А. А. Дубанов, А. К. Мордовской, С. Г. Цыдыпов
МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
И В ПРОСТРАНСТВЕ
Учебное пособие
Улан-Удэ
2025
Стр.1
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ДОРЖИ БАНЗАРОВА»
А. А. Дубанов, А. К. Мордовской, С. Г. Цыдыпов
МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
И В ПРОСТРАНСТВЕ
Рекомендовано Экспертным советом университета
в качестве учебного пособия для обучающихся
по направлению подготовки 09.03.03 Прикладная информатика
Улан-Удэ
Издательство Бурятского госуниверситета имени Доржи Банзарова
2025
Стр.2
УДК 004.451.9
ББК 32.972
Д 79
Утверждено Экспертным советом университета
Протокол № 8 от «13» мая 2025 г.
Рецензенты
Л. В. Антонова
кандидат физико-математических наук, доцент, директор
Института математики, физики и компьютерных наук,
БГУ им. Д. Банзарова
Б. Б. Балданов
доктор технических наук, доцент, заведующий лабораторий
физической электроники и радиофизики,
Институт физического материаловедения СО РАН
Дубанов А. А.
Д 79 Моделирование кривых на плоскости и в пространстве:
учебное пособие / А. А. Дубанов, А. К. Мордовской,
С. Г. Цыдыпов. — Улан-Удэ: Изд-во Бурятского
госуниверситета им. Д. Банзарова, 2025. — 136 с.
ISBN 978-5-9793-1013-8
В учебном пособии рассмотрены подходы к заданию,
визуализации и моделированию основных видов кривых. В пособии
также представлены подробно разобранные примеры и задания для
самостоятельно выполнения.
Пособие предназначено для обучающихся по направлению
подготовки 09.03.03 Прикладная информатика в рамках освоения
дисциплины «Вычислительная геометрия».
УДК 004.451.9
ББК 32.972
© А. А. Дубанов, А. К. Мордовской,
С. Г. Цыдыпов, 2025
ISBN 978-5-9793-1013-8
© Бурятский госуниверситет
им. Д. Банзарова, 2025
Стр.3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное издание представляет собой учебное
пособие для дисциплины «Вычислительная геометрия» в рамках
реализации образовательной программы высшего образования по
направлению подготовки 09.03.03 «Прикладная информатика»
очной формы обучения и подготовлено в соответствии с
требованиями Федерального государственного образовательного
стандарта высшего образования.
Дисциплина «Вычислительная геометрия» относится к
обязательным дисциплинам базовой части Блока 1. Изучение
дисциплины направлено на формирование общепрофессиональной
компетенции:
ОПК-7.2 (способность применять языки программирования и
базы данных, современные программные среды разработки
информационных систем и технологий для автоматизации бизнеспроцессов,
решения прикладных задач различных классов, ведения
баз данных и информационных хранилищ)
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
- понятия параметрических способов задания кривых,
поверхностей, непрерывности, гладкости, регулярности с
геометрической и вычислительной точек зрения;
- представление об основных структурах данных, связанных с
геометрическими задачами;
- описание оценки вычислительной сложности геометрического
алгоритма.
Уметь:
- разрабатывать эффективные математические модели для описания
геометрических данных;
- разрабатывать эффективные функциональные математические
модели и алгоритмы для решения геометрических задач;
- оценивать и сравнивать алгоритмы по критериям вычислительной
сложности и ресурсоемкости;
- разрабатывать прикладные программы геометрического
проектирования для нужд конкретных предметных областей.
Владеть:
методологией и навыками решения научных и практических задач.
3
Стр.4
Пособие состоит из предисловия, 3 частей, библиографического
списка.
Данное учебное пособие предназначено для студентов высших
учебных заведений
информационных и
инженерных
специальностей.
В пособии размещены теоретические и практические материалы,
касающиеся моделирования плоских кривых, трехмерных кривых и
поверхностей. Также присутствуют руководства для практического
построения кривых и поверхностей в системах компьютерной
математики.
Пособие рассчитано на студентов, а также исследователей,
проводящих экспериментальную работу в различных областях и
обрабатывающих экспериментальных данных в системах
компьютерной математики.
4
Стр.5
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ .............................................................................. 3
1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ПЛОСКИХ КРИВЫХ .... 5
1.1. Плоские кривые в явном виде ....................................... 5
1.2. Плоские кривые в неявном виде.................................... 8
1.3.
Плоские кривые в параметрическом виде ................ 12
1.4. Задачи ................................................................................ 22
2. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ПЛОСКИХ КРИВЫХ ПРИ ПОМОЩИ
СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ ...................... 24
2.1. Визуализация плоских кривых в явном виде ................ 24
2.2. Визуализация плоских кривых в неявном виде .............. 28
2.3. Визуализация плоских кривых в параметрическом виде
................................................................................................... 31
2.4. Задачи .................................................................................. 37
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛОСКИХ КРИВЫХ, ЗАДАННЫХ
ТОЧЕЧНЫМ БАЗИСОМ ............................................................. 38
3.1 Моделирование кривых при помощи сплайнинтерполяции
........................................................................... 38
3.2.Моделирование кривых при помощи полиномиальной
регрессии .................................................................................... 46
3.3.Задачи ................................................................................... 48
3.4. Пересечение прямых ........................................................ 52
3.5.Пересечение прямой и плоскости ...................................... 58
3.6. Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым
................................................................................................... 63
3.7. Пересечение прямой и окружности .................................. 69
Стр.134
3.8. Пересечение двух окружностей ........................................ 72
3.9 Построение цилиндрической поверхности .................... 77
3.10 Построение конической поверхности ........................... 82
3.11 Построение линейчатых поверхностей .................... 85
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .............................................. 92
ПРИЛОЖЕНИЯ .............................................................................. 94
Стр.135