Курс лекций по уравнениям математической физики с примерами и задачами: учеб. пособие / А. И. Сухинов, В. Н. Зуев, В. В. Семенистый. <...> В первых шести главах рассматриваются основные типы уравнений с частными производными, их классификация, постановка краевых задач и методы их решения: характеристик (Даламбера), Римана, Фурье. <...> 7–10 развивается подход, основанный на концепции обобщённого решения: строятся фундаментальные решения для операторов теплопроводности, Лапласа, волнового оператора и оператора Гельмгольца, а затем рассматриваются обобщённые задачи Коши для уравнения теплопроводности и волнового уравнения. <...> Для решения краевых задач для уравнений эллиптического типа излагается метод потенциалов и метод функций Грина. <...> КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ . <...> ПРИВЕДЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ . <...> ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОГО ОДНОМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. <...> ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО ОДНОМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ . <...> ОБОБЩЁННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . <...> ОБОБЩЁННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ . <...> ОБОБЩЁННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ . <...> КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА . <...> КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА. <...> ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ . <...> ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ НА ПЛОСКОСТИ . <...> Задачи математической физики, как правило, сводятся к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными, к решению систем дифференциальных уравнений с частными производными или к решению интегральных уравнений. <...> В данном курсе будут рассматриваться краевые задачи для дифференциальных уравнений классической математической физики. <...> В на 7 раниченном измеримом множестве из ), то обобщённая функция называn ется регулярной, в противном случае – сингулярной. <...> Примером сингулярной обобщённой функции является - функция <...>
Курс_лекций_по_уравнениям_математической_физики_с_примерами_и_задачами.pdf
УДК 517/519(075)
ББК 22. 161
С91
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор Илюхин А. А.,
кандидат физико-математических наук, профессор Ерусалимский В. М.
Учебное пособие подготовлено и издано в рамках
национального проекта «Образование»
по «Программе развития федерального государственного образовательного
учреждения «Южный федеральный университет» на 2007–2010 гг.»
С91
Сухинов А. И., Зуев В. Н., Семенистый В. В.
Курс лекций по уравнениям математической физики с
примерами и задачами: учеб. пособие / А. И. Сухинов,
В. Н. Зуев, В. В. Семенистый. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2009.
– 307 с.: ил. 27.
ISBN 978-5-9275-0669-9
Книга представляет собой учебное пособие по уравнениям математической
физики. В первых шести главах рассматриваются основные типы
уравнений с частными производными, их классификация, постановка краевых
задач и методы их решения: характеристик (Даламбера), Римана, Фурье.
В гл. 7–10 развивается подход, основанный на концепции обобщённого
решения: строятся фундаментальные решения для операторов теплопроводности,
Лапласа, волнового оператора и оператора Гельмгольца, а затем
рассматриваются обобщённые задачи Коши для уравнения теплопроводности
и волнового уравнения. Для решения краевых задач для уравнений эллиптического
типа излагается метод потенциалов и метод функций Грина.
В тексте разобрано большое количество примеров решения типовых задач,
что позволяет изучать уравнения математической физики самостоятельно.
Для студентов вузов, обучающихся по специальности 010200 «Прикладная
математика и информатика» и по направлению 510200 «Прикладная
математика и информатика»
ISBN 978-5-9275-0669-9
УДК 517/519(075)
ББК 22.161
© ТТИ ЮФУ, 2009
© А.И. Сухинов, В.Н. Зуев,
В.В. Семенистый, 2009
© Южный федеральный
университет, 2009
Стр.2
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................................................................... 5
ГЛАВА 1. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ .............................................................................................................................................. 8
§ 1.1. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ КЛАССИФИКАЦИИ ....................................................................................................... 8
§ 1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА ............................................................. 10
§ 1.3. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ (ХАРАКТЕРИСТИКИ) КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 13
§ 1.4. ПРИВЕДЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ............................. 15
ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
............................................................................................................................................................................ 22
§ 2.1. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ................................................................................................................................ 22
§ 2.2. УРАВНЕНИЕ ДИФФУЗИИ .................................................................................................................................. 26
§ 2.3. СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ........................................................................................................................... 28
§ 2.4. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ........................................................................................................................ 29
§ 2.5. УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА ................................................................................................................................ 30
§ 2.6. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА .............................................................................................................................. 31
§ 2.7. КЛАССИФИКАЦИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ................................................................................................................. 33
§ 2.8. ЗАДАЧИ .......................................................................................................................................................... 41
ГЛАВА 3. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК .......................................................................................................... 43
§ 3.1. МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН ............................................................................................................ 43
§ 3.2. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОГО ОДНОМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ.................................. 46
§ 3.3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО ОДНОМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ .................................................... 46
§ 3.4. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ..................................................................................................................................... 50
§ 3.5. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК ............................................................................................................ 51
§ 3.6. ЗАДАЧИ .......................................................................................................................................................... 56
ГЛАВА 4. МЕТОД РИМАНА .......................................................................................................................... 59
§ 4.1. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ............................................................................................... 59
§ 4.2. ОБЩАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ .......................................................................... 62
§ 4.3. ЗАДАЧА ГУРСА ................................................................................................................................................ 64
§ 4.4. ФОРМУЛА РИМАНА ......................................................................................................................................... 65
§ 4.5. ЗАДАЧИ .......................................................................................................................................................... 75
Г Л А В А 5. МЕТОД ФУРЬЕ ............................................................................................................................ 77
§ 5.1. СУЩНОСТЬ МЕТОДА ФУРЬЕ ............................................................................................................................. 77
§ 5.2. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ.............................................................. 80
§ 5.3. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ
КОЛЕБАНИЙ ..................................................... 94
§ 5.4. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ....................................................................... 102
§ 5.5. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ......................................................... 113
§ 5.6. ЗАДАЧИ ........................................................................................................................................................ 120
ГЛАВА 6 . ОБОБЩЁННЫЕ ФУНКЦИИ .............................................................................................................. 124
§ 6.2. ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ ........................................................................................ 126
§ 6.3. ДЕЙСТВИЯ С ОБОБЩЁННЫМИ ФУНКЦИЯМИ .................................................................................................. 135
§ 6.4. СВЁРТКА ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ ................................................................................................................ 144
§ 6.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ ....................................................................................... 146
§ 6.6. ЗАДАЧИ ......................................................................................................................................................... 153
ГЛАВА 7. МЕТОД ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ ......................................................................................... 154
§ 7.1. ОБОБЩЁННОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ..... 154
§ 7.2. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ ............................................................................................................................................... 155
§ 7.3. МЕТОД СПУСКА ............................................................................................................................................ 158
Стр.3
4
§ 7.4. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ОБЫКНОВЕННЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ .................................................................................................................................................... 160
§ 7.5. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ОПЕРАТОРА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ .................................................................. 163
§ 7.6. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО ОПЕРАТОРА ................................................................................ 166
§ 7.7. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА ................................................................................... 169
§ 7.8. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ОПЕРАТОРА ГЕЛЬМГОЛЬЦА ........................................................................... 171
§ 7.9. ПОТЕНЦИАЛЫ .............................................................................................................................................. 174
§ 7.10. ОБОБЩЁННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ........................... 187
§ 7.11. ОБОБЩЁННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ......................................................... 190
§ 7.12. ОБОБЩЁННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ......................................................................... 195
§ 7.13. ЗАДАЧИ ..................................................................................................................................................... 200
ГЛАВА 8. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ........................... 205
§ 8.1. ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ........................................................................................................... 205
§ 8.2. ЗАДАЧА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ ....................................................................................................................... 209
§ 8.3. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ .......................................................................................................................... 220
§ 8.4. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА............................................................................ 222
§ 8.5. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА ....................................................................................... 235
§ 8.6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ........................................................................................................................ 241
§ 8.7. МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ ................................................................................................................................. 244
§ 8.8. ЗАДАЧИ ........................................................................................................................................................ 253
ГЛАВА 9. МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА ........................................................................................................ 257
§ 9.1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ГИПОЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ................................................................ 257
§ 9.2. ФУНКЦИЯ ГРИНА ......................................................................................................................................... 258
§ 9.3. ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ................................................................................ 260
§ 9.4. ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ НА ПЛОСКОСТИ .................................................................................... 275
§ 9.5. ЗАДАЧИ ........................................................................................................................................................ 280
ГЛАВА 10. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ................................................................................................... 282
§ 10.1. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА ................................................................................................................................... 282
§ 10.2. СУЩНОСТЬ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ ........................................................................................................ 290
§10.3. МЕТОД РИТЦА ............................................................................................................................................ 291
§10.4. МЕТОД КАНТОРОВИЧА ................................................................................................................................ 298
§10.5. ЗАДАЧИ ...................................................................................................................................................... 303
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ............................................................................................................... 306
Стр.4