МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА РЕШЕНИЯ
НЕОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ.
ЗАДАЧА
О НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОМ СОСТОЯНИИ
В ТОНКОЙ ПЛАСТИНЕ С ВКЛЮЧЕНИЕМ
Учебно-методическое пособие
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2016
Стр.1
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение ……………………………………………………………………. 4
2. Общая постановка упруго-пластических задач
Определяющие соотношения, граничные условия,
условия сопряжения теории упруго-пластического тела ………………….. 5
3. Определяющие соотношения теории идеальной пластичности.
Линеаризированные соотношения ………………………………………… 7
4. Решение упруго-пластической задачи о пластине,
содержащей включение ……………………………………………………. 7
4.1. Нулевое приближение …………………………………………… 10
4.2. Первое приближение …………………………………………….. 14
5. Библиографический список ……………………………………………… 25
3
Стр.3
мещения *
i
6.2. Граничные условия на части поверхности тела, где заданы переu
, имеют вид:
u u .*
i
задать условия сопряжения:
i
(2.8)
6.3. На границе раздела упругой и пластических областей требуется
ijn 0 , ui .0
j
(2.9)
Здесь и далее знак [ ] будет означать скачок соответствующей величины,
т.е. разность значений представленных в скобках выражений, соответствующих
упругой и пластической областям. Как обычно, по дважды
повторяющимся индексам предполагается суммирование от 1 до 3, если не
оговорено противное. Нижний индекс, стоящий после запятой, указывает
на дифференцирование по координате, соответствующей этому индексу.
Уравнения (2.1)—(2.9) представляют замкнутую систему уравнений,
описывающих напряженно-деформированное состояние упруго-пластического
тела.
В цилиндрической системе координат уравнение равновесия в напряжениях
(при отсутствии внешних массовых сил) запишутся следующим образом
rθ
rr θ zr
1 τσ σ
rr θ
τ z
1
rz
r
rr θ zr
τσ τ
z
τ
где , , , ρθ
e , e
z
e , e
z
z
Соотношения Коши, связывающие компоненты тензора деформаций
, z
линдрической системе координат имеют вид
r
r
, e 1 u
r
u
rr
r ,
er2r r
r
u
rz
11 u r
r
τ , , — компоненты тензора напряжений.
, e z , e z и вектора перемещений u
e u
rθθ θzrθ2τ
τστ θz
rr θ zr
1
rz
, u
e,u
z
z z
, z
.
e
2z r
1 uu
rz
Соотношения закона Гука, отражающие связь между напряжениями
и упругими деформациями (в случае несжимаемого материала) для цилиндрической
системы координат
S2Ge, S2Ge zz
e
S2Ge S2Ge zzzz
e
где G — модуль сдвига, S , S
жений, e , e
e
e , e
e , e
z
e , e
ez , e
,
, z
S , S
6
e , S2Ge
e
e , S2Ge
e ,
,
ez — компоненты тензора деформаций.
(2.12)
, S z , S z — девиатор тензора напряe
11 u
2r z
r
,
u
(2.11)
, u , u
z
0 ,
0 ,
0 ,
(2.10)
, u z , u z в ци
Стр.6
3. Определяющие соотношения теории идеальной пластичности.
Линеаризированные соотношения
раскладываются в ряды по степени малого параметра [6]:
При решении задач методом малого параметра
p e
ij, е ,e , ,...
ij
Например,
ij
ij
n 0
n0
n
(n)
ij
(0)
ij
(1)
ij
2
(2)
ij
Величинами n-го порядка, здесь и ниже, называются выражения,
отмеченные вверху индексом (n).
Процедуру разложения всех исходных функций по параметру
будем называть линеаризацией функций.
1 )
F(r)
n 0
nF(r)(n),( , где F(r) — некая функция, зависящая от параметра r.
Термин «линеаризация», отражает то, что при n 1 F представляют
(n)
собой линейные функции величин n-го порядка, а при n = 0 функция )0(
F
обычно нелинейная.
Дальнейшее рассмотрение будем проводить в цилиндрической
r, , z , ограничимся при этом плосконапряженным
.
ee0
zz
z
системе координат
случаем. Плосконапряженное состояние реализуется в тонких плоских
пластинах, нагруженных в свой плоскости. В этом случае частицы
деформируемого тела перемещаются вдоль плоскости, перпендикулярной
оcи z, и не зависят от координаты z: zz
4. Решение упруго-пластической задачи о пластине, содержащей
включение
Исследуем задачи о двухосном растяжении тонкой пластины с отверстием
в форме эллипса и о тонкой пластине с отверстием в форме эллипса,
в которое с натягом вставлено упругое включение — круглое кольцо.
Материал пластины предполагается идеально упруго-пластическим,
включение предполагается упругим. Рисунок 1а — без включения, рисунок
1б — с включением.
n (n) p(n) e(n) (n)
ij
ij ,e ,e ,
ij
,... , ( 1) .
все функции
(3.1)
7
Стр.7
а
б
Рис. 1
На рисунке 1а обозначено: 1 — граница раздела упругой и пластических
областей пластины, 2 — внутренний контур пластины. На рисунке 1б
обозначено: 1 — граница раздела упругой и пластических областей пластины,
2 — граница контакта включения и пластины, 3 — внутренний контур
включения. Внутренний и внешний контуры включения имеют эллиптическую
форму. Пластины на бесконечности растягиваются взаимно перпендикулярными
усилиями с интенсивностями P1 и P2, внутренний контур
включения нагружен нормальным давлением P0.
Рассматривается случай плосконапряженного состояния, т.е. полага
. Для решения задачи введем цилиндрическую
ется zz
ee0
zz
z
систему координат ,, z . Ось 0z направлена вдоль оси круглого кольца, а
начало координат выбираем в центре последнего.
При этом материал конструкции считается не сжимаемым, однородным,
изотропным, но, как отмечалось выше, материалы пластины и вклю8
Стр.8
чения предполагаются различными. При построении математической модели
будем исходить из предположения, что пластическая зона в пластине
полностью охватывает контур отверстия.
Пусть пластическое состояние в пластине соответствует стороне ВС
условия пластичности Треска — Сан-Венана (рис. 2).
Рис. 2
Задача будет решена после нахождения распределения поля напряжений
(компонент тензора напряжений ρ
σ , θ
нент вектора перемещений ρu , θ
σ , ρθ
τ ) и перемещений (компоu
) во всей составной конструкции, а также
формы упруго-пластической границы в пластине.
Для решения поставленной задачи удобно применить приближенноаналитический
метод — метод малого параметра или более широко — метод
возмущений, смысл которого раскрывался выше. Известно [6], что
применение этого метода позволяет получить приближенное решение
вблизи уже известного точного решения. Для рассматриваемой задачи с
эллиптическими контурами, такой близкой задачей будет задача о пластине
с круговыми контурами, представляющая нулевое приближение или невозмущенное
состояние в искомом решении. В соответствии со сказанным,
ограничившись нулевым и первым приближениями, решение общей задачи
будет искаться в виде
;
0
1
;
0
;
1
u u u ;
0
1
r 1 r ,
s s
(1)
где верхний индекс 1 указывает на первое приближение, а индекс 0 на нулевое
приближение, δ — малый параметр, ρ
σ , θ
σ , σ — компоненты тензоz
ра
напряжений; — перемещения вдоль осей соответственно; rs — радиус
9
z
0
);
;
2 (
1
0
1
R R ,
k
0 1
1
(4.1)
Стр.9
упруго-пластической границы в пластины, k
и пластины.
— линия контакта включения
Рассмотрим отдельно нулевое и первое приближения.
4.1. Нулевое приближение (упруго-пластическое состояние тонкой
пластины с круговым отверстием и упруго-пластическое состояние тонкой
пластины с круговым отверстием, заполненным с натягом круглым включением
— цилиндром)
Рассмотрим осесимметричное состояние тонкой пластины с круговым
отверстием радиуса для первой задачи (рис. 3а) и осесимметричное
состояние тонкой пластины с круговым отверстием радиуса , содержащим
с натягом круглое кольцо с внешним радиусом 1 и внутренним для
второй задачи (рис. 3б).
а
б
Рис. 3
10
Стр.10