Том 11, 2008
СИБИРСКИЙ ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
№3
Анализ точности методов Монте-Карло
при решении краевых задач
посредством вероятностного представления∗ <...> Анализ точности методов Монте-Карло при
решении краевых задач посредством вероятностного представления // Сиб. журн.
вычисл. математики / РАН. <...> В последнее время все больший интерес для математиков представляет численный метод решения линейных эллиптических и параболических уравнений с помощью вероятностного представления решения краевой или
начально-краевой задачи на основе сопутствующей системы стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) [3]. <...> Кроме того, при нахождении решения краевой задачи в точке, близкой к границе, основная масса траекторий решения
СДУ быстро выходит на границу области, однако есть траектории, которые выходят на
границу области в точках, наиболее удаленных от начальной точки, что делает неопределенным время моделирования таких траекторий. <...> В настоящей работе исследуется точность статистических алгоритмов для решения
краевой задачи для эллиптических уравнений (алгоритмы для решения параболических
уравнений более определены с точки зрения трудоемкости, так как для них длина траектории СДУ по времени ограничена сверху). <...> Вероятностное представление
для решения эллиптического уравнения
Введем линейный оператор
N
N
X
∂2u
∂u
1 X
Bi,j (y)
fi (y)
+
,
Lu ≡
2
∂yi ∂yj
∂yi
i,j=1 <...> Это значит, что если область G содержит ноль, то невозможно найти решение
краевой задачи рассматриваемым методом, так как вероятностное представление (4) в
данном случае неверно. <...> Пирогова, 2,
Новосибирск, 630090
Статья поступила
19 июня 2007 г.
Переработанный вариант
23 июля 2007 г.
Том 11, 2008
СИБИРСКИЙ ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
№3
Последовательный синтез оптимального
по быстродействию управления
линейными системами с возмущениями∗ <...> Последовательный синтез оптимального по быстродействию
управления линейными системами c возмущениями // Сиб. журн. вычисл <...>
Сибирский_журнал_вычислительной_математики_№3_2008.pdf
Том11, 2008
СИБИРСКИЙЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
№3
Анализ точности методов Монте-Карло
при решении краевых задач
посредством вероятностного представления∗
Т.А. Аверина, С.С. Артемьев
УДК 519.676
Аверина Т.А., Артемьев С.С. Анализ точности методов Монте-Карло при
решении краевых задач посредством вероятностного представления // Сиб. журн.
вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние.––Новосибирск, 2008.––Т. 11,№3.––С. 239–250.
Исследуются вопросы точности алгоритмов статистического моделирования при решении краевых
задач математической физики для эллиптических уравнений, основанных на вероятностном представлении
этих решений с использованием соответствующих систем стохастических дифференциальных уравнений.
Проблемы связаны с необходимостью моделирования длинных траекторий СДУ и оценкой математического
ожидания случайных величин, имеющих сильно асимметричное распределение. Приводятся
результаты численных экспериментов.
Ключевые слова: краевые задачи, стохастические дифференциальные уравнения, численные методы.
Averina
T.A., Artemiev C.C. Analysis of the accuracy of Monter Carlo methods for
boundary-value problems using probabilistic representation // Siberian J. Num. Math. / Sib.
Branch of Russ. Acad. of Sci.––Novosibirsk, 2008.––Vol. 11, № 3.––P. 239–250.
Problems of the accuracy of statistical simulation algorithms are investigated for boundary-value problems
of mathematical physics for the elliptic equations. These algorithms are based on a probabilistic representation
of these solutions with the use of appropriate systems of the stochastic differential equations. The problems
in question are due to the necessity to simulate long SDE trajectories and the estimation of expectation of
random variables with asymmetric distribution. Numerical results are given.
Key words: boundary-value problems, stochastic differential equations, numerical methods.
1. Введение
Использование методов Монте-Карло для решения краевых задач математической
физики имеет давние традиции [1, 2]. В последнее время все больший интерес для математиков
представляет численный метод решения линейных эллиптических и параболических
уравнений с помощью вероятностного представления решения краевой или
начально-краевой задачи на основе сопутствующей системы стохастических дифференциальных
уравнений (СДУ) [3]. В отличие от конечно-разностных методов при решении
уравнений с частными производными с помощью СДУ не требуется построения сеток
по пространственным переменным, что значительно облегчает подготовку задачи к решению.
Однако подход к решению краевых задач с помощью вероятностного представления
с использованием СДУ имеет “подводные камни”. Дело в том, что при модели∗Работа
выполнена при частичной финансовой поддержке грантов “Ведущие научные школы” НШ4774.2006.1
и РФФИ (проект № 08-01-00334).
Стр.1