Биркган Математическое моделирование Учебное пособие Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов, обучающихся по направлению Электроника и наноэлектроника Ярославль 2012 УДК 519.8 (075.8) ББК В183.5я73 Б 64 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. <...> К. Д. Ушинского; Проказников А. В., д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник ИМИ РАН Б 64 Биркган, С. Е. Математическое моделирование: учебное пособие / С. Е. Биркган; Яросл. гос. ун-т им. <...> ISBN 978-5-8397-0906-5 Учебное пособие посвящено моделированию взаимодействия ионов с поверхностью – одной из фундаментальных проблем физики, микро- и наноэлектроники, и моделям цифровой обработки сигналов, используемым в современной электронике. <...> Первая из этих проблем рассматривается с точки зрения изменения морфологии поверхности при ионном облучении и приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных. <...> Вторая – с точки зрения теории цифровой фильтрации – основной составляющей цифровой обработки сигналов, приводящей к дискретным разностным уравнениям. <...> Распылительная модель и ее дифференциальные формы . <...> Начальные понятия теории дискретных разностных уравнений . <...> Разностные уравнения с правой частью в виде квазиполинома 2.5.6. <...> Бифуркации удвоения периода и переход к хаосу . <...> Первая часть данного учебного пособия посвящена моделированию взаимодействия ионов с поверхностью – проблеме, являющейся одной из фундаментальных в физике и наноэлектронике. <...> Действительно, трудно представить себе, например, анализ изменения поверхности тела, распыляемого ионным лучом, с помощью таблиц из координат точек поверхности для разных значений времени. <...> В данной части работы будут рассмотрены лишь некоторые модели развития структур на поверхности материалов под воздействием ионной бомбардировки. <...> Вовторых, распыление перестало быть узкой технической проблемой со своими порой примитивными теоретическими <...>
Математическое_моделирование_учебное_пособие.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
С. Е. Биркган
Математическое
моделирование
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по направлению
Электроника и наноэлектроника
Ярославль 2012
Стр.1
УДК 519.8 (075.8)
ББК В183.5я73
Б 64
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2012 года
Рецензенты:
кафедра математического анализа Ярославского государственного
педагогического университета им. К. Д. Ушинского;
Проказников А. В., д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник ИМИ РАН
Б 64
Биркган, С. Е. Математическое моделирование: учебное
пособие / С. Е. Биркган; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. –
Ярославль: ЯрГУ, 2012. – 92 с.
ISBN 978-5-8397-0906-5
Учебное пособие посвящено моделированию взаимодействия
ионов с поверхностью – одной из фундаментальных проблем физики,
микро- и наноэлектроники, и моделям цифровой обработки
сигналов, используемым в современной электронике. Первая из
этих проблем рассматривается с точки зрения изменения морфологии
поверхности при ионном облучении и приводит к нелинейным
дифференциальным уравнениям в частных производных.
Вторая – с точки зрения теории цифровой фильтрации – основной
составляющей цифровой обработки сигналов, приводящей к дискретным
разностным уравнениям. Рассмотрены классические и
относительно новые результаты.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению
210100.68 Электроника и наноэлектроника (дисциплины
«Методы математического моделирования» и «Математическое
моделирование в наноэлектронике», блок М1), очной формы
обучения.
УДК 519.8 (075.8)
ББК В183.5я73
ISBN 978-5-8397-0906-5
© Ярославский государственный университет
им. П. Г. Демидова, 2012
Стр.2
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. Моделирование в задачах микро- и наноэлектроники . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. Моделирование взаимодействия ионов с поверхностью . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1. Уравнение Больцмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2. Модели динамики рельефа поверхности, облучаемой ионами . . . 12
1.1.2.1. Общие закономерности выхода распыленных атомов . . . . . . 13
1.1.2.2. Зависимость коэффициента распыления от энергии . . . . . . . 16
1.1.2.3. Угловая зависимость выхода распыленных атомов . . . . . . . . 19
1.1.2.4. Распылительная модель и ее дифференциальные формы . . . 21
1.1.2.5. Уравнение Бредли-Харпера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2. Исследование моделей динамики рельефа поверхностей . . . . . . . . . . . 30
1.2.1. Исследование распылительных моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.1.1. Вывод основных расчетных формул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.1.2. Компьютерное моделирование и визуализация результатов 33
1.2.1.3. 3D визуализация результатов моделирования . . . . . . . . . . . . 38
1.2.2. Возникновение “ripple” структур в модели Бредли-Харпера . . . . 39
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2. Моделирование в задачах цифровой обработки сигналов . . . . . . . . . . 45
2.1. Моделирование цифровых устройств разностными уравнениями . . . 45
2.2. Начальные понятия теории дискретных разностных уравнений . . . . . 47
2.3. Разностные уравнения первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4. Разностные уравнения второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5. Методы решения разностных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.1. Оценка скорости роста решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.2. Применение Z-преобразования . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.3. Алгебраический метод решения однородных уравнений . . . . . . . 60
2.5.4. Метод вариации произвольной постоянной . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.5. Разностные уравнения с правой частью в виде квазиполинома
2.5.6. Применение функции Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
65
2.6. Устойчивость решений разностных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.6.1. Устойчивость уравнений с постоянными коэффициентами . . . . 71
2.6.2. Алгебраические методы анализа устойчивости . . . . . . . . . . . . . . 71
2.6.3. Частотные методы анализа устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.6.4. Теорема Флоке-Ляпунова и устойчивость решений . . . . . . . . . . . 74
2.6.5. Устойчивость решений уравнений с малым параметром . . . . . . . 76
3
Стр.3
2.6.6. Теорема об устойчивости по первому приближению . . . . . . . . . . 78
2.6.7. Устойчивость уравнений с гармоническими коэффициентами . . 79
2.6.7.1. Периодический случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.6.7.2. Почти периодический случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.7. Нелинейные разностные уравнения и хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.7.1. Логистическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.7.2. Состояния равновесия логистического уравнения . . . . . . . . . . . . 87
2.7.3. Бифуркации удвоения периода и переход к хаосу . . . . . . . . . . . . 87
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4
Стр.4