Так, если A — множество цифр, применяемых в десятичной системе счисления, а B — множество чётных таких цифр, то запись B ⊂ A будет верной, а запись B ∈ A — неверной. <...> Чтобы обойти эту трудность, часто поступают так: вместо описываемого множества A указывают некоторое другое, известное множество, содержащее A, и задают некоторое правило P , которому должны соответствовать те и только те элементы указанного множества, которые и образуют A. <...> Объединением множеств A и B называют множество, элементами которого являются все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A и B и только они. <...> Пересечение и объединение множеств обозначаются символами ∩ и ∪ соответственно. <...> Алгебра множеств Рассмотренные в предыдущем пункте операции обладают многочисленными свойствами, которые называются формулами теории множеств. <...> Набор всех таких формул называется алгеброй множеств. <...> Ясно, что алгебра множеств состоит из бесконечного числа формул. <...> Нетрудно видеть, что конечные множества на обоих диагараммах одинаковы. <...> Аналогично определяется декартово произведение любого конечного семейства множеств: A1 ЧA2 Ч. <...> Собственно говоря, координатную плоскость надлежит трактовать как декартово произведение двух прямых (абсциссы и ординаты), а пространство — как декартово произведение трёх прямых (добавляется аппликата). <...> . В общем случае A Ч B ̸= B Ч A (приведите самостоятельно пример таких множеств A и B), т. е. декартово произведение не коммутативно, однако вполне очевидна его ассоциативность: AЧ(BЧC) = (AЧB)ЧC , что позволяет обойтись без скобок при написании таких произведений. <...> Функции, изучаемые вами в средней школе, как правило были числовыми функциями, т. е. множество A всегда предполагалось подмножеством числовой прямой. <...> Реально часто приходится иметь дело с функциями не числовыми, например, когда мы говорим о росте человека, мы имеем 15 ввиду функцию, действующую из множества всех людей в числовую прямую. <...> Имеющееся противоречие <...>
Математика_для_экономистов.pdf
УДК 51-7:330(075.8)
ББК 22.1я73+65я73
Н85
Составитель — С. Э. Нохрин
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук А. В. Осипов (Институт математики и механики
им. Н. Н. Красовского);
канд. физ.-мат. наук, доц. С. А. Ануфриенко (Специализированный учебнонаучный
центр УрФУ)
Научный редактор — канд. физ.-мат. наук О. Я. Шевалдина
Нохрин, C. Э.
Н85 Математика для экономистов : курс лекций / сост. С. Э. Нохрин. —
Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2014. — 120 с.
ISBN 978-5-7996-1251-1
Пособие состоит из лекций, читаемых в процессе курса «Математика
для экономистов» для студентов первого курса технических специальностей.
Пособие может быть использовано для самостоятельного изучения
предмета и для ликвидации пробелов в курсе алгебры средней школы.
Подготовлено кафедрой «Моделирование управляемых систем»
Библиогр.: 5 назв. Табл. 1. Рис. 17.
УДК 51-7:330(075.8)
ББК 22.1я73+65я73
ISBN 978-5-7996-1251-1
⃝ Уральский федеральный
университет, 2014
c
Стр.3
Содержание
ЛЕКЦИЯ I. Основы теории множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1. Понятие множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
2. Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3. Алгебра множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4. Декартово произведение множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
ЛЕКЦИЯ II. Функции и графики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Действия над функциями. Простейшие
числовые функции и их графики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3. Преобразования графиков функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
ЛЕКЦИЯ III. Обратная функция и её график . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1. Композиция функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2. Понятие функции, обратной к данной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
3. Инъекция, сюръекция и биекция. Связь
биекции и обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
ЛЕКЦИЯ IV. Тригонометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1. Единичная окружность и основные
тригонометрические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
2. Простейшие свойства основных
тригонометрических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3. Тригонометрические формулы более сложного вида . . . . . . . . . . . . .45
4. Функции, обратные основным тригонометрическим,
и их графики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
118
Стр.119
ЛЕКЦИЯ V. Равносильные переходы в уравнениях (неравенствах) . . . . 57
1. Функциональный подход
к уравнениям и неравенствам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
2. Равносильные и неравносильные
уравнения (неравенства) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3. Равносильные переходы в типичных
уравнениях и неравенствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4. Переходы к следствию. Равносильность
и область допустимых значений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
ЛЕКЦИЯ VI. Основы комбинаторики. Основные принципы . . . . . . . . . . . .76
1. Конечные и бесконечные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2. Основные принципы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3. Математическая индукция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
ЛЕКЦИЯ VII. Основы комбинаторики. Определения и формулы . . . . . . 94
1. Размещения, перестановки и сочетания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2. Биномиальные коэффициенты и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3. Бином Ньютона и треугольник Паскаля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4. Сочетания с повторениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
119
Стр.120