Бирман. Задачи рассеяния для дифференциальных
операторов при возмущении пространства .. .. .. ... .. 235
11 М.Ш. Бирман, М. З. Соломяк. Замечания о функции спектрального
сдвига .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 255
Стр.501
502
СОДЕРЖАНИЕ
12 М.Ш.Бирман, Д.Р.Яфаев. Асимптотика спектра S-матрицы
при потенциальном рассеянии . ... .. ... .. .. ... .. 270
13 М.Ш.Бирман, Д.Р.Яфаев. Асимптотика спектра матрицы
рассеяния . ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 275
14 М.Ш.Бирман, Д.Р.Яфаев. Асимптотика предельных фаз
при рассеянии на потенциале без сферической симметрии . . 302
15 М.Ш.Бирман, Д.Р.Яфаев. Общая схема в стационарной
теории рассеяния .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 315
16 М.Ш.Бирман, Д.Р.Яфаев. О ядерном методе в теории потенциального
рассеяния . . . . . ... .. ... .. .. ... .. 346
17 М.Ш.Бирман, Д.Р.Яфаев. Функция спектрального сдвига.
РаботыМ.Г.Крейна и их дальнейшее развитие . . . ... .. 369
18 М.Ш.Бирман, Д.Р.Яфаев. Спектральные свойства матрицы
рассеяния .. .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 424
19 М.Ш.Бирман, Д.Р.Яфаев. Матрица рассеяния при возмущении
периодического оператора Шредингера убывающим потенциалом
. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 458
20 М.Ш.Бирман, А.Б.Пушницкий. Функция спектрального
сдвига — многоликая и удивительная .. ... .. .. ... .. 490
Стр.502