МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
А.П. Трифонов, А.В. Захаров, В.К. Маршаков
АНАЛИЗ ВОЗДЕЙСТВИЯ СИГНАЛА И ШУМА
НА ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ.
ОПТИМАЛЬНЫЕ, СОГЛАСОВАННЫЕ
И КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Учебно-методическое пособие для вузов
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2017
Стр.1
1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1.1. Линейные системы и их описание
Любое физическое устройство (система), предназначенное для преобразования
электрических сигналов, может быть описано с помощью дифференциальных
уравнений, связывающих сигналы на входе и на выходе системы.
В зависимости от типа этих уравнений производится классификация
систем. На практике устройства (системы) для преобразования сигналов
описываются тремя типами дифференциальных уравнений:
1)
2)
3)
линейные уравнения с постоянными коэффициентами;
линейные уравнения с переменными коэффициентами;
нелинейные уравнения.
Соответственно различают следующие виды систем:
1)
2)
3)
линейные с постоянными параметрами;
линейные с переменными параметрами;
нелинейные.
Таким образом, система называется линейной, если преобразования
сигналов в этой системе могут быть описаны с помощью линейных дифференциальных
уравнений с постоянными или переменными параметрами.
Кроме определения линейной системы с помощью вида уравнения,
описывающего систему, можно дать эквивалентные определения:
а)
суперпозиции;
б)
линейной является система, к которой применим принцип
линейной является система, сигнал на выходе которой
можно представить в виде
где — входной сигнал системы (входное воздействие), а
— импульсная
переходная функция (импульсная характеристика), полностью ха3
Стр.3
а угловые скобки < > означают статистическое усреднение (усреднение по
ансамблю реализаций).
Рассмотрим прохождение суммы (9) полезного сигнала
в (4), выходной сигнал системы можно представить в виде
где
и шума
через линейную систему с постоянными параметрами. Подставляя (9)
— полезный выходной сигнал линейной системы,
— реализация шума
на выходе системы.
Согласно (13), случайный процесс
Найдем статистические характеристики случайного процесса
определяется как
.
причем этот интеграл следует понимать как интеграл Римана в среднеквадратическом.
Рассмотрим математическое ожидание
и функцию
корреляции
го процесса
–
(14).
Согласно (14) математическое ожидание
равно
случайноЗдесь
учтено, что операция интегрирования является линейной, поэтому
операцию усреднения по реализациям можно внести под знак интеграла.
6
Стр.6
шума
Рассмотрим теперь корреляционную функцию
. С учетом (14), (15) имеем
выходного
Заменяя повторное интегрирование двойным и внося операцию усреднения
по реализациям под знак интеграла, получаем
Используя определение корреляционной функции и свойство стационарности
случайного процесса
, из последнего выражения находим
Из (15), (16) следует, что в общем случае шум
на выходе линейной
системы является нестационарным, даже если входной случайный
процесс
(как правило) обладают конечной длительностью импульсной переходной
функции (памятью)
. Тогда выходной случайный процесс
будет стационарным. Однако линейные пассивные системы
в такой
системе будет приближаться к стационарному по истечении достаточно
большого времени от момента = 0 включения входного сигнала.
Действительно, пусть — длительность импульсной переходной
, т.е. длительность переходных процессов или память систеимеем
функции
мы.
Тогда для всех
ходной шум
по истечении большого времени
. Если теперь рассматривать вы,
,
,
то в формулах (15), (16) пределы интегрирования можно заменить на
бесконечные. Тогда для математического ожидания
ной функции
выходного шума
7
получаем
и корреляцион
Стр.7
Таким образом, когда линейная система работает в стационарном
режиме и на ее вход поступает стационарный случайный процесс, то выходной
процесс также будет стационарным. Линейная система работает в
стационарном режиме, если с момента подачи сигнала на вход системы
прошло время, значительно большее длительности переходных процессов в
этой системе или (что то же самое) значительно большее памяти системы.
В стационарном режиме выражение (17) для функции корреляции выс
учетом (6) можно представить как
ходного шума
где
— спектральная плотность входного шума
, являющаяся прямым преобразованием
Фурье от корреляционной функции входного шума, а
— передаточная функция (5) линейной системы.
1.3. Отношение сигнал-шум
Искажающее (мешающее) действие шума (помехи) можно характеризовать
отношением сигнал-шум (ОСШ).
Под отношением сигнал-шум по мощности часто понимают отношение
максимальной (пиковой) мощности полезного сигнала к средней
мощности шума. Обозначив отношение сигнал-шум по мощности на входе
линейной системы через , в соответствии с определением, получаем
8
Стр.8
где
–квадрат амплитуды входного сигнала системы, а
— дисперсия (средняя мощность переменной составляющей) входного
шума. Чем больше отношение сигнал-шум, тем меньше шум искажает
полезный сигнал. Аналогично (20), отношение сигнал-шум по мощности на
выходе линейной системы определяется как
где
–квадрат амплитуды выходного сигнала системы, а
— дисперсия (средняя мощность переменной составляющей) выходного
шума.
На практике часто рассматривают отношение сигнал-шум по напряжению
z, которое равно корню квадратному из отношения сигнал-шум по
мощности . В рассматриваемом здесь случае величины и
имеют
смысл отношения сигнал-шум по напряжению на входе и выходе системы.
Чтобы выяснить, как влияет линейная система с постоянными параметрами
на отношение сигнал-шум, введем в рассмотрение отношение
Величина показывает, как изменяется отношение сигнал-шум по напряжению,
если сумму (9) сигнала
и шума
пропустить через линейную
систему (фильтр) с постоянными параметрами. Отношение можно
интерпретировать как выигрыш в отношении сигнал-шум, возникающий в
результате применения линейной системы (фильтра). Очевидно, что чем
больше значение , тем лучше система (фильтр) подавляет шум (помеху).
Для вычисления выигрыша в отношении сигнал-шум, который дает
линейная фильтрация, иногда удобнее использовать спектральные пред9
Стр.9
ставления. Из (8) следует, что
где — время достижения выходным полезным сигналом
мального значения. Согласно (18), дисперсия выходного шума равна
максиПри
этом дисперсия входного шума по теореме Винера-Хинчина равна
Тогда
Согласно (25) при изменении передаточной функции фильтра
величина отношения сигнал-шум на выходе фильтра и, следовательно,
величина выигрыша ρ, будут также меняться.
Фильтры, для которых величина выигрыша ρ достигает максимального
значения, называют оптимальными. Можно показать, что для сигнала
со спектром
плотностью
, принимаемого на фоне шума со спектральной
, оптимальным будет фильтр с передаточной функцией
Здесь k и t0 — некоторые константы, а «*» обозначает комплексное сопряжение.
Согласно (26) передаточная функция оптимального фильтра полностью
определяется спектром
плотностью шума
полезного сигнала
.
10
и спектральной
Стр.10