МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
С. И. Мармо, А. В. Флегель, М. В. Фролов
ЛЕКЦИИ ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Часть I
Электромагнитные явления в вакууме
Учебное пособие
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2018
Стр.1
Содержание
Введение
5
Микроскопическая теория электромагнитных явлений
в вакууме
1. Уравнения электромагнитного поля
6
6
1.1. Законы электромагнетизма как результат обобщения опытных
данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля
в вакууме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Энергия электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4. Единственность решения уравнений Максвелла . . . . . . . .
1.5. Импульс электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . 22
2. Постоянное электрическое поле
20
25
2.1. Основные уравнения постоянного электрического поля . . . 25
2.2. Энергия электростатического поля . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3. Единственность решения электростатической задачи . . . . 32
2.4. Поле на больших расстояниях от системы зарядов. Дипольный
и квадрупольный моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5. Система зарядов в квазиоднородном внешнем поле . . . . . 38
3. Постоянное магнитное поле
40
3.1. Основные уравнения. Закон Био — Савара — Лапласа . . . . 40
3.2. Магнитный момент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3. Магнитная энергия постоянных токов. Коэффициенты самоиндукции
и взаимной индукции . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4. Единственность решения магнитостатистической задачи . . 50
3.5. Токи в квазиоднородном магнитном поле . . . . . . . . . . . 51
3.6. Силы в постоянном магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . 52
4. Переменное электромагнитное поле
54
4.1. Уравнения для электромагнитных потенциалов . . . . . . . 54
4.2. Электромагнитные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3. Плоские монохроматические волны . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4. Поляризация волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5. Частичная поляризация электромагнитных волн . . . . . . .
4.6. Запаздывающие потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.7. Потенциалы Лиенара — Вихерта . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3
65
Стр.3
Микроскопическая теория
электромагнитных явлений
в вакууме
1. Уравнения электромагнитного поля
1.1. Законы электромагнетизма как результат
обобщения опытных данных
Закон сохранения заряда. Способность элементарных частиц, микрочастиц
и макротел участвовать в электромагнитном взаимодействии характеризуется
электрическим зарядом, причем существуют заряды двух
видов — положительные и отрицательные. Тела с одноименными зарядами
отталкиваются, с разноименными — притягиваются. Опыт показывает, что
во всех явлениях природы выполняется закон сохранения заряда: заряд не
может ни возникать из ничего, ни исчезать, а только перераспределяется
между телами. Это значит, что полный заряд Q в некоторой области пространства
может измениться только за счет того, что заряженные частицы
пересекают границу области. Введем понятие полного тока J как количества
заряда, который пересекает границу области в единицу времени t.
Будем считать, что J > 0, если заряд «вытекает» из области, и J < 0, если
заряд «втeкает» в область. Тогда закон сохранения заряда (в интегральной
форме) может быть выражен уравнением
dQ(t)
dt
= −J.
(1.1)
Введем теперь понятие плотности заряда и плотности тока и перепишем
(1.1) в другом виде. Пусть имеется тело с большим количеством заряженных
частиц в нем. Разобьем объем V на малые элементы (физически
бесконечно малые объемы) ∆V такие, что ∆V ≪ V , но в ∆V все еще содержится
много элементарных зарядов, так что отношения типа ∆Q/∆V , где
∆Q = ei∈∆V
ei — полный заряд внутри ∆V , мало меняются при изменении
∆V . Так как ∆V макроскопически мал, то его положение можно характеризовать
единственным радиус-вектором r, проведенным в какую-либо
точку области ∆V . Назовем отношение
ρ(r, t) = ∆Q
∆V
6
(1.2)
Стр.6
объемной плотностью заряда в данной точке. Полный заряд во всем объеме
Q =∆Q =ρ∆V −→ V
ρ(r, t)dV.
Таким образом, для систем, в которых электрический заряд можно рассматривать
как распределенный непрерывно, полный заряд есть интеграл
от объемной плотности:
Q = V
ρ(r, t)dV.
(1.3)
Если в некоторой области пространства имеется только один заряд ea, то,
очевидно, объемную плотность нельзя ввести с помощью (1.2). Будем в этом
случае исходить из соотношения (1.3) и определим ρ так, чтобы выполнялись
равенства
Q = V
ρ(r, t)dV = ea, ra ∈ V,
0, ra ∈ V.
Тогда, очевидно, ρ(r, t) можно записать через дельта-функцию:
ρ(r, t) = eaδ(r − ra(t)),
где ra(t) — радиус-вектор заряда ea. Напомним, что δ(x) определяется как
функция, обладающая следующими свойствами:
1) функция равна нулю при всех x < 0 и при всех x > 0;
2) функция бесконечна при x = 0;
3) интеграл от этой функции, взятый в пределах от −∞ до ∞, равен 1.
Аналогичным образом вводится трехмерная дельта-функция δ(r). Из
свойств дельта-функции следует основное соотношение
V f(r)δ(r − ra)dr = f(ra),
если ra ∈ V,
которое было использовано при введении объемной плотности точечного
заряда.
Если имеется несколько точечных зарядов, то плотность заряда дается
выражением
Введем теперь плотность электрического тока
j(r, t) = ρ(r, t)v(r, t),
ρ(r, t) =a
7
eaδ(r − ra(t)).
(1.4)
(1.5)
Стр.7
где v(r, t) — скорость зарядов, и найдем, как j связана с током через поверхность.
Выделим площадку dS с нормалью n (dS = ndS — вектор площадки)
и вычислим ток, проходящий через dS. Пусть скорость зарядов в месте расположения
площадки — v, тогда в единицу времени площадку пересекут
заряды, находящиеся внутри цилиндра с осью, параллельной v, и высотой
(vn) = vn (рис. 1), т.е.
dJ = ρvndS = (ρv, n)dS = (jdS).
Полный ток через произвольную площадку S конечных размеров
J = S
jdS.
(1.6)
Если в объеме имеется несколько зарядов или заряды рассматриваются как
точечные (что можно делать всегда), то из (1.4), (1.5) получаем
j(r, t) =a
eavaδ(r − ra(t)).
(1.7)
Рис. 1
Запишем теперь закон сохранения электрического заряда (1.1) для некоторого
объема V , окруженного замкнутой поверхностью S в другой форме.
Левую часть, учитывая (1.3), перепишем в виде
dQ
dt = d
dt V
ρ(r, t)dV = V
8
∂ρ(r, t)
∂t
dV.
Стр.8
Чтобы преобразовать правую часть, воспользуемся теоремой Остроградского
— Гаусса
S
adS = V
div adV
и выразим ток J через объемный интеграл от дивергенции j
J = S
jdS = V
Подставляя в (1.1), получаем
V ∂ρ
∂t dV = −V
div jdV.
Так как объем V выбран произвольно, то должны быть равны подынтегральные
выражения
∂ρ
∂t + div j = 0.
(1.9)
Мы получили уравнение непрерывности, которое выражает закон сохранения
заряда в дифференциальной форме.
Закон Кулона для электростатического взаимодействия зарядов.
Принцип суперпозиции. Опыт показывает, что два неподвижных
точечных заряда e1 и e2, находящихся на расстоянии r друг от друга, взаимодействуют
по следующему закону (закон Кулона, 1785 г.):
F12 = e1e2
r3 r.
(1.10)
Здесь F12 — сила, с которой первый заряд действует на второй, r – вектор,
проведенный от первого заряда ко второму.
Формула (1.10) записана в абсолютной системе единиц Гаусса СГС, коdiv
jdV.
(1.8)
торая используется во всем курсе 1. В основу этой системы положены механические
единицы (сантиметр, грамм и секунда), а единичный заряд определяется
из закона Кулона, записываемого в форме (1.10).
Закон Кулона позволяет ввести понятие электрического поля, которое
характеризуется напряженностью. Можно сказать, что всякий неподвижный
точечный заряд e окружен электрическим полем с напряженностью
E = e
r3 r.
9
(1.11)
1 Система СГС используется в книгах [1, 2, 3, 4, 5, 6], а система СИ — в [7, 8]. Обсуждение различных
систем единиц см. в [2].
Стр.9
Заряд e′, находящийся в поле E, испытывает действие силы F = e′E.
Опыт показывает, что напряженности электрического поля от нескольких
неподвижных зарядов складываются как обычные векторы:
E =Ei.
нутую поверхность:
Пусть поле создается одним точечным зарядом, который находится в начале
координат: E = er/r3. Имея в виду применение формулы Остроградского
— Гаусса, подсчитаем divE. Так как
Π = EdS.
то
div r
r3 = ∇, r
r3 = 1
r3div r + grad 1
r3 , r = 3
r3 − 3
divE = ediv r
r3 = 0, r = 0.
генции (1.8) и с учетом (1.12) находим:
EdS = divEdV = 0.
r3 = 0, если r = 0,
(1.12)
Рассмотрим два случая.
1. Заряд вне объема.
Чтобы вычислить поток, переходим к объемному интегралу от дивер(1.13)
2.
Заряд внутри объема.
Окружим заряд сферой радиусом R. Применим результат предыдущего
пункта к поверхности, составленной из S и поверхности сферы SR (нормаль
к сфере направляем наружу). Заряд находится вне объема, ограниченного
этой поверхностью, поэтому
S
так что
EdS − SR
S
EdS = SR
EdS = V
EdS = SR
divEdV = 0,
EdS.
Поток через поверхность SR нетрудно вычислить:
SR
eR
R3 dS = e
10
R2 SR
В этом состоит принцип суперпозиции.
Теорема Гаусса. Вычислим поток вектора E через произвольную замкdS
= 4πe.
Стр.10