Прикладная механика и техническая физика №3 2007 (352,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

8 УДК 532.592; 517.958 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ ДЛЯ ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЙ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ В. М. Тешуков Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск E-mail: teshukov@hydro.nsc.ru Классические уравнения теории мелкой воды, описывающие распространение длинных волн на потоке без сдвига скорости по вертикали, совпадают с уравнениями, описывающими изоэнтропическое движение политропного газа при показателе политропы γ = 2 (в теории волновых движений жидкости этот факт называют газодинамической аналогией). Выведена новая математическая модель теории длинных волн, описывающая сдвиговые течения жидкости со свободной границей. Показано, что в случае одномерного движения уравнения новой модели совпадают с уравнениями, описывающими неизоэнтропические движения газа при специальном выборе уравнения состояния, а в многомерном случае новая система уравнений длинных волн существенно отличается от модели движения газа. В общем случае установлено, что полученная система уравнений является системой гиперболического типа. Найдены скорости распространения волновых возмущений. Ключевые слова: длинноволновое приближение, сдвиговое течение, свободная граница, мелкая вода, газодинамическая аналогия. 1. Осреднение уравнений длинных волн. Движение идеальной несжимаемойжидкости в слое со свободной границей описывается уравнениями Эйлера где ρ du dt +∇2p = 0, ρ du3 dt +px3 = −ρg, dt = ∂ d ∂t +u ·∇2 +u3 ∂ ∂x3 div2 u+u3x3 = 0, . На свободной границе x3 = h(t,x1, x2) должны выполняться кинематическое и динамическое граничные условия ht +(u2 ·∇2)h = u3, p = p0 = const, на ровном дне x3 = 0 — условие непротекания u3 = 0. (1.2) (1.3) x3 —вертикальная координата; u = (u1,u2)—горизонтальная скорость; u3 —вертикальная компонента скорости жидкости; ρ — плотность; h(t,x1, x2) — глубина; p — давление; В (1.1)–(1.3) t — время; x = (x1, x2) — радиус-вектор в горизонтальной плоскости; g — ускорение свободного падения; ∇2, div2 — градиент и дивергенция, вычисленные по векторной переменной x = (x1, x2). Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 04-01-00253). (1.1) ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2007. Т. 48, N◦ 3

Стр.1

В. М. Тешуков Введем безразмерные переменные x = x L, x3 = x3 u3 = Lu3 UH, h = h (штрихи в обозначениях новых безразмерных переменных опущены; Fr = U/√gH —число Фруда; ε = H/L). Исключив давление p из системы уравнений (1.4), получим уравнение В этих переменных уравнения Эйлера (1.1) имеют вид dt +px3 = −ρFr−2, ρ du dt +∇2p = 0, ε2ρ du3 Гельмгольца, описывающее эволюцию безразмерного вихря ω = (ω1,ω2,ω3) = (ε2u3x2 − u2x3,u1x3 −ε2u3x1,u2x1 −u1x2): ωt +(u ·∇2)ω +u3ωx3 = (ε2u3x2 −u2x3)Ux1 + +(u1x3 −ε2u3x1)Ux2 +(u2x1 −u1x2)Ux3 (U = (u1,u2,u3)). Проецируя уравнение Гельмгольца (1.5) на оси x1, x2, получаем уравнения с малой правой частью порядка O(ε2): (u1x3)t +(u ·∇2)u1x3 +u3(u1x3)x3 +u1x2u2x3 −u2x2u1x3 = O(ε2), (u2x3)t +(u ·∇2)u2x3 +u3(u2x3)x3 +u2x1u1x3 −u1x1u2x3 = O(ε2). (1.6) При выводе модели теории длинных волн членами порядка O(ε2) в уравнениях (1.6) можно пренебречь. Тогда уравнение для вертикальной компоненты импульса сводится к гидростатическому закону распределения давления по глубине: px3 = −ρFr−2, p−p0 = ρFr−2(h−x3). Используя это представление, получаем приближенные уравнения модели длинных волн, распространяющихся на сдвиговом течении: du dt +Fr−2∇2h = 0, Здесь uh, uh div2 u+u3x3 = 0, ht +(uh ·∇3)h = uh 3. (1.7) h(t,x1, x2). На дне x3 = 0 решение системы (1.7) должно удовлетворять условию (1.3). Решения системы (1.4), удовлетворяющие условию S = (u1x3)2 + (u2x3)2 = 0, будем 3 — значения компонент вектора скорости на свободной границе x3 = называть течениями со сдвигом скорости по вертикали, или сдвиговыми течениями. Соответственно в течении без сдвига скорости u1x3 = u2x3 = 0. Модель (1.7) сводится к системе интегродифференциальных уравнений, к которой применима теория обобщенных характеристик (см. [1, 2]), что позволяет изучить общие свойства длинных волн, распространяющихся на сдвиговом течении. Ниже будут получены более простые модели, в которых сдвиговый характер течения учитывается за счет введения некоторых средних характеристик сдвига скорости по вертикали. В классе течений с достаточно малой величиной S, осредняя по глубине уравнения (1.7), можно получить классические уравнения теории мелкой воды. Интегрируя (1.7) по x3 от 0 до h и учитывая граничные условия, получаем  h 0 udx3  t +div  h 0 (u⊗u) dx3 + Fr−2 2 ∇2(h2) = 0, (1.8) H, t = Ut H, p = p L , u = u RU2 , ρ = ρ U , R. div2 u+u3x3 = 0 (1.4) 9 (1.5)

Стр.2

10 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2007. Т. 48, Nht +div  h 0 udx3 u = h−1 h 0  = 0, где (a⊗b)—диада векторов a, b. Вводя осредненную по глубине горизонтальную скорость ¯ udx3, интеграл от вектора u по глубине, входящий в уравнения (1.8), можно заменить выражением h¯ h 0 u. Однако интегралы от квадратичных по скорости выражений, входящие в уравнения (1.8), не выражаются через осредненную скорость в общем сдвиговом течении. В гидравлике для этих интегралов используются эмпирические формулы вида [3] (u⊗u) dx3 = αh(¯ u⊗ ¯ u), где α — эмпирический поправочный коэффициент. Отметим, что использование этого соотношения приводит к потере инвариантности получаемой системы уравнений относительно преобразования Галилея, несмотря на то что система (1.8) такое преобразование допускает. В работе [4] в одномерном случае система уравнений (1.8) замыкалась другим эмпирическим соотношением: ∂ ∂x1 h 0 (u− ¯ u)2 dx3 = gH ∂h ∂x1 (H — некоторая константа). Однако обоснование этого соотношения не приведено. Ниже получена модель, в среднем приближенно учитывающая сдвиговый характер течения. При этом эмпирические формулы не привлекаются. Используя очевидное тождество u = ¯ u+(u− ¯ u⊗u = ¯ u), вычисляем тензор u⊗u в виде u⊗ ¯ u+ ¯ u⊗(u− ¯ u)+(u− ¯ вклад. В результате получаем представление h 0 где P = h 0 (u− ¯ u)⊗(u− ¯ u) = 0, u) dx3. Используя тензор P, уравнения (1.8) можно записать в виде ht +div2(h¯ (h¯ u)t +div2(h(¯ u⊗ ¯ u)+P)+(1/2)Fr−2∇2(h2) = 0. u)⊗ ¯ u+(u− ¯ u)⊗(u− ¯ При интегрировании этого выражения от 0 до h линейные по (u− ¯ (u⊗u) dx3 = h(¯ u⊗ ¯ u)+P, u). u) члены дают нулевой ◦ 3 (1.9)

Стр.3