УДК 519.46
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биология
• нефт е г а зовые
технологии
Шубников А. В., Копцик В.А.
Симметрияв науке и искусстве. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных
исследований, 2004, 560 стр.
За годы, прошедшие со днявыхода в свет первого изданияданной книги,
в классическое учение о симметрии добавились новые обширные разделы, такие
как антисимметрия, цветная симметрия, симметрия многомерных пространств
и т.д. Обогащеннаяновыми результатами, популярно изложенными комментариями,
рисунками и примерами, книга может рассматриваться как монография,
а также как учебник или справочник.
Дляширокого круга читателей.
А.В.Шубников, В.А.Копцик, 2004
c
ISBN 5-93972-243-1
c
Институт компьютерных исследований, 2004
http://rcd.ru
http://ics.org.ru
Стр.2
Оглавление
Предисловие к третьему изданию ... .. .. ... .. ... .. 10
Из предисловия к второму изданию «Симметрия в науке и искусстве»
. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 16
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ. ОТ ИНТУИТИВНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ СИММЕТРИИ ... .. ... .. 19
Понятие равенства как основа геометрической закономерности
и ученияо симметрии .. .. .. ... .. ... .. . 19
Геометрическаязакономерность .. .. ... .. ... .. . 20
Симметриякак особый род геометрической закономерности 22
Симметрия, красота форм и гармония . ... .. ... .. . 25
ГЛАВА 2. СИММЕТРИЯ ОДНОСТОРОННИХ РОЗЕТОК .. .. 28
Плоскость симметрии. Симметрияживотных, растений,
машин и т.д. .
Ось симметрии. Принцип вращенияи симметрияпроцессов,
протекающих во времени .
. . ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 28
. .
. . ... .. ... .. . 30
Энантиоморфизм. Правизна и левизна фигур .. ... .. . 33
Комбинацияоси симметрии c плоскостями симметрии . . 37
Вырезывание симметричных розеток из бумаги. Роль физических
процессов, обусловливающих образование симметричных
розеток ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 44
Понятие о полярных и неполярных плоскостях и осях . . 53
Особенные точки, прямые и плоскости. Кратность точек . 54
Точное определение понятия односторонней розетки . . . 56
ГЛАВА 3. СИММЕТРИЯ ФИГУР С ОСОБЕННОЙ ТОЧКОЙ .57
Зеркально-поворотнаяось симметрии и ее частный случай
— центр симметрии. Значение этих элементов дляизучениясимметрии
кристаллов. Параллельность и антипараллельность
ориентированных отрезков и плоскостей . . . . 57
Ось симметрии с перпендикулярной плоскостью. Вращающиесячасти
машин. Кристаллы. Симметрияэлектрического
вольтова столба и цилиндрического магнита . . . . 62
Стр.3
4ОГЛАВЛЕНИЕ
Комбинацияглавной оси с продольными и поперечными
плоскостями симметрии. Снежинки, детали машин, предметы
быта ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 66
Комбинацияглавной оси с поперечными осями второго порядка.
Скрученные формы. Вращение плоскости поляризации
. .. ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 67
Другая комбинация главной оси с плоскостями и осями
второго порядка . ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 71
Правильные многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Два вида симметрии шара. Оптически вращающие жидкости.
Сферолиты ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 75
Полный обзор видов симметрии фигур с особенной точкой.
Сферические и стереографические проекции элементов
симметрии .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 79
Два типа фигур с особенной точкой. Односторонние и двусторонние
розетки ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 82
Сопоставление симметрии кристаллов и организмов. Координатные
и бескоординатные обозначениявидов симметрии 82
КалейдоскопыФедорова длявоспроизведенияфигур с особенной
точкой .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 85
Симметричные системы эквивалентных точек. Молекулы . 86
Симметричные пучки прямых и многогранника. Простые
формы . . ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 89
Симметрияи структурные формулы молекул . . . . . . . . 92
Симметриянаправленных величин. Векторы и тензоры . . 93
Заключительные замечания... .. .. ... .. ... .. . 96
ГЛАВА 4. СИММЕТРИЯ БОРДЮРОВ . . . . . ... .. ... .. 97
Ось переносов как необходимый элемент симметрии бордюров.
Декорирование подземных переходов и проходов
метро . . ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 97
Плоскость скользящего отражения .. ... .. ... .. . 100
Комбинацияоси переносов с поперечными осями второго
порядка. Декорирование проходов для встречного движения102
Другие виды симметрии бордюров . .. ... .. ... .. . 104
Калейдоскопы дляобразованиябордюров .. .. ... .. . 109
Обзор семи видов симметрии бордюров ... .. ... .. . 109
ГЛАВА 5. СИММЕТРИЯ ЛЕНТ .. ... .. .. ... .. ... .. 112
Винтоваяось симметрии второго порядка . . . . . . . . . . 112
Тридцать один вид симметрии лент .. ... .. ... .. . 114
Вырезывание лент из бумаги . .
. .
. . ... .. ... .. . 117
Стр.4
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
ГЛАВА 6. СИММЕТРИЯ СТЕРЖНЕЙ . . . . . ... .. ... .. 119
Рациональные и иррациональные винтовые оси симметрии.
Винт ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 119
Общаяидея вывода всех видов симметрии стержней . . . 121
Стержни, составленные из элементарных фигур с одной
осью симметрии . ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 121
Стержни, порождаемые фигурами одной зеркально-поворотной
осью .
. . ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 124
Стержни, порождаемые фигурами с симметрией n : m
(ось n и поперечнаяплоскость симметрии) . . . . . . . . . 126
Стержни, порождаемые фигурами с симметрией n · m
(ось n и продольные плоскости симметрии) .. ... .. . 127
Стержни, порождаемые фигурами с симметрией n :2
(ось n и поперечные оси второго порядка) .
Стержни, порождаемые фигурами с симметрией
2n и продольные плоскости симметрии) ... .. ... .. . 130
. . ... .. . 128
2n·m (ось
Стержни, порождаемые фигурами с симметрией m· n : m
(ось n, продольные и поперечные плоскости симметрии) . 131
Обзор типов симметрии стержней с конечными и бесконечными
переносами . .
. . ... .. .. ... .. ... .. . 131
Предельные типы симметрии стержней. Валы со шкивами.
Винты. Одномерные континуумы и дисконтинуумы . . . . 133
Некоторые обобщения. Единый принцип построения симметричных
фигур в трехмерном пространстве . . . . . . . 140
ГЛАВА 7. СИММЕТРИЯ СЕТЧАТЫХ ОРНАМЕНТОВ. ДВУМЕРНЫЕ
КОНТИНУУМЫ И СЕМИКОНТИНУУМЫ .. . 146
Плоские сетки .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 147
Семнадцать видов симметрии сетчатых орнаментов. Примеры
народных орнаментов ... .. .. ... .. ... .. . 151
Проекции элементов симметрии длясетчатых орнаментов.
Координатные и бескоординатные обозначениявидов симметрии
.. ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 167
Сетчатый орнамент в природе, технике и искусстве . . . . 170
Суперпозициясетчатых орнаментов и ее технические применения.
Формула Вульфа–Брагга. Биения .. ... .. . 172
Вырезывание сетчатых орнаментов из бумаги . ... .. . 183
Калейдоскопы длясетчатых орнаментов .. .. ... .. . 184
Параллелогоны и планигоны, их использование дляпаркетов186
Правильные системы точек. Закон сохраненияпроизведений
кратности точек на их относительные числа . . . . . 188
Плоские изогоны и изоэдры. Паркеты . ... .. ... .. . 190
Стр.5
6ОГЛАВЛЕНИЕ
Смешение стилей и особенности восприятия вертикальных
плоскостей . . ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 194
Односторонние плоские континуумы . ... .. ... .. . 197
Односторонние плоские семиконтинуумы . . . . . . . . . . 200
ГЛАВА 8. СИММЕТРИЯ СЛОЕВ . ... .. .. ... .. ... .. 203
Элементы симметрии слоев ... .. .. ... .. ... .. . 203
Общаяидея вывода, изображенияи обозначения симметричных
слоев . .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 204
Восемьдесят видов симметрии слоев .. ... .. ... .. . 205
Двусторонние плоские континуумы и семиконтинуумы . . 205
Систематика групп симметрии . .. .. ... .. ... .. . 210
ГЛАВА 9. СИММЕТРИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ —
ДИСКОНТИНУУМОВ И КОНТИНУУМОВ .. .. ... .. 213
Калейдоскопы дляобразования трехмерно-периодических
дисконтинуумов наивысшей симметрии ... .. ... .. . 214
Пространственные решетки и группы параллельных переносов
. . ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 217
Двести тридцать пространственных групп симметрии дисконтинуума.
Структура кристаллов .. ... .. ... .. . 221
Плотнейшаяукладка шаров. Ее значение для кристаллографии
и строительной техники . .
. . ... .. ... .. . 231
Параллелоэдры и стероэдры Федорова ... .. ... .. . 237
Закон кратных отношений в структурной кристаллографии
и химии . ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 238
Пространственные семиконтинуумы с двумяосями непрерывных
переносов. Примеры семиконтинуумов первого рода241
Семиконтинуумы с одной осью непрерывных переносов . . 243
Симметриятрехмерного континуума . . ... .. ... .. . 244
ГЛАВА 10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП. КЛАССИЧЕСКИЕ
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ . ... .. ... .. 248
Определение понятия группы. Группы преобразований
геометрических и физических объектов. Абстрактные
группы .. ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 248
Пример кристаллографической группы 2/m. Группы перестановок
и ортогональных матриц, изоморфные группе 2/m250
Некоторые свойства групп. Подгруппы. Фактор-группы.
Гомоморфное соответствие групп . .
. . ... .. ... .. . 254
Стр.6
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
Расширения групп с помощью прямых, полупрямых и условных
произведений. Кристаллографические группы как расширениягрупп
вращений . ... .. .. ... .. ... .. . 257
Пространственные (федоровские) группы Φ как расширениятрансляционных
групп T с помощью кристаллографических
групп G и изоморфных им групп по модулю GT .264
ГЛАВА 11. ГРУППЫ ОБОБЩЕННОЙ СИММЕТРИИ. АНТИСИММЕТРИЯ
И ЦВЕТНАЯ СИММЕТРИЯ .. .. ... .. 276
Точечные кристаллографические группы антисимметрии
как расширенияклассических кристаллографических групп
с помощью групп 1, 2,m, ¯
1, 4(mod 2), ¯
4(mod 2) .. .. . 276
Пространственные (шубниковские) группы антисимметрииШкак
расширенияклассических (федоровских) групп
Ф или как расширениятрансляционных групп Т .. .. . 282
Точечные кристаллографические группы цветной симметрии
как расширенияклассических кристаллографических
групп с помощью групп цветных подстановок P и G(P)∗
.291
Пространственные (беловские) группы цветной симметрии
Б как расширенияклассических (федоровских) пространственных
групп Ф или как расширениятрансляционных
групп Т .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 308
Границы теории симметрии. Другие обобщения. . . . . . 317
ГЛАВА 12. СИММЕТРИЯ В НАУКЕ И ИСКУССТВЕ. ЗАКОНЫ
СОХРАНЕНИЯ. СИММЕТРИЗАЦИЯ И ДИССИММЕТРИЗАЦИЯ
ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
ДЛЯ СОСТАВНЫХ СИСТЕМ .. .. ... .. ... .. 322
Симметриякак закон строения целостных систем и метод
исследованияструктурных закономерностей . . . . . . . . 322
Законы преобразованияи симметрияфизических величин
(приближение однородного континуума). Предельные
группы антисимметрии и цветной симметрии .. ... .. . 327
Законы преобразованияи симметрия физических величин
(приближение периодического дисконтинуума). Пространственные
тензоры на цветных группах ... .. ... .. . 335
Составные системы. Принцип суперпозиции групп симметрии.
Законы измененияи сохранения симметрии . . . 343
Связь симметрии со свойствами систем. Симметрия физических
уравнений и законов. Законы сохраненияв фазовые
переходы. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 352
Стр.7
8ОГЛАВЛЕНИЕ
Симметрияи диссимметрия в искусстве. Законы композиции.
Структурно-системные методы анализа художественных
произведений ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 366
Заключение. Эвристическое значение принципов симметрии.
Симметриякак философская категория .. ... .. . 381
Литература .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 388
Дополнение
417
А. Л.Талис. Симметрия тетракоординированных и тетраэдрических
структур в рамках алгебраической геометрии ... .. 419
Введение .
. . ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 419
I. Определенияи терминология[35,36] . .. ... .. ... .. . 421
1. Конечные проективные плоскости и конфигурации . . . 421
2. N-мерные платоновы тела (политопы). Расслоение Хопфа
[34,36–40] .
3. Решетки корней, двоичные коды [34,40–42] . ... .. . 431
II. Конфигурации и определяемые ими порождающие кластеры
алмазоподобных структур . ... .. .. ... .. ... .. . 437
1. Параллелоэдр алмаза и другие 14-вершинные кластеры,
как евклидовы реализации подконфигураций конфигурации
Фано 73 ... .. .. ... .. ... .. . 437
2. КонфигурацияМебиуса–Кантора 83 иобъединение
двух полиэдров Бернала Z8 [35–37,44–47] . . . . . 443
3. Конфигурации (93)1, (93)2, (93)3,их особые подконфигурациииопределяемые
имикластеры [35,44,
47,50] .
. . ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 444
4. КонфигурацияДезарга 103 и алломорфное отображение
20-вершинного кластера алмаза в додекаэдр [19,44,
51] ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 447
5. Конечные проективные плоскости PG(2, 3) иPG(2, 4).
Кластеры алмазоподобных структур, содержащие
икосаэдры в координационных сферах [44,45,53] . 449
6. Несамодуальные и недезарговы конфигурации и определяемые
ими порождающие кластеры алмазоподобных
структур с сильно искаженными тетраэдрическими
углами [44,50] . .
. .
. . ... .. ... .. . 458
III. Система порождающих кластеров алмазоподобных структур 462
1. Политопы {3, 3, 5} и {240},решетка E8 и порождающие
кластеры алмазоподобных (тетракоординированных)
и тетраэдрических (металлических) структур...
.. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 462
. . ... .. .. ... .. ... .. . 428
Стр.8
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
2. Система порождающих кластеров тетраэдрических структур...
.. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 469
3. Система порождающих кластеров алмазоподобных структур...
.. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 475
Заключение .. ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 479
Литература .. ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 482
С. В.Петухов. Симметрии в биологии . . . . . ... .. ... .. 489
Неевклидовы биосимметрии и золотой вурф ... .. ... .. . 490
Симметрии в системе генетического кода .. ... .. ... .. . 493
Бинарные субалфавиты ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 495
Бипериодическаятаблица генетического кода .. .. ... .. . 498
Матрицы генетического кода и золотое сечение . .. ... .. . 505
Матричные операции с геноматрицами . .. ... .. ... .. . 509
Об атрибутивной теории кодирования.. .. ... .. ... .. . 515
Генетический код и лингвистика ... .. .. ... .. ... .. . 517
Правила вырожденности генетического кода и хроноциклическаяконцепия
.. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 520
Правила расщеплениягенетического кода и их параллелизм с
законами Менделя... .. ... .. .. ... .. ... .. . 524
Теориячетырех проаллелей . .. ... .. .. ... .. ... .. . 530
Генетические секвенции как тетра-множества . . . . . . . . . . 533
Почему число генетически кодируемых аминокислот равно 20? 536
Расщепление множества 20 аминокислот на подмножества из
8 и 12 аминокислот по специфике количества протонов в
молекулах ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 539
Системный анализ атомов углерода в элементах генетического
кода .
. . ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 540
Литература .. ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 542
Указатель таблиц . . . . . ... .. ... .. .. ... .. ... .. 547
Указатель символов .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 548
Предметный указатель .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 552
Стр.9