ВЕСТНИК ВГУ, Серия: Физика, математика, 2004, ¹2 УДК 517.927 НЕКОТОРЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА НА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СЕТЯХ © 2004 Ю. В. Покорный, И. Ю. Покорная, В. Л. Прядиев, Н. Н. Рябцева Воронежский государственный университет В работе обсуждаются некоторые качественные проблемы дифференцирования в вариационных задачах на пространственной сети При анализе вариационных задач, возникающих при описании физических систем сетеподобной структуры, неизбежно возникает вопрос о трактовке смысла интеграла, объединяющего систему в единое целое. <...> От этой трактовки зависит, например, возможность использования такой основополагающей процедуры, как интегрирование по частям. <...> Если хотя бы одна из функций u()⋅ , ()v ⋅ непрерывна, а другая принадлежит []BV a b; , т. е. имеет ограниченную вариацию, то равенство (1) верно при трактовке интегралов по РимануСтильтьесу. <...> Если допустить разрывы у обеих функций, то осмысленность обоих интегралов в (1) может быть обеспечена, если понимать их по ЛебегуСтильтьесу. <...> Как, например, в случае, когда исследуемая физическая система состоит из двух смыкающихся одномерных континуумов, и у нас есть желание ассоциировать их с двумя отрезками [] a; и [] (при ab ;b << ), что ab; ? <...> Да еще так, чтобы для такого интеграла была верна формула типа (1)?! <...> Именно этот вопрос в миниатюре отражает проблемы интегрирования в вариационных задачах на графах. связано со стыковкой двух пар «соседствующих» функций. <...> Можно ли результат такой стыковки объединять единым интегралом на [] 1. <...> Поясним значение вопроса на функциях одномерного аргумента. <...> Общепринятый взгляд (как у Бурбаки) отождествляет понятие интеграла ∫ ud CE∗ E пространства () функционалов на () с элементами из CE или, как говорят, с риссовыми (борелевскими) мерами на E . <...> Этот взгляд восходит к знаменитой теореме Рисса о представлении линейного функционала на () CE (общий аналог для общего интеграла результаты типа теоремы Какутани). <...> Однако в каноническом (даже у Рисса <...>