Национальный цифровой ресурс Руконт - межотраслевая электронная библиотека (ЭБС) на базе технологии Контекстум (всего произведений: 525074)
Консорциум Контекстум Информационная технология сбора цифрового контента
Уважаемые СТУДЕНТЫ и СОТРУДНИКИ ВУЗов, использующие нашу ЭБС. Рекомендуем использовать новую версию сайта.

Методы обработки и планирования эксперимента. Ч.1. Оценка распределений и их параметров (90,00 руб.)

0   0
Первый авторРадченко Юрий Степанович
АвторыЗахаров Александр Владимирович, Зюльков Александр Викторович
ИздательствоИздательский дом ВГУ
Страниц39
ID683717
АннотацияВ данном учебном пособии рассматриваются как классические алгоритмы обработки, так и ряд не очень широко известных приемов статистического анализа. Кроме того, в первой части учебного пособия рассматривается такое перспективное направление, как применение порядковых статистик к обработке статистических рядов.
Кому рекомендованоРекомендовано для студентов бакалавриата 4-го курса и магистрантов 1-го и 2-го годов обучения изучающих курсы «Статистическая радиофизика», «Современные методы обработки и планирования эксперимента», «Цифровое моделирование радиофизических процессов и систем».
Радченко, Ю.С. Методы обработки и планирования эксперимента. Ч.1. Оценка распределений и их параметров [Электронный ресурс] / А.В. Захаров, А.В. Зюльков, Ю.С. Радченко .— Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2016 .— 39 с. — 39 с. — Режим доступа: https://rucont.ru/efd/683717

Предпросмотр (выдержки из произведения)

Методы_обработки_и_планирования_эксперимента._Ч.1._Оценка_распределений_и_их_параметров.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ю.С. Радченко, А.В. Захаров, А.В. Зюльков МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ И ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Часть 1 ОЦЕНКА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ И ИХ ПАРАМЕТРОВ Учебно-методическое пособие Воронеж Издательский дом ВГУ 2016
Стр.1
ОГЛАВЛЕНИЕ Введение....................................................................................................... 4 1. Методы оценок числовых характеристик распределений случайных величин ............................................................................................ 5 2. Оценки при известном (с точностью до параметров) распределении выборки .............................................................................................................. 13 3. Выборочные распределения и их анализ............................................ 18 4. Оценки, основанные на порядковых статистиках ............................. 27 5. Робастные оценки параметров ............................................................. 32 Библиографический список ..................................................................... 38 3
Стр.3
1 1 1 1 Fn x z,() cnormx() 0.5 Fn x z,() cnorm x() 0.5 0 0 0 − 4 4 20 2 x n = 1000 Рис. 1.1 На рис. 1.1 приведены выборочная функция распределения ()n (1.1) при разных n и теоретическая функция распределения. Fx Предположим, что случайная величина X~ N m,σ ()2 Оценка числовых характеристик и параметров нормального распределения по независимым результатам наблюдений Точечные оценки iX наблюдается непосредственно (без аномальных ошибок, обусловленных «засорением» выборки). Можно показать, что оценки параметров m и 2Xσ будут определяться следующими выражениями для всех методов: − оценка математического ожидания (выборочное среднее) mX X == n =  1 n σ  ; i 1 i − оценка дисперсии (выборочная дисперсия): при условии, что математическое ожидание известно,  ≡= − Xm ; 22 XX i i s n =1 XX i()2 6 ≡= − =SX X 1 () n 2 при условии, что математическое ожидание неизвестно 22 σ nn n==    (1.5) 2 11 11 ii −−− Xi  11 1 nn n  − X . 2 (1.4) (1.3) 4 4 0 4 − 4 2 024 x n = 200 4
Стр.6
фективными. Их дисперсии определяются следующим образом: { } при условии, что математическое ожидание известно, { }24 422 DSX XX= σ nnS≈ σ ; (при n >> 1); при условии, что математическое ожидание не известно, { }24 422 X 11 DS XX= nn s −−≈ ся следующими выражениями: () mX 1= x ; n  n k ki i=1 M (X )= x X ; n  ki i=1 1 (при n >> 1). Старшие начальные и центральные выборочные моменты определяютn ()k  − () k= 3, 4, ... , которые дают состоятельные и эффективные оценки характеристик гауссовской случайной величины. Для определения коэффициентов асимметрии и эксцесса можно воспользоваться следующими выражениями:   A X=   {} () ()3 3 1 E X= X m / S –iX 3 . i=1 {} () ()4 4 1 n − nSX n Интервальные оценки параметров Для совместного анализа точности и надежности рассмотренных оценок используют доверительные интервалы, соответствующие заданной доверительной вероятности P0 : ния ()Xγ  Пусть ()Xγ  ) Pd () () 12 0θ≤≤ =   X d X P .  dX X dX X 1 2 () () , () () .  γ γ =−Δ =+Δ  p p Тогда можно записать (1.6) с учетом (1.7) () 7 PX Pγθ−Δ ≤ − ≤ Δ = .PP 0   1.8) (1.6) – точечная оценка. Тогда (для симметричного распределе (1.7) 2  −X m ; i n i=1 Эти оценки (1.3)−(1.5) являются несмещенными и асимптотически эфDX 2X= σ /n ;
Стр.7
Таким образом, зная распределение случайной величины ()Xγ θ−  можно найти P Δ . Следует отметить, что наилучшее качество интервального оценивания гарантируется только при гауссовском распределении и резко падает при отклонениях от него. Оценка математического ожидания при известной дисперсии выборки Оценка математического ожидания, определенная в соответствии с выражением (1.3), является несмещенной и имеет гауссовское распределение 2 XN(, )x рительный интервал PX m PP0 [] 1 δ −≤ ≤ =   −Δ ≤ − ≤ Δ = PPP 0  Pn Xm n =  Δ− Δ −≤ ≤ При заданной дисперсии 2xσ статистика стандартное гауссовское распределение x dx Учитывая, что () ( 2π−δ qP ()0 exp −=Φδδ . 2 2 Φ−δδ1= −Φ , получаем () ) Обозначим qλ – квантиль порядка q распределения ().0,1N =+ . Чаще всего берут 0 21 PδΦ− = или δ − 1 1 P0 2 0 1/2 1 P 0.9= =Φ + . , где , следовательно λ =P 1.645 d= X σλ +p / () /n; d= X +σλ +p / () /n. − x 12 2 Очевидно, что 21 dd 2 P 2Δ = σx x 12 P λ+P 1/2 n . (1.10) (1.11) −= Δ . Тогда из полученных соотношений (1.10) () На рис. 1.2 приведен график коридора vn 8 () /=Δ σ λ+ (1 )/2 P x = n . (1.12)    =Δ n /. −Φ − Px = P0 PP xx x =n N η σ Xm x − δσ Откуда: () ( )  σσσ δη δ n P0 . (1.9) (0,1) имеет m n  σ . Поэтому, как правило, рассматривается симметричный дове,
Стр.8
1.645 vn () − () 0 vn 1.5 2 0.5 1 0.5 0 1.5 1 − 1.645 2 0 1 5 10 n Рис. 1.2 Как видно из графика на рис. 1.2, уменьшение доверительного интервала с увеличением n замедляется. Так уменьшение доверительного интервала в 10 раз требует увеличения выборки в 100 раз. Оценка математического ожидания при неизвестной дисперсии выборки В таком случае вместо 2 x σ берут ее оценку =−−  () . 2 SX X n 2 деление Стьюдента с ν=n − степенями свободы. Границы доверительных интервалов получаются следующие: Если дисперсия неизвестна, статистика 1 d= X S t`X 11 2 − 1 2 − t n1, q qλ − ≈ d= X S t`X 11 2 n, +P / n, +P / − () / n; − () / n; (1.13) (1.14) Следует отметить, что при достаточно больших n ( n 60...100≥ и вместо выражений (1.13)–(1.14) могут быть использованы ) (1.10)–(1.11), в которые вместо истинных значений xσ подставляются их оценки XS. Расчет длины выборки n Если задана ширина двустороннего интервала 2 pΔ , в котором с вероятностью 0P должно содержаться истинное значение математического ожидания m, диапазон отклонений Δ− X m (1.11) можно определить n : 9 , то из выражений (1.12), (1.10), 1 Xm X Xi i 1 =1 ξ=nS − имеет t − распреn 15 20 20
Стр.9
− при условии известной дисперсии 2 x px p − при условии неизвестной дисперсии 2 ≥ n λσ / Δλ σ / Δ ;≥= p x p σx () ( 22 ) ns tn1, 1+P /Xp2 2()2 − () / Δ . Заданы: Пусть задана доверительная вероятность 0 выборки n , диапазон отклонений Δ− X m четную формулу σ n λ x = Δ . q ки n , дисперсия ошибки единичного измерения. Тогда из (1.12) получаем (1 )/2 n Заданы: Задана доверительная вероятность 0 Δ=σλ+ xP . В таком случае диапазон нахождения параметра mX =±Δ . Оценка числовых характеристик случайных величин по сгруппированным данным Пусть исходная выборка XX { }i= 0.274 0.25 0.3 p k 0.15 0.2 0.05 0.1 410 Ч − 3 0 3 − 2.8 2 10 1 x k Рис. 1.3 10 2 2.8 3 сгруппирована в M интервалов длиной h , x j – центр j–го интервала. Соответствующие частоты (оценки вероятностей попадания в i подинтервал) p j j= ,M ,M n .<< { }()1 Расчет доверительной области P ( 0 Расчет допустимой погрешности измерения x P ( 0 σ P = 0.9), объем . Тогда из (1.12) получаем расσ для оценки m 22 (1.15) (1.16) P = 0.9), объем выбор
Стр.10

Облако ключевых слов *


* - вычисляется автоматически