Нерелятивистская квантовая механика (693,00 руб.)

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

УДК 530.1 ББК 22.314я73 Н54 Р е ц е н з е н т ы: доктор физико-математических наук, доцент, профессор Института физики и прикладной математики Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования "Национальный исследовательский университет «Московский институт электронной техники» В. В. Бардушкин доктор физико-математических наук, доцент кафедры общей и прикладной физики Национального исследовательского Московского государственного строительного университета (НИУ МГСУ) И. В. Поярков Байков Ю. А. Н54 Нерелятивистская квантовая механика : учебное пособие / Ю. А. Байков, В. М. Кузнецов, Н. И. Петров.— Электрон. изд.—М. : Лаборатория знаний, 2025.—318 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10".—Загл. с титул. экрана.—Текст : электронный. ISBN 978-5-93208-919-4 Учебное пособие предназначено для подготовки специалистов в области наукоемких технологий, связанных с квантовой физикой микромира, в частности для подготовки студентов по направлению «Наноматериалы и нанотехнологии». В книге подробно изложены основные виды формализма квантовой механики, включая операторную алгебру, матричную механику и скобочный аппарат Дирака. Значительное внимание уделено приближенным квантово-механическим методам, широко применяемым в квантовой химии. В соответствии с требованиями новых образовательных стандартов в книгу включены элементы развивающегося направления квантовой механики, а именно квантовой теории кубитов, которое связано с проектированием и созданием в будущем квантовых компьютеров. Достаточное место отведено технике конкретных квантово-механических вычислений. Учебное пособие сочетает строгое изложение фундаментальных основ теории с рассмотрением современных задач, требующих квантово-механического подхода. Для студентов и аспирантов высших технических учебных заведений, а также преподавателей физики и других естественнонаучных дисциплин в технических вузах. УДК 530.1 ББК 22.314я73 Деривативное издание на основе печатного аналога: Нерелятивистская квантовая механика : учебное пособие / Ю. А. Байков, В. М. Кузнецов, Н. И. Петров.—М. : Лаборатория знаний, 2025.—315 с. : ил.—ISBN 978-5-93208-380-2. В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации ISBN 978-5-93208-919-4 © Лаборатория знаний, 2025

Стр.3

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 1 Операторное представление квантовой механики . . . . . . . . . . . . 11 1.1. Квантово-механические постулаты. Собственные функции и собственные значения квантово-механических операторов. Уравнения Лагранжа и Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Волновая функция и ее интерпретация в связи с измерениями . . . . . . 18 1.3. Классификация операторов квантовой механики . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4. Основное уравнение квантовой механики. Гамильтониан и оператор импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5. Уравнение Шредингера. Собственные функции и собственные значения оператора энергии и их свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.6. Стационарные состояния. Общее решение уравнения Шредингера в произвольный момент времени. Теорема Эренфеста. . . . . . . . . . . . 41 1.7. Задача двух тел в системе центра масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.8. Атомные структуры в системе центра масс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.9. Приближение Борна—Оппенгеймера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.10. Молекулярные структуры в приближении Борна—Оппенгеймера . . . . 59 1.11. Собственные функции и собственные значения оператора импульса. Условия нормировки в случаях ограниченного и неограниченного пространства. Дельта-функция Дирака и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.12. Разложение волновой функции по собственным функциям оператора импульса системы, обладающим свойством полноты . . . . . 66 1.13. Собственные функции и собственные значения оператора координаты 69 1.14. Коммутаторы и антикоммутаторы квантовой механики. Движение заряженной нерелятивистской частицы в произвольном электромагнитном поле. Оператор силы Лоренца в квантовой механике 72 1.15. Соотношения неопределенностей для канонически сопряженных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Глава 2 Матричное представление квантовой механики . . . . . . . . . . . . . . 86 2.1. Матрицы и их свойства. Нулевая, единичная и постоянная матрицы . . . 86 2.2. Преобразование матриц и их диагонализация. . . . . . . . . . . . . . . . . 89 . 8

Стр.4

4 Оглавление 2.3. Свойства эрмитовых и унитарных матриц. Матрица унитарного преобразования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.4. Матрица энергии и ее координатное представление. Представление волновой функции в виде унитарной матрицы . 2.5. Уравнения движения в операторной . . . . . . . . . . . 2.6. Система собственных функций оператора энергии как унитарная матрица . . Глава 3 «Бра-кет» формализм Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.1. «Бра-» и «кет-векторы» Дирака и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.2. Аналогия «бра-кет» формализма с матричным представлением квантовой механики. Гипервириальная теорема . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.3. Проекционные операторы. След проекционного оператора . . . . . . . . 114 3.4. Разложение единицы через проекционные операторы. . . . . . . . . . . . 117 3.5. Спектральное разложение эрмитовых и неэрмитовых операторов по их собственным векторам в «бра-кет» формализме . . . . . . . . . . . . 118 3.6. Однородные функции и теорема Эйлера для однородных функций . . . . 120 3.7. Теорема вириала в классической механике. . . Глава 4 Вариационный принцип в квантовой механике . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.1. Среднее значение энергии основного состояния квантовой системы . . . 123 4.2. Связь вариационного принципа с уравнением Шредингера . . . . . . . . 125 4.3. Вариационный принцип для возбужденных состояний . . . . . . . . . . . 127 4.4. Дифференциальная теорема Гельмана–Фейнмана . . . . . . . . . . . . . . 129 4.5. Интегральная теорема Гельмана–Фейнмана. . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.6. Теорема вириала в квантовых системах с однородной потенциальной энергией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.7. Связь вариационного принципа с изменением масштаба пространственных координат . . Глава 5 Теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Теорема вириала в приближении Борна—Оппенгеймера . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 . 137 . . . . . . . . . . . . . . . . 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 и матричной формах. Интегралы движения. Оператор четности как интеграл движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 . . . 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.1. Невырожденная теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.2. Резольвента и ее применение в теории возмущений . . . . . . . . . . . . . 144 5.3. Теорема Вигнера. Вычисление точных поправок к энергии . . . . . . . . . 148 5.4. Вариационный метод в теории возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.5. Вырожденная теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.6. Теория возмущений Бриллюэна—Вигнера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.7. Сравнение различных методов теории возмущений . . . . . . . . . . . . . 163

Стр.5

Оглавление Глава 6 5 Момент импульса и его представление в квантовой механике . . . 170 6.1. Операторы компонент момента импульса и их коммутаторы. . . . . . . . 170 6.2. Собственные функции оператора момента импульса . . . . . . . . . . . . 174 6.3. Собственные значения оператора момента импульса и его компонент . . 177 6.4. Матричное представление момента импульса и его проекций . . . . . . . 180 6.5. Выражения для матричных элементов операторов компонент момента импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.6. Сложение операторов момента импульса и его компонент . . . . . . . . . 186 Глава 7 Тождественные частицы и спин. Квантово-механические спиноры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Симметричные и антисимметричные волновые функции квантовых систем . . . . . . . 190 . 190 7.2. Линейные комбинации несимметризованных волновых функций. Различимость тождественных частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.3. Детерминант Слэтера и принцип Паули для тождественных частиц. . . . 193 7.4. Спин-орбитали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 7.5. Спиновые состояния многоэлектронных систем . . . . . . . . . . . . . . . 198 7.6. Операторы перестановок и антисимметризации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.7. Понятие проекционного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 7.8. Оператор антисимметризации и его коммутационные свойства . . . . . . 208 7.9. Спиновые функции электрона и их представление в матричной форме . 210 7.10. Двух- и трехэлектронные спиновые функции . 7.11. Симметричные и антисимметричные спиноры двухи трехэлектронных систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Глава 8 Квантово-механическое описание состояний атомов легких и тяжелых химических элементов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.1. Атом водорода. Собственные функции (водородные орбитали) и собственные значения оператора Гамильтона для атома водорода и водородоподобных атомов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.2. Самосогласованное поле. Обменное взаимодействие электронов в атоме гелия и молекуле водорода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 8.3. Вариационный метод в модели двухэлектронной системы. Приближение Хартри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 8.4. Уравнение Томаса—Ферми для многоэлектронных атомов . . . . . . . . . 239 Глава 9 Взаимосвязь «бра-кет» формализма Дирака с операторным и матричным представлениями квантовой механики . . . . . . . . . . 246 9.1. Зависимость амплитуд вероятности от координаты. Волновая функция как амплитуда вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 9.2. Связь уравнений Гамильтона и Шредингера. . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 . 212

Стр.6

6 9.3. Симметрия и законы сохранения . Глава 10 Квантовая механика кубитов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 10.1. Матрица плотности квантовых систем и ее свойства . . . . . . . . . . . . 264 10.2. Одно- и двухкубитовые квантовые системы. Чистые и смешанные состояния однокубитовых систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 10.3. Основные виды однокубитовых квантовых операций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6. Двухкубитовые квантовые операции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5. Интерферометр Маха-Цендера и его описание однокубитовыми операциями . . . . . . . . . . . . . . . 10.7. Запутанные состояния кубитов и их описание матрицей плотности двухкубитовых систем . . 10.9. Энтропия фон Ноймана и ее связь с матрицей плотности двухкубитовых систем . . Глава 11 Решение квантовомеханических задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Приложение 1. Квазиклассическое приближение (приближение Вентцеля— Крамерса—Бриллюэна: ВКБ-метод) . . Приложение 2. Приложение 3. Приложение 4. Приложение 5. Заключение . Квантовая теория кубитов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 . 311 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Задачи на операторную алгебру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Задачи на матричную форму квантовой механики . . . . . . . . . . . . . . 298 Нахождение собственных значений и собственных вектор-столбцов матриц и спиноров электронов (матриц Паули) методом Гаусса . . . . . . 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 10.4. Квантовые состояния двухкубитовых систем. Квантовая когерентность векторов состояний кубитов. . . . . . . . . . . 271 . 272 . 274 . 276 10.8. Вектор состояния двухкубитовых систем и его разложение по базисным функциям кубитов (разложение Шмидта) . . . . . . . . . . 280 . 281 10.10. Классификация кубитовых состояний для бозонов и фермионов . . . . 282 . . . . . . . 9.4. Средние энергии в «бра-кет» представлении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Оглавление . . . . . . . . . 252 . 258

Стр.7