ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕКОТОРЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ Учебно-методическое пособие для вузов Составитель М.Б. <...> Зверева Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 2009 Утверждено научно-методическим советом математического факультета 26 марта 2009 г., протокол № 7 Рецензент доктор физико-математических наук Г.А. Курина Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического анализа математического факультета Воронежского государственного университета. <...> Множество G называют выпуклым, если вместе с каждой парой точек x, y оно содержит отрезок [x, y] их соединяющий, где [ , ] { Простейшими примерами выпуклых множеств на плоскости могут служить круг, квадрат, треугольник. <...> Элемент z называют выпуклой комбинацией элементов 12 , где все коэффициенты α 0i ³ , и е =iα 1. i = 1 Множество всех выпуклых комбинаций всевозможных конечных наборов элементов из G называется выпуклой оболочкой G и обозначается через coG. <...> Очевидно, отрезок – выпуклая оболочка пары точек (концов), треугольник – выпуклая оболочка трех точек, не лежащих одновременно на одной прямой. <...> Множество G выпукло, тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей выпуклой оболочкой, т.е. G coG= . <...> Точка 0 hR О n x называется крайней точкой для G, если она не является внутренней ни для одного из отрезков из G. <...> Мноε ,h xh ε жество крайних для G точек будем обозначать через exG. <...> Например, если множество G – треугольник, то exG – множество вершин треугольника. x xx , , ., m если он может быть представлен в виде суммы z α ααmm++K , m = x xx 1 1 22 3 мое неравенством 2 Пример 1.1. <...> Теорема об экстремуме линейного функционала и ее приложения в экономике Пусть L – линейный функционал, действующий из множества n 1) RRL : n ® L( xa + b = a нейный на n 1 2) для любых чисел + b y) L(x) L(y ) . <...> ) Всякий лиn R функционал <...>
Математический_анализ_некоторых_экономических_вопросов.pdf
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
НЕКОТОРЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ
Учебно-методическое пособие для вузов
Составитель
М.Б. Зверева
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2009
Стр.1
1. Предварительные сведения
Пусть G – множество из пространства
R
xy αx + -Î .
=
(1 ) ,
α y α
[0,1]}
n .
Множество G называют выпуклым, если вместе с каждой парой точек
x, y оно содержит отрезок [x, y] их соединяющий, где
[ , ] {
Простейшими примерами выпуклых множеств на плоскости могут
служить круг, квадрат, треугольник.
Элемент z называют выпуклой комбинацией элементов 12
,
где все коэффициенты α 0i ³ , и е =iα 1.
i = 1
Множество всех выпуклых комбинаций всевозможных конечных наборов
элементов из G называется выпуклой оболочкой G и обозначается
через coG.
Очевидно, отрезок – выпуклая оболочка пары точек (концов), треугольник
– выпуклая оболочка трех точек, не лежащих одновременно на
одной прямой. Справедлива следующая теорема (критерий выпуклости).
Множество G выпукло, тогда и только тогда, когда оно совпадает со
своей выпуклой оболочкой, т.е.
G coG=
.
Пусть G – замкнутое выпуклое множество. Точка 0
hR
О
n
x называется
крайней точкой для G, если она не является внутренней ни для одного из
отрезков из G. Другими словами, если для любого
e > 0точки 00
и любого
x+- не могут принадлежать G одновременно. Мноε
,h xh
ε
жество крайних для G точек будем обозначать через exG.
Например, если множество G – треугольник, то exG – множество
вершин треугольника.
x xx ,
, ..., m
если он может быть представлен в виде суммы z α ααmm++K ,
m
= x xx 1 1 22
3
Стр.3
2. Теорема об экстремуме линейного функционала
и ее приложения в экономике
Пусть L – линейный функционал, действующий из множества n
1) RRL : n
®
L( xa + b = a
нейный на n
1
2) для любых чисел
+ b
y) L(x) L(y ) .
Теорема 1. (О представлении линейного функционала.) Всякий лиn
R
функционал L можно представить в виде
где ic – вещественные числа, О .
xR
n
Пусть G – компактное (ограниченное, замкнутое) множество в n
G
L ).
R .
Ставится задача исследования функционала L на экстремум на множестве
G (обозначается extr
Точка 0Î называется (обозначается 0
xG
ство L(x) L(x )0
.
xL
min
G
функционала L на множестве G, если для всех xG
³
Точка 0Î называется (обозначается 0
xG
0
.
® ) точкой минимума
О справедливо неравенxL
mGax
мума
функционала L на множестве G, если для всех xG
равенство L( ) ()x Lx£
® ) точкой максиÎ
справедливо неТочки
минимума, максимума называются точками экстремума.
Теорема (Основная). (Об экстремуме линейного функционала.)
Пусть L – линейный функционал, и G – компактное (ограниченное, замкнутое)
выпуклое множество в nR . Тогда
min min,
max max,
6
G
G
LL
LL
=
=
exG
exG
()
cx
i = 1
ii
L x =å ,
a b,
и любых элементов x, y из
R
n
R , т. е.
Стр.6
Доказательство. Рассмотрим, для определенности, случай минимума.
По теореме Вейерштрасса, линейный функционал достигает своего
минимума на компакте G. Пусть 0
x GL
ство в n
ήmGin.
Согласно теореме Каратеодори, всякое выпуклое компактное множеR
представляет собой выпуклую оболочку своих крайних точек,
т. е. G co (exG=
i
L ) ()i
(x Lx<
(x Lx£
0
). Так как xG 0Î , то 0 =å , где α 0i
i = 1
k
x
α x
ii
³ , е = ,
i = 1
k
α 1
i
x exGÎ . По определению минимума, для всех i (от 1 до k) верно
0
L ) ()i
. Предположим, что для всех i неравенство строгое, т.е.
. Тогда
L x ее ,
() α ( ) () α ()
kk
0 00
11
= >=L x L x
==
i ii
ii
т. е.
L ) ()x Lx>
(
00 ,
что невозможно.
Таким образом, экстремум достигается в крайней точке множества
G. Теорема доказана.
Рассмотрим применения этой теоремы в некоторых экономических
вопросах.
2.1. Линейный случай
В линейном случае множество G может быть описано системой линейных
неравенств. Рассмотренные в этом пункте задачи относят к задачам
линейного программирования.
Задача 2.1.1. Фирма выпускает 2 вида мороженого: сливочное и шоколадное.
Для изготовления мороженого используется два исходных продукта:
молоко и наполнители, расходы которых на 1 кг мороженого и суточные
запасы даны в таблице.
7
Lx
Стр.7
Исходный
продукт
Молоко
Наполнители
Расход исходных продуктов
на 1 кг мороженого
сливочное
0,8
0,4
шоколадное
0,5
0,8
400
365
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженое
превышает спрос на шоколадное не более чем на 100 кг. Кроме того,
установлено, что спрос на шоколадное мороженое не превышает 350 кг в сутки.
Розничная цена 1 кг сливочного мороженого 16 руб., шоколадного – 14
руб. Какого количество мороженого каждого вида должна производить фирма,
чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
Решение. Обозначим через 1
x суточный объем (в кг.) выпуска сливочного
мороженого;
ного. Величины 1x и 2
дачи 1x 0³ , 2
x 2 суточный объем выпуска шоколадного морожеx
нам предстоит найти. Заметим, что по смыслу зата,
должны выполняться условия 12
1
x 0³ . Кроме того, учитывая данные по изучению рынка сбыxx
100-£ , 2
x 350.£
От реализации сливочного мороженого фирма получит прибыль
16x руб., а от реализации шоколадного мороженого прибыль будет составлять
составит
14x
2 руб. Тогда прибыль фирмы от реализации всей продукции
F xx16 12
14
j
=+ .
(2.1.1)
Естественно, прибыль предприятия будет тем больше, чем больше
x , но беспредельно увеличивать объем выпуска нам не дадут ограниченные
исходные продукты (ресурсы), из которых изготовляется мороженое.
Действительно, количество молока, которое потребуется для производства
запланированной продукции, составит 12
0,8xx кг и не должно пре+
0,5
8
Запас, кг
Стр.8