АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ ТЮРИН СБОРНИК ИЗБРАННЫХ ТРУДОВ Том III Алгебраическая геометрия в топологии и физике I. <...> Инварианты гладкой структуры алгебраической поверхности, задаваемые оператором Дирака . <...> Исключительные компоненты пространства модулей и δ-исключительные расслоения . <...> Фильтрация многообразиямодулей инстантонов по уровням подскока . <...> Глобальные структуры на подпространствах лагранжевых циклов 431 § 2. <...> Инварианты гладкой структуры алгебраической поверхности, задаваемые операторомДирака 4. <...> Коммутативное кольцо, порожденное такими операторами, определяет алгебраическое многообразие (лучше всего понят случай кривых). <...> Вкратце, обобщение на классическом (то есть до вторичного квантования) уровне состоит в следующем. а) Поля материи описываются сечениями векторного расслоения (над пространством-временем) со структурной группойG. б) Поля—переносчики взаимодействий, описываются связностями на таком расслоении. в) Физически осмысленные величины (скажем, лагранжианы) должны быть инвариантны относительно калибровочной группы, то есть группы сечений ассоциированного расслоения со слоемG. г) Наконец, квантование такой теории осуществляется посредством фейнмановского интегрирования по пространствам полей по модулю калибровочной группы. <...> К этому ряду относятся новые топологические инварианты узлов и многообразий, инварианты дифференцируемой структуры, квантовые когомологии, несколько фантастически красивых «двойственностей», или симметрий, из которых сравнительно лучше понята зеркальная симметрия. <...> Топология В 1989 году был опубликован обзор [2], посвященный технике работы с модулями инстантонов и полиномамиДональдсона. <...> Полиномы Дональдсона являются инвариантами гладкой структуры четырехмерных многообразий. <...> В работе 1992 года [4], выполненной совместно с Пидстригачом, введена новая система инвариантов гладкой структуры на компактном односвязном четырехмерном многообразии M. <...> Переходя <...>
Сборник_избранных_трудов_В_3-х_т.__Алгебраическая_геометрия_в__топологии_и_физике_Том_3.pdf
УДК 519
РЕДАКТОР-СОСТАВИТЕЛЬ—профессор Ф.А. Богомолов
АВТОР ПРЕДИСЛОВИЯ—чл.-корреспондент РАНЮ. И.Манин
КОММЕНТАРИИ: профессор Ф.А. Богомолов,
профессор А.Л. Городенцев
профессор S. Bradlow, Univesity of Illinois atUrbana-Champaign
профессор O.Garcia-Prada, Universidad Autonoma deMadrid
профессор C.Florentino, Department of Mathematics, Instituto Superior
T ´ecnico, Lisboa, Portugal
профессор J.Mour ˜ao, Department of Mathematics, Instituto Superior
T ´ecnico, Lisboa, Portugal
профессор J. P. Nunes, Department of Mathematics, Instituto Superior
T ´ecnico, Lisboa, Portugal
ПЕРЕВОД СТАТЕЙ НА РУССКИЙ ЯЗЫК—В. Я.Пидстригач, Н. А. Тюрин
ПОДГОТОВКА ИЗДАНИЯ К ПЕЧАТИ—А. Л.Городенцев, С.А.Кулешов
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований по
проекту№07-01-07080.
Тюрин А.Н.
Сборник избранных трудов: в 3-х т.ТомIII. Алгебраическая геометрия в топологии
и физике.—М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований,
2006.—668 с.
Третий томСборника избранных трудовАндреяНиколаевича Тюрина содержит
работы, посвященные алгебро-геометрическим аспектам теории гладких структур
на четырехмерных многообразиях, а также серию работ по геометрическимпроблемам
теории квантования. Среди основных тем—теория инвариантовДональдсона,
их вычисление для алгебраических поверхностей,связь инвариантовДональдсона с
инвариантами Зайберга–Виттена, синтез алгебраической и лагранжевой геометрии
в теории геометрического квантования.
Ф.А.Богомолов—редактор-составитель, 2006
http://ics.org.ru
C. А.Тюрина, 2006
c
Институт компьютерных исследований, для издания на русском языке, 2006
c
ISBN 5-93972-588-0
c
Стр.2
Оглавление
I. Топология, гладкости на четырехмерных многообразиях
7
1.
Предисловие к третьему тому . ... .. .. ... .. ... .. . 9
2. Алгебро-геометрические аспекты гладкости. 1. Полиномы Дональдсона
... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 15
Введение . ........... .......... ......... 15
§ 1. От гомотопического типа до гладкости ..... ......... 17
§ 2. Пучки и расслоения на поверхности ...... ......... 29
§ 3. Связности в расслоении и метрики на многообразиях ...... 48
§ 4. Полиномы Дональдсона .. .......... ......... 62
§ 5. Соотношения Римана и гладкая инвариантность канонического
класса ........... .......... ......... 75
§6. Заключение ........ .......... ......... 84
Литература ........... .......... ......... 87
3.Шесть лекций о четырехмерных многообразиях .. ... .. . 91
Лекция 1. Введение ....... .......... ......... 91
Лекция 2. Отражения в ортогональных группах ... ......... 99
Лекция 3. Монодромия и d-стабильные кривые ... ......... 108
Лекция 4.Полиномы Дональдсона. БольшаяПрограмма ....... 117
Лекция 5. Пространства инстантонов. Фильтрации подскока. Спинполиномы
.......... .......... ......... 132
Лекция 6. Процедура Геометрической Аппроксимации для спинканонических
инвариантов . .......... ......... 147
Литература ........... .......... ......... 164
4. Инварианты гладкой структуры алгебраической поверхности,
задаваемые оператором Дирака .. .. .. ... .. ... .. . 169
Введение . ........... .......... ......... 169
Глава 1. ... ........... .......... ......... 170
§ 1. Параметры SpinC(4)-структуры и определениеC-инстантонов . 170
§ 2. Локальное описание модулей (C,∇0)-инстантонов на (M,g) . . 177
Стр.3
4
§ 3. Трансверсальность ..... .......... ......... 179
§ 4. Приводимые связности ... .......... ......... 184
§ 5. Ориентация ........ .......... ......... 188
§ 6. 1-исключительные инстантоны ......... ......... 190
Глава 2. ... ........... .......... ......... 192
§ 1. Исключительные компоненты пространства модулей и δ-исключительные
расслоения ... .......... ......... 192
§ 2. Геометрия δ-исключительных расслоений ранга 2 ........ 200
§ 3. Виртуальная степень .... .......... ......... 217
Глава 3. ... ........... .......... ......... 222
§ 1. Конусы нелинейныхфредгольмовых отображений ........ 222
§ 2. Раздутие многообразияN . .......... ......... 227
§ 3. Схемная структура модулей .......... ......... 232
§ 4. Концы пространстваM1,0
. .......... ......... 234
Глава 4. ... ........... .......... ......... 239
§ 1. Диффеоморфизмы и исключительные расслоения ........ 239
§ 2. Виртуальныестепени и геометрияложныхповерхностей дельПеццо248
§ 3. Препятствие к диффеоморфности для ложных поверхностей дель
Пеццо степени 2 ...... .......... ......... 261
§ 4. Заключительные замечания .......... ......... 283
Литература ........... .......... ......... 284
5. Спин-полиномиальные инварианты гладких структур на алгебраических
поверхностях . . . ... .. .. ... .. ... .. . 287
Введение . ........... .......... ......... 287
§1. Spin
-структура и индекс оператораДирака .. ......... 291
§ 2. Фильтрация многообразиямодулей инстантонов по уровням подскока
. ........... .......... ......... 295
§ 3. Алгебраические поверхности .......... ......... 301
§ 4. Геометрическая аппроксимация ........ ......... 304
§5. H-простота классов дивизоров ........ ......... 313
§ 6. Сравнение различных многообразий модулей . ......... 317
§ 7. Геометрическая аппроксимация и деформация метрики ..... 331
Литература ........... .......... ......... 337
6. Канонические спин-полиномы алгебраической поверхности. I 340
Введение . ........... .......... ......... 340
Глава 1. ... ........... .......... ......... 351
§ 1. Почти канонические поляризации иррациональной алгебраической
поверхности ...... .......... ......... 351
§ 2. Система якобианов и тэта-локусов алгебраической поверхности . 354
Стр.4
5
§ 3. Отметки расслоений и сигма-процесс ..... ......... 361
§ 4. Структура пучков короны и модулярные соответствия ...... 368
§ 5. Полиномы ......... .......... ......... 375
Глава 2. ... ........... .......... ......... 378
§ 1. Проблема нетрансверсальности ........ ......... 378
§ 2. Нормальный конус тэта-локуса ........ ......... 383
§ 3. Канонические полиномы .. .......... ......... 385
§ 4. Спин-барьеры и канонические спин-полиномы ......... 391
§ 5. Сравнения с алгебро-геометрическими полиномами и следствия . 395
Литература ........... .......... ......... 400
7. Локализация инвариантов Дональдсона и классы Зайберга–
Виттена . ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 403
Введение . ........... .......... ......... 403
§ 1. Конфигурационное пространство и его когомологии ....... 404
§ 2. Уравнение ......... .......... ......... 412
§ 3. Трансверсальность ..... .......... ......... 416
§ 4. Компактификация ..... .......... ......... 422
§ 5. Локализация полиномовДональдсона ..... ......... 425
Литература ........... .......... ......... 427
II. Лагранжева геометрия и квантовая теория поля 429
8. Комплексификация условий Бора–Зоммерфельда . ... .. . 431
§ 1. Глобальные структуры на подпространствах лагранжевых циклов 431
§ 2. Комплексная структура .. .......... ......... 438
§3. Суперциклы ........ .......... ......... 442
§4. u-кривые для вещественных поляризаций ... ......... 451
§ 5. Неабелева теория тэта-функций ........ ......... 455
Литература ........... .......... ......... 460
9. Специальная лагранжева геометрия как малая деформация алгебраической
геометрии. (GQP и зеркальная cимметрия) . . 462
§ 1. spLag-циклы ........ .......... ......... 462
§ 2. sdAG-циклы (малая деформация алгебраических циклов) .... 480
§ 3. Малая деформация алгебраической геометрии . ......... 490
§ 4. Применение процедуры геометрического квантования кCY2 случаю499
§ 5. Комплексный 3-мерный случай ........ ......... 518
§ 6. Комплексные структуры и глобализации .... ......... 526
§ 7. SpLag и sdAG3-циклы .. .......... ......... 535
Стр.5
6
§8. GFT для CY3 ....... .......... ......... 544
§ 9. Геометрия 3/2-псевдоголоморфных суперциклов ......... 554
Литература ........... .......... ......... 559
10.О базисах Бора–Зоммерфельда .. .. .. ... .. ... .. . 562
§1. Циклы степени 0 ...... .......... ......... 562
§2. BPU-конструкция, геодезическийподъеми геометрическоеквантование
........... .......... ......... 572
§ 3. Приложение: теория неабелевых тэта-функций с характеристиками580
§ 4. Комбинаторная теория и отождествления ... ......... 589
§ 5. Ковариантно постоянные полуформы и особенности ....... 597
Литература ........... .......... ......... 600
11. Абелева лагранжева алгебраическая геометрия .. ... .. . 603
Введение . ........... .......... ......... 603
§ 1. Предварительные сведения и обозначения ... ......... 609
§ 2. Келерова геометрия лагранжевых циклов ... ......... 618
§ 3. Голоморфное квантование . .......... ......... 629
§ 4. Пример: лежандровы узлы в S3
........ ......... 637
Комментарии
Литература ........... .......... ......... 643
645
Комментарии к статьям
1. Алгебро-геометрические аспекты гладкости. 1. Полиномы Дональдсона
2.Шесть
лекций о четырехмерных многообразиях
3. Инварианты гладкой структуры алгебраической поверхности,
задаваемые операторомДирака
4. Спин-полиномиальные инварианты гладких структур на алгебраических
поверхностях
5. Канонические спин-полиномы алгебраической поверхности. I
6. Локализация инвариантов Дональдсона и классы Зайберга–
Виттена (С. Брэдлоу, О. Гарсиа-Прада) .... ......... 647
Комментарии к статьям
1.Обазисах Бора–Зоммерфельда
2. Комплексификация условий Бора–Зоммерфельда
3. Абелева лагранжева алгебраическая геометрия (К.Флорентино,Ж.Мурао,Ж.П.Нуньес)
.......... ......... 655
Комментарий к статье «Абелева лагранжева алгебраическая геометрия»
(А.Л.Городенцев) ...... .......... ......... 663
Стр.6