МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Т. И. Смагина
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Учебное пособие
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2017
Стр.1
Введение
Решение многих сложных научных и технических задач значительно
упрощается при моделировании, то есть замещении одних объектов
другими, сохраняющими наиболее существенные свойства и особенности
замещаемых объектов. Математическое моделирование превратилось в
один из универсальных методов познания и применяется практически во
всех современных науках, как естественных, так и общественных, как теоретических,
так и экспериментальных.
Непрерывные математические модели содержательных прикладных
задач могут быть различными (краевые или начальные задачи для обыкновенных
дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных,
интегральные и алгебраические уравнения и т.п.). Методы функционального
анализа позволяют рассматривать их как операторные уравнения
в соответствующих функциональных пространствах и, следовательно,
исследовать эти модели с единых позиций.
В учебном пособии рассматриваются некоторые приближенные способы
решения операторных уравнений в бесконечномерных пространствах.
Для линейных уравнений изучаются метод малого параметра, с позиций
единой схемы метода моментов рассмотрены методы Галеркина,
наименьших квадратов, коллокаций и метод конечных элементов. Для
нелинейных уравнений изучается метод Ньютона-Канторовича.
Все предлагаемые схемы иллюстрируются либо на интегральных
уравнениях, либо на краевых задачах для дифференциальных уравнений
второго порядка, которые служат математической моделью самого широкого
круга прикладных задач.
Предполагается наличие у слушателей знаний основных положений
университетского курса "Функциональный анализ". Некоторые из этих
положений приводятся по ходу изложения материала. Сведения об интеграле
и пространствах Лебега даны в приложении.
Конец доказательства утверждений отмечается значком .
— 3 —
Стр.3
Пространство X называется полным, если всякая фундаментальная
последовательность {xn} ⊂ X сходится к некоторому пределу, являющемуся
элементом этого же пространства.
Теорема 1.1. Пространство C[a, b] полно.
Теорема 1.2. Пространства CL1[a, b], CL2[a, b] неполны.
В пространствах CLp[a, b], p = 1, 2, существуют последовательности,
которые по норме этих пространств сходятся к разрывной функции.
Примером такой последовательности служит последовательность непрерывных
функций, заданная следующим образом:
Можно показать, что последовательность {xn} фундаментальна в
CLp[−1, 1], сходится по норме CLp[−1, 1], p = 1, 2, к разрывной функции
xn(t) =
и не сходится по норме пространства CLp[a, b], p = 1, 2, ни к какой непрерывной
функции.
Если некоторое пространство неполно, то его можно пополнить до
x0(t) =
более широкого пространства, которое будет уже полным пространством.
Полное пространство X называется пополнением нормированного проТеорема
1.3. Каждое нормированное пространство имеет пополстранства
X, если: 1) X ⊂ X; 2) X = X, где X = X ∪ X – замыкание
множества X, т.е. присоединение к X всех его предельных точек X.
нение.
Пространства Лебега. Пространством Лебега L1[a, b] называется
пополнение пространства CL1[a, b], т.е.
L1[a, b] = CL1[a, b].
— 6 —
−1, при t ∈ [−1, 0),
0, при t = 0,
+1, при t ∈ (0, 1]
∈/ CLp[a, b]
−1, при t ∈ [−1, −1/n],
nt, при t ∈ [−1/n, 1/n],
+1, при t ∈ [1/n, 1].
Стр.6
Т.о., если x ∈ L1[a, b], то существует последовательность xn непрерывных
функций, фундаментальная в среднем, т.е.
и такая, что
b
a |xn(t) − xm(t)| dt → 0 при n,m→∞
Сходимость в интегральном смысле (*) называется сходимостью в среднем.
b
a |xn(t) − x(t)| dt → 0 при n →∞. (∗)
Рассмотрим фундаментальную в среднем последовательность
т{xn(t)}. Это означает, что для любого ε > 0 существует номер N = N(ε)
Всякая непрерывная функция интегрируема по Риману. Покажем, что
существует предел последовательности римановских интегралов
(R) b
акой, что при n,m ≥ N выполняется неравенство
b
a |xn(t) − xm(t)| dt < ε.
a xn(t) dt = In. Имеем
|In − Im| = (R) b
a
Т.к. R – полное пространство, то числовая последовательность {In} в
силу критерия Коши имеет предел. Этот предел называется интегралом
≤ (R) b
a |xn(t) − xm(t)| dt ≤ ε при n,m ≥ N.
xn(t) dt − (R) b
a
xm(t) dt = (R) b
a
Лебега от функции x(t), т.е.
(L) b
a
Заметим, что интеграл в соотношении (*) понимается в смысле Лебега.
Конструктивное построение интеграла Лебега дано в приложении I.
Замечание 1.2. Подобно тому, как иррациональные числа можx(t)
dt = limn→∞(R) b
a
но трактовать как некоторые идеальные элементы, к которым можно
— 7 —
xn(t) dt.
[xn(t) − xm(t)] dt
Стр.7
сколь угодно близко приблизиться с помощью рациональных чисел, так
и элементы пространства L1[a, b] можно рассматривать как некоторые
идеальные функции x(t), к которым можно сколь угодно точно приблизиться
в среднем с помощью непрерывных функций xn(t), т.е.
b
a |x(t) − xn(t)| dt → 0, при n →∞.
Элементы пространства L1[a, b] называются измеримыми суммируемыми
(интегрируемыми по Лебегу) функциями, т.е. (L) b
в этом пространстве задаётся следующим образом
x L1
= (L) b
a |x(t)| dt.
Пространством Лебега L2[a, b] называется пополнение пространства
CL2[a,
b], т.е.
L2[a, b] = CL2[a, b].
Т.о., если x ∈ L2[a, b], то существует последовательность {xn(t)} непрерывных
функций, фундаментальная в среднем квадратичном, т.е.
и такая, что
(L) b
b
a |xn(t) − xm(t)|2 dt → 0, при n,m→∞
a |xn(t) − x(t)|2 dt → 0, при n →∞. (∗∗)
Сходимость в интегральном смысле (**) называется сходимостью в среднем
квадратичном.
Элементы пространства L2[a, b] называются измеримыми суммирустранстве
L2[a, b] задаётся следующим образом
x L2
= b
a |x(t)|2 dt
— 8 —
1/2
.
a |x(t)| dt < ∞. Норма
емыми с квадратом функциями, т.е. (L) b
a |x(t)|2 dt < ∞. Норма в про
Стр.8
Теорема 1.4. Пространство L2[a, b] вложено в L1[a, b].
Доказательство следует из неравенства Коши-Буняковского
1/2
b
a
x(t)y(t) dt ≤ b
a
a
1 · x(t) dt ≤ b
a
если α + 1 > 0. Кроме того,
1
1
0
0
x2(t) dt
1/2
12 dt
b
a
b
a
1/2
y2(t) dt
1/2
.
Действительно, если x(t) ∈ L2[a, b], тогда x(t) ∈ L1[a, b], так как
b
x2(t) dt
< ∞.
Приведём пример функции x(t) ∈ L1[a, b] такой, что x(t) /∈ L2[a, b]. Пусть
[a, b] = [0, 1] и x(t) = tα, где α подлежит определению. Имеем
x(t) dt = 1
0
x2(t) dt = 1
0
tα dt = tα+1
α + 1
∞
0
t2α dt = t2α+1
2α + 1
< ∞,
∞
0
= ∞,
если 2α+1 < 0. Таким образом, при −1 < α < −1/2 функция tα ∈ L1[a, b],
но tα /∈ L2[a, b].
1.2. Линейные операторы. Пусть (X, · X) и (Y, · Y ) - линейные
нормированные пространства над одним и тем же полем чисел
K = {R, C}. Пусть существует оператор (отображение) A : D(A) ⊂ X →
Y , ставящий в соответствие элементу x ∈ D(A) единственный элемент
y ∈ Y . Множество D(A) ⊂ X называется областью определения оператора
A. Множество элементов вида R(A) = {y ∈ Y : y = Ax, x ∈ D(A)}
называется областью значений оператора A. Говорят, что элемент y является
образом элемента x, а элемент x - прообразом элемента y.
скаляров α, β ∈ K.
Оператор A : D(A) ⊂ X → Y называется линейным, если:
1) D(A) - линейное пространство;
2) A(αx1 + βx2) = αAx1 + βAx2 для всех x1, x2 ∈ D(A) и любых
— 9 —
Стр.9
ществует такая константа M > 0, что для всех x ∈ X
Ax Y ≤ M x X.
Линейный оператор A : X → Y называют ограниченным, если су(1.1)
Нормой
A оператора A называют наименьшую из констант M,
для которых выполнено условие (1.1).
Замечание 1.3. Если для всех x ∈ X выполнено неравенство (1.1)
и существует элемент x0 такой, что Ax0 = M x0 , то A = M.
Имеют место равенства
A = sup
x =0
Ax Y
x X
= sup
x X≤1
Ax Y = sup
x X=1
Примеры
1. Пусть ϕ - непрерывная на отрезке [a, b] функция. Рассмотрим
отображение A : C[a, b] → C[a, b], определяемое соотношением
(Ax)(t) = ϕ(t)x(t).
Доказать, что A - линейный ограниченный оператор и найти его норму.
Решение. Линейность оператора следует из соотношения
(A(αx + βy))(t) = ϕ(t)(αx(t) + βy(t)) = α(Ax)(t) + β(Ay)(t).
Покажем, что A - ограниченный оператор. Имеем
Ax C = max
t∈[a,b] |(Ax)(t)| = max
t∈[a,b] |ϕ(t)x(t)| ≤ ϕ C x C,
поэтому A C ≤ ϕ C.
Докажем, что A = ϕ C. Рассмотрим функцию x0(t) ≡ 1. Очевидно,
что x0 C = 1 и Ax0 C = max
t∈[a,b] |ϕ(t)| = ϕ C. Таким образом,
A = ϕ C.
2. Доказать линейность, ограниченность и найти норму оператора
(Ax)(t) = 1
b) A : L2[0, 1] → C[0, 1].
0 t2sx(s) ds, если: a) A : C[0, 1] → C[0, 1],
— 10 —
Ax Y .
Стр.10