Герард ’т Хоофт Избранные лекции по математической физике Под научной редакцией С.Н. Вергелеса Москва Ижевск 2008 УДК 530:51 ББК 22.311 X779 Интернет-магазин http://shop.rcd.ru • физика • математика • биология • нефтегазовые технологии Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту №06-02-30044. ’т Хоофт Г. Избранные лекции по математической физике. <...> ISBN 978-5-93972-708-2 Герард ’т Хоофт, 2002 c c Перевод на русский язык: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008 http://shop.rcd.ru http://ics.org.ru ББК 22.311 Оглавление Перенормировка калибровочных теорий . <...> Электрические и магнитные заряды и соотношение Дирака . <...> Навеянная КХД теория для электрослабых сил . <...> Спонтанное нарушение киральной симметрии в КХД . <...> Эффективные лагранжианы в теориях с конфайнментом . <...> . . . . . . . . . 99 Когда была открыта асимптотическая свобода или реабилитация квантовой теории поля . <...> Теория возмущений и закон тяготения Эйнштейна . <...> . . . . . . . . . 227 Перенормировка калибровочных теорий1 Это собрание воспоминаний автора о тех бурных днях, которые предшествовали установлению Стандартной модели в качестве корректного инструмента для описания всех известных элементарных частиц и сил. <...> Перенормируемая квантовая теория поля считалась чем-то вроде игрушки, и многие исследователи заявляли, что явные численные успехи квантовой электродинамики — это не более чем случайность [2]. <...> Самая выдающаяся из них была 8ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ В Москве Л.Ландау <...> Фундаментальный лагранжиан LYM = − 1 4GµνGµν −ψ(γD +m)ψ (2.1) очаровывал своей простотой и обнаруживал грандиозную симметрию: локальную калибровочную инвариантность. <...> локальную и неабелеву, то есть сравнимую с локальной калибровочной инвариантностью в теории Янга –Миллса: (2.4) Именно Гелл-Манн предложил Фейнману исследовать вместо гравитации теорию Янга –Миллса, поскольку это проще, тем более что Фейнмана беспокоила неабелева природа симметрии, а система Янга–Миллса <...>
Избранные_лекции_по__математической_физике.pdf
УДК 530:51
ББК 22.311
X779
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биология
• нефтегазовые
технологии
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского
фонда фундаментальных исследований по проекту
№06-02-30044.
’т Хоофт Г.
Избранные лекции по математической физике. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная
и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований,
2008. — 228 с.
В данный сборник вошли наиболее известные работы профессора Утрехтского
университета, лауреата Нобелевской премии 1999 года по физике Г. ’т Хоофта. Рассматривается
широкий спектр вопросов, касающихся теории относительности, которая
традиционно применяется в таких областях, как шварцшильдовская метрика,
смещение перигелия и отклонение света. Приводятся работы, посвященные квантовой
теории поля и открытию стандартной модели элементарных частиц. Большое
внимание уделено той области, которая может стать весьма актуальной в ближайшем
будущем — гравитационному излучению.
Книга предназначена для студентов, аспирантов и преподавателей физических
специальностей ВУЗов.
ISBN 978-5-93972-708-2
Герард ’т Хоофт, 2002
c
c
Перевод на русский язык:
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
ББК 22.311
Стр.2
Оглавление
Перенормировка калибровочных теорий .. .. .. ... .. ... 6
1. Предыстория (≈1947–1969): отречение от квантовой теории
поля .. .... .... ... .... .... .... ... .... . 6
2. Интересные модели . ... .... .... .... ... .... . 8
3. Приручение бесконечностей ... .... .... ... .... . 13
4. Скейлинг ... .... ... .... .... .... ... .... . 17
5. Конфайнмент и монополи .... .... .... ... .... . 20
6. Проблема U(1) .... ... .... .... .... ... .... . 22
7. От модели к теории . ... .... .... .... ... .... . 26
Литература . .... .... ... .... .... .... ... .... . 27
Монополи, инстантоны и конфайнмент ... .. .. ... .. ... 32
1. Солитоны в (1+ 1)-измерениях . .... .... ... .... . 32
1.1. Определение моделей ... .... .... ... .... . 32
1.2. Cолитоны ... ... .... .... .... ... .... . 34
1.3. Киральные фермионы ... .... .... ... .... . 37
1.4. Обзор высших измерениях .... .... ... .... . 41
2. Вихрь Абрикосова –Нильсена –Олесена –Зумино .. .... . 42
2.1. Поиск вихревого решения .... .... ... .... . 42
2.2. Введение калибровочного поля .. .... ... .... . 43
2.3. Связь Богомольного для энергии . .... ... .... . 46
2.4. Топология калибровки .. .... .... ... .... . 47
3. Магнитные монополи ... .... .... .... ... .... . 52
3.1. Электрические и магнитные заряды и соотношение
Дирака .... ... .... .... .... ... .... . 52
3.2. Устройство решений в виде монополей . ... .... . 55
3.3. Существование монополей .... .... ... .... . 57
3.4. Связь Богомольного и BPS-состояния .. ... .... . 58
3.5. Орбитальный угловой момент для qg-связных состояний 59
3.6. Состояния Джэкива –Рэбби магнитного монополя . . . 62
4. Инстантоны . .... ... .... .... .... ... .... . 64
4.1. Топологические калибровочные преобразования . . . . 65
Стр.3
4ОГЛАВЛЕНИЕ
4.2. Квазиклассическое приближение для туннелирования . 68
4.3. Действие для топологического перехода, явные инстантонные
решения ... .... .... ... .... . 69
4.4. Связь Богомольного и самодуальные поля .. .... . 72
4.5. Интермеццо. Безмассовые фермионы в калибровочной
теории . . ... .... .... .... ... .... . 74
4.6. Состояния Джэкива –Рэбби инстантона . ... .... . 76
4.7. Оценка амплитуды переворота .. .... ... .... . 78
4.8. Влияние инстантонного угла ... .... ... .... . 80
5. Перманентный конфайнмент кварков .. .... ... .... . 82
5.1. Абелева проекция . .... .... .... ... .... . 83
5.2. Фазы абелевой теории ... .... .... ... .... . 88
5.3. Навеянная КХД теория для электрослабых сил . . . . 90
5.4. Спонтанное нарушение киральной симметрии в КХД . 92
6. Эффективные лагранжианы в теориях с конфайнментом . . . 93
7. Упражнения . .... ... .... .... .... ... .... . 96
Литература . .... .... ... .... .... .... ... .... . 99
Когда была открыта асимптотическая свобода или реабилитация
квантовой теории поля .. ... .. ... .. .. ... .. ... 100
1. Апология ... .... ... .... .... .... ... .... . 100
2. Предыстория (1947–1970) . .... .... .... ... .... . 100
3. Новые модели .... ... .... .... .... ... .... . 102
4. Перенормировка ... ... .... .... .... ... .... . 103
5. Замешательство по поводу масштабных свойств ... .... . 104
6. Цветная SU(3) — успехи КХД .. .... .... ... .... . 109
7. U(1)-проблема .... ... .... .... .... ... .... . 113
8. Новые открытия по-прежнему необходимы ... ... .... . 116
Литература . .... .... ... .... .... .... ... .... . 117
Топологические аспекты квантовой хромодинамики .. .. ... 122
1. Бегущая константа связи . .... .... .... ... .... . 122
2. От фазы Хиггса к фазе конфайнмента .. .... ... .... . 125
3. Фиксация калибровки ... .... .... .... ... .... . 129
4. Абелева проекция .. ... .... .... .... ... .... . 131
5. Инстантонные эффекты в конфайнменте .... ... .... . 134
Литература . .... .... ... .... .... .... ... .... . 136
Стр.4
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Введение в общую теорию относительности .. .. ... .. ... 137
Пролог ... .... .... ... .... .... .... ... .... . 137
Литература . .... .... ... .... .... .... ... .... . 138
1. Краткое изложение специальной теории относительности.
Система обозначений ... .... .... .... ... .... . 140
2. Эксперименты Этвеша и принцип эквивалентности . .... . 144
3. Равноускоренно движущийся лифт. Пространство Риндлера . 146
4. Криволинейные системы координат ... .... ... .... . 152
5. Аффинная связность. Кривизна Римана . .... ... .... . 158
6. Метрический тензор . ... .... .... .... ... .... . 165
7. Теория возмущений и закон тяготения Эйнштейна . .... . 171
8. Принцип наименьшего действия . .... .... ... .... . 177
9. Специальные координаты . .... .... .... ... .... . 182
10. Электромагнетизм .. ... .... .... .... ... .... . 186
11. Решение Шварцшильда . . .... .... .... ... .... . 188
12. Меркурий и поведение световых лучей в рамках шварцшильдовской
метрики ... ... .... .... .... ... .... . 195
13. Обобщение шварцшильдова решения .. .... ... .... . 200
14. Метрика Робертсона –Уолкера . . .... .... ... .... . 204
15. Гравитационное излучение .... .... .... ... .... . 208
Специальные функции и полиномы .. ... .. .. ... .. ... 217
(x) . ... .... . 218
1. Полиномы Лежандра P(x) .... .... .... ... .... . 217
2. Присоединенные полиномы Лежандра Pm
3. Функции Бесселя Jn(x) иГанкеля Hn(x) .... ... .... . 219
4. Шаровые функции Бесселя j(x) . .... .... ... .... . 220
5. Полиномы Эрмита Hn(x) . .... .... .... ... .... . 221
6. Полиномы Лагерра Ln(x) . .... .... .... ... .... . 223
7. Присоединенные полиномы Лагерра Lk
8. Полиномы Чебышева Tn(x) ... .... .... ... .... . 225
9. Замечание .. .... ... .... .... .... ... .... . 226
n(x) ... ... .... . 224
Литература . .... .... ... .... .... .... ... .... . 227
Стр.5