МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ЛАЗЕРНОГО И ХИМИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ
НА БИОТКАНИ
Учебно-методическое пособие для вузов
Составители:
А.Д. Баев, Ж.И. Бахтина,
М.Б. Зверева
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2016
Стр.1
Оглавление
Глава1. СВЕТ И ВЕЩЕСТВО ............................................................................. 4
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С БИОЛОГИЧЕСКИМИ ТКАНЯМИ .............. 18
2.1 Принципы построения математических моделей для расчета
взаимодействия лазерного излучения с мутными биотканями .............. 18
2.2 Теория переноса .................................................................................... 20
Глава 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
ДИФФУЗИИ ЧЕРЕЗ КОЖУ .............................................................................. 30
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................... 44
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .............................................................. 45
3
Стр.3
оптического излучения из первой среды на границу раздела со второй
взаимодействие света с веществом приводит к появлению световой волны,
распространяющейся от границы раздела в первую среду.
Отражающая поверхность – это физическая граница двух сред с
разными показателями преломления.
Закон отражения: луч падающий и луч отраженный, а также
нормаль, восстановленная к отражающей поверхности, лежат в одной
плоскости, называемой плоскостью падения, и угол падения равен углу
отражения :
.
(1.1.1)
Углы и – углы между нормалью к поверхности и падающим и
отраженным лучами, соответственно. Поверхность принимается достаточно
гладкой, с относительно малыми неровностями по сравнению с длиной
волны излучения. Такое приближение – зеркальное отражение. Если же,
например, величина шероховатости отражающей поверхности сравнима
или больше, чем длина волны излучения, имеет место диффузное
отражение, при этом отдельные отражаемые пучки необязательно лежат в
плоскости падения, а уравнение (1.1.1) уже не является верным.
Преломление имеет место, когда отражающая поверхность разделяет
две среды с различными показателями преломления. Преломление
происходит вследствие изменения скорости световой волны. Закон
Снелиуса:
sin
sin
v
v
,
(1.1.2)
где – угол преломления, v и v – скорости света в среде до и после
отражающей поверхности. Показатели преломления:
nnvv ,
cc,
6
(1.1.3)
Стр.6
где с – скорость света в вакууме. Это – абсолютные показатели
преломления. Тогда уравнение (1.1.2) можно переписать в виде:
nnsin sin
.
Если sin
n
n , то преломления нет. Это – полное отражение.
На практике определяют относительный показатель преломления
n12 – отношение скорости света в одной среде к скорости прохождения света
в другой среде:
n12
.
sin
sin
(1.1.5)
С увеличением температуры показатель преломления уменьшается.
Каждое вещество в твердом или растворенном состоянии состоит из
определенных частиц. Известна формула Лорентц-Лоренца, связывающая
показатель преломления n изотропного вещества с числом молекул N в
единице объема и поляризуемостью α молекул вещества:
2
n
n
2
11
2 3
N
.
заданной длиной волны выполняется соотношение:
2
refr
11
2
n ,
2
n
(1.1.7)
где ρ – плотность вещества. Величина refr – удельная рефракция.
Существует правило, согласно которому рефракцию сложного химического
соединения можно вычислить, складывая рефракции составляющих его
элементов.
Атомная рефракция RA - произведение удельной рефракции refr
данного элемента на его атомную массу A:
(1.1.6)
Из нее следует, что для данного химического вещества и для света с
(1.1.4)
7
Стр.7
R A refr
A
.
An
n
Молекулярная рефракция MR :
R M refr
11
MA2 3
Mn
n
N ,
2
2
(1.1.9)
где M – молекулярная масса, NA = 6,022 141 79(30)×1023 моль−1 –
постоянная Авогадро. Молекулярная рефракция не зависит ни от
температуры, ни от давления, ни от агрегатного состояния вещества. Во
многих случаях молекулярная рефракция обладает свойством
аддитивности, то есть взаимодействие отдельных атомов с полем световой
волны в первом приближении не зависит от других атомов, входящих в
состав той же молекулы.
Следует отметить, что мерой количества отраженного излучения
является отражательная способность поверхности – отношение
отраженной и падающей амплитуд электрического поля. Отношение
соответствующих интенсивностей определяет коэффициент отражения,
который равен квадрату отражательной способности. Отражательная
способность и коэффициент отражения зависят от угла падения,
поляризации излучения и от показателей преломления сред, формирующих
преломляющую поверхность. Законы Френеля записываются так:
sin(
E
E
E
E
E
E
E
E
p
p
s
s
s
s
p
p
sin( ) ,
tg( )
2sin cos
sin(
tg( ) ,
)
sin( ) ,
2sin cos
)cos(
8
,
)
(1.1.10)
(1.1.11)
(1.1.12)
(1.1.13)
2
2
1
2
(1.1.8)
Стр.8
где Е, Е′ и Е″ – амплитуды векторов электрических полей падающего,
отраженного и преломленного света, соответственно. Индексы «s» и «p»
означают две плоскости колебания векторов:
«s» перпендикулярна
плоскости падения, а «р» – параллельна ей.
Коэффициенты отражения в каждой плоскости записываются
следующим образом:
Rs
p
,
Es
Es
Ep
2
(1.1.14)
R .
Ep
2
(1.1.15)
Угол, при котором Rp 0 , называется углом Брюстера. В случае
отражения на границе воздух-вода (n=1 и n′ =1.33) он составляет 53°. Так
как и θ и θ″ очень малы в приближении нормального падения, можно
положить тангенсы в уравнении равными синусам, тогда:
22
22
RR
ps
или (если n=1)
RR
(n cos cos ) (n 1)
ps ( cos cos ) (n 1)
n
22
22
.
нормального падения. Таким образом, если n′=1.33, то RR
1.2 Поглощение
Из-за поглощения интенсивность падающей электромагнитной волны
ослабляется. Поглощательная способность среды определяется как
отношение поглощенной и падающей интенсивностей. Поглощение
9
(1.1.17)
Приближенное равенство становится строгим в приближении
ps 2% .
sin (
sin (
) (sin cos cos sin )
) (sin cos cos sin )
(1.1.16)
Стр.9
является следствием частичного перехода световой энергии в тепловое
движение или колебания молекул поглощающего вещества. Полностью
прозрачная среда не поглощает свет. Среди биологических тканей почти
прозрачными для видимого света можно считать хрусталик глаза и
роговицу. Структуры же, в которых падающее излучение практически
полностью ослабляется, называют непрозрачными.
Говорят, что вещество полностью поглощает, если оно ослабляет
интенсивность всех длин волн в рассматриваемом диапазоне на одинаковую
величину, поэтому в случае видимого света, такие вещества будут
выглядеть бесцветными для глаза. С другой стороны, селективное
поглощение это преимущественное поглощение определенных длин волн
относительно других. Существование цветов порождается селективным
поглощением. Цвет тела определяется светом, который проникает на
определенную глубину в вещество. Из-за рассеяния назад он затем
поворачивает и выходит обратно из поверхности, но только после того как
он был частично поглощен на определенных длинах волн. В отличие от
этого, цвет поверхности определяется отражением от самой поверхности.
Поэтому обычно цвета тела и цвета поверхности различны.
Часто используются два закона, которые описывают влияние
толщины или концентрации на поглощение: закон Ламберта и закон Бера.
0
I z I e
I z I e
( )
( )
где z – оптическая ось, ()
падающая интенсивность, a
0
a ,z
k ,cz
Iz – интенсивность на расстоянии z,
– коэффициент поглощения среды,
(1.2.1)
(1.2.2)
I0 –
с –
концентрация поглощающих центров, k′ зависит от остальных внутренних
параметров. Из (1.2.1) получаем:
z Iz .
0
1 ln
a ()
I
10
(1.2.3)
Стр.10