Министерство образования и науки РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет математики, механики и компьютерных наук И. В. Моршнева БИФУРКАЦИЯ РОЖДЕНИЯ ЦИКЛА В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С СИММЕТРИЕЙ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В ГИДРОДИНАМИКЕ Ростов-на-Дону Издательство Южного федерального университета 2010 УДК 532.5 ББК 22.253.3 M 80 Печатается по решению редакционно-издательского совета Южного федерального университета Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор В. А.Батищев; кандидат физико-математических наук, доцент С. В.Рогожин; доктор физико-математических наук, профессор А. Н.Соловьев; кандидат физико-математических наук, доцент В.Г.Цибулин Монография подготовлена и издана в рамках национального проекта «Образование» по «Программе развития федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования “Южный федеральный университет” на 2007—2010 гг. <...> М 80 Бифуркация рождения цикла в динамических системах с симметрией и ее приложения в гидродинамике / И. В. Моршнева. <...> Особенность и новизна изложения материала состоит в том, что теория строится так, чтобы ее было удобно применить к исследованию задач гидродинамики, она приводит к явным выражениям для асимптотик ответвившихся режимов и для величин, определяющих их характер и устойчивость. <...> Приводится также применение теории к задаче о возникновении автоколебаний в вертикальном слое жидкости. <...> Уравнения разветвления для систем с инверсионной симметрией . <...> Четные, псевдонечетные циклы и циклы общего вида . <...> О четных и псевдонечетных относительно дополнительной инверсии циклах . <...> Возникновение циклов в системах с круговой симметрией . <...> Устойчивость периодических режимов в системах с круговой симметрией . <...> Фазовый портрет систем с круговой симметрией . <...> Уравнения разветвления для систем <...>
Бифуркация_рождения_цикла_в_динамических_системах_с_симметрией_и_ее_приложения_в_гидродинамике.pdf
УДК 532.5
ББК 22.253.3
M 80
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Южного федерального университета
доктор физико-математических наук, профессор В. А.Батищев;
кандидат физико-математических наук, доцент С. В.Рогожин;
доктор физико-математических наук, профессор А. Н.Соловьев;
кандидат физико-математических наук, доцент В. Г. Цибулин
Рецензенты:
«Образование» по «Программе развития федерального государственного
образовательного учреждения высшего профессионального образования
“Южный федеральный университет” на 2007—2010 гг.»
Монография подготовлена и издана в рамках национального проекта
Моршнева И. В.
М 80 Бифуркация рождения цикла в динамических системах с симметрией
и ее приложения в гидродинамике / И. В. Моршнева. —
Ростов н/Д : Изд-во ЮФУ, 2010. — 140 с.
ISBN 978-5-9275-0727-6
В монографии представлена теория бифуркации рождения цикла
в динамических системах с конечными и с непрерывными группами
симметрии, которые наиболее часто встречаются в задачах математической
физики. Особенность и новизна изложения материала
состоит в том, что теория строится так, чтобы ее было удобно применить
к исследованию задач гидродинамики, она приводит к явным
выражениям для асимптотик ответвившихся режимов и для величин,
определяющих их характер и устойчивость. Приводится также
применение теории к задаче о возникновении автоколебаний в вертикальном
слое жидкости.
Для научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов
математических и физических факультетов.
ISBN 978-5-9275-0727-6
УДК 532.5
ББК 22.253.3
c И. В. Моршнева, 2010
c Южный федеральный университет, 2010
c Оформление. Макет. Издательство
Южного федерального университета, 2010
Стр.2
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Глава 1. Бифуркация рождения цикла в системах
с O(2)-симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1. Уравнения разветвления для систем с инверсионной
симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2. Четные, псевдонечетные циклы и циклы общего вида . . . . . . . . . . 19
1.2.1. Четные и псевдонечетные циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2. Циклы общего вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3. О четных и псевдонечетных относительно
дополнительной инверсии циклах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3. Возникновение циклов в системах с круговой симметрией . . . . . . 29
1.4. Устойчивость периодических режимов в системах
с круговой симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4.1. Устойчивость бегущих волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.2. Устойчивость смешанного режима . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.5. Фазовый портрет систем с круговой симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Глава 2. Бифуркация рождения цикла в системах
с O(2) Ч O(2)-симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.1. Уравнения разветвления для систем с группой симметрии
ромба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2. Четные и псевдонечетные циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3. Уравнения разветвления для систем с двойной круговой
симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.4. Инвариантные координатные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3
Стр.3
4
2.5. Циклы на инвариантных подпространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.5.1. Циклы на подпространствах Γ+
k (k = 1, 2, 3) . . . . . . . . . . . . . . . 79
i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.5.2. Циклы на подпространстве Γe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.5.3. Циклы на подпространстве Γ+
2.5.4. Циклы на подпространстве Γ123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.6. Устойчивость циклов в системах с двойной круговой
симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.6.1. Устойчивость бегущих волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.6.2. Устойчивость L3-четного режима . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.6.3. Устойчивость инверсионно-симметричного цикла . . . . . . . . . . . . 97
2.6.4. Устойчивость периодического режима на Γ+
2.6.5. Устойчивость косых бегущих волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
i
Глава 3. Приложения теории к гидродинамическим
системам с симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.1. Автоколебания в вертикальном слое жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.1.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.1.2. Двумерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.1.3. Пространственный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.2. Автоколебания в вертикальном слое жидкости
с движущимися границами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.2.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.2.2. Двумерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
. . . . . . . . . . . . . . . . 99
Стр.4