5.3, 5.4 (последовательный отбор и урновая схема Пойа), 7.2 (пуассоновский процесс) и, вероятно, с какими-то фрагментами из дополнений, данный материал обеспечивает постепенный логичный переход к изучению теории случайных процессов. <...> Теория множеств Давайте рассмотрим также и соответствующие «менее емкие» множества: (a′) гнилые яблоки в мешке; (b′) пациенты, которым данное лечение помогает; (c′) студенты, специализирующиеся по математике; (d′) молекулы, двигающиеся вверх; (e′) исходы, при которых на всех шести костях выпали разные цифры; (f′) точки, принадлежащие небольшой области в центре мишени, называемой «глазом быка». <...> Выборочное пространство состоит из некоторого количества точек и просто служит названием для полной совокупности точек. <...> Любое множество из примеров (a)–(f) может рассматриваться как выборочное пространство. <...> Выборочное пространство всегда будет обозначаться заглавной греческой буквой Ω. <...> Конечно, можно спорить о том, что такое «гнилые яблоки» или попытаться пошутить, что при бросании шести игральных костей на тротуар какие-то из них могут провалиться в канализационный люк. <...> Каждая двухуровневая классификация разбивает выборочное пространство на два непересекающихся множества, а если наложить несколько разбиений одно на другое, то получим, в частности, следующие тождества: Ω = (A+Ac)(B +Bc) = AB +ABc +AcB +AcBc, Ω = (A+Ac)(B +Bc)(C +Cc) = = ABC +ABCc +ABcC +ABcCc +AcBC + +AcBCc +AcBcC +AcBcCc. <...> Эти атомы обладают замечательным свойством, которое может быть проиллюстрировано на примере трех множеств: вне зависимости от того, какие операции вы применяете к множествам A, B, C, и сколько раз вы делаете это, множество, появляющееся в результате, всегда представляется как объединение некоторых из атомов, участвуABcCc Bc ABcC AcBcC AcBcCc (1.3.4) (1.3.5) ABC B ABCc A Рис. <...> При бросании игральной кости может осуществится один из шести исходов. <...> Сравнивая выпадение определенного номера (грани) (2.1.4) Насколько |A|+|B| превосходит |A∪B|? <...> Уже само нанесение номеров на грани <...>
Элементарный_курс_теории_вероятностей._Стохастические_процессы_и финансовая_математика.pdf
К. Л. Чжун, Ф. АитСахлиа
ЭЛЕМЕНТАРНЬIЙ КУРС
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
И ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
Перевод с 4го английского
издания М. Б. Лагутина
4е издание, электронное
Москва
Лаборатория знаний
2021
Стр.4
ББКУДК 519.2
22.17
Ч-57
Чжун К. Л.
Ч-57 Элементарный курс теории вероятностей. Стохастические
процессы и финансовая математика / К. Л. Чжун, Ф. АитСахлиа
; пер. с англ. — 4-е изд., электрон. —М. : Лаборатория
знаний, 2021. — 458 с. — Систем. требования: Adobe
Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. —Текст :
электронный.
ISBN 978-5-93208-572-1
Перевод 4-го издания популярного учебника по теории вероятностей
и ее приложениям, написанного известными американскими
математиками из Станфордского университета. Четвертое издание
дополнено двумя новыми главами, посвященными финансовой математике.
Для
студентов, преподавателей, исследователей и практиков
в экономике, психологии, социологии, медицине и в других областях,
где используются статистические методы и теория вероятностей.
ББКУДК 519.2
22.17
Деривативное издание на основе печатного аналога: Элементарный
курс теории вероятностей. Стохастические процессы и финансовая
математика / К. Л. Чжун, Ф. АитСахлиа ; пер. с англ. —
М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. — 455 с. : ил.
ISBN 978-5-94774-347-0.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных техническими средствами защиты авторских прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
Translation from the English language
edition:
Elementary Probability Theory
by Kai Lai Chung and Farid AitSahlia
© 2003, 1979, 1975, 1974 Springer-Verlag
New York, Inc.
Springer is a part of Springer
Science+Business
Media
All Rights Reserved
ISBN 978-5-93208-572-1
© Перевод на русский язык,
Лаборатория знаний, 2015
Стр.5
Оглавление
Предисловие к четвертому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Предисловие к третьему изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Предисловие ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Предисловие к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
О введении в финансовую математику . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Глава 1. Теория множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1. Множества выборочного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Разные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4. Индикатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Глава 2. Вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1. Подсчет вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Определение и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3. Следствия аксиом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4. Независимые события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5. Арифметическая плотность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Глава 3. Комбинаторика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1. Основное правило . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2. Модели случайного выбора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3. Модели размещения. Биномиальные коэффициенты. . . . . 71
3.4. Как решать комбинаторные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Глава 4. Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1. Что такое случайная величина? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2. Как образуются случайные величины? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3. Распределение и математическое ожидание . . . . . . . . . . . . . . 103
4.4. Целочисленные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.5. Случайные величины, имеющие плотности . . . . . . . . . . . . . . 115
4.6. Общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Стр.454
454
Оглавление
Приложение 1. Сигма-алгебры и общее определение случайной величины
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Глава 5. Условные вероятности и независимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.1. Примеры вычисления условных вероятностей . . . . . . . . . . . 140
5.2. Основные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.3. Последовательный выбор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.4. Урновая схема Пойа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.5. Независимость и связанные с ней понятия . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.6. Генетические модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Глава 6. Среднее, дисперсия и преобразования случайных величин
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.1. Основные свойства математического ожидания . . . . . . . . . . 192
6.2. Случай, когда есть плотность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.3. Теоремы умножения. Дисперсия и ковариация . . . . . . . . . . . 202
6.4. Полиномиальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.5. Производящая функция и другие преобразования . . . . . . . 216
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Глава 7. Пуассоновское и нормальное распределения . . . . . . . . . . . . . 233
7.1. Модели, в которых используется пуассоновское распределение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
7.2. Пуассоновский процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.3. От биномиального закона к нормальному . . . . . . . . . . . . . . . 254
7.4. Нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.5. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
7.6. Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Приложение 2. Формула Стирлинга и теорема Муавра—Лапласа . 285
Глава 8. От случайных блужданий к цепям Маркова . . . . . . . . . . . . . 288
8.1. Задача о бродяге и задача о разорении игрока . . . . . . . . . . . 288
8.2. Предельные схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.3. Переходные вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
8.4. Структура цепей Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
8.5. Дальнейшее развитие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
8.6. Стационарное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
8.7. Вероятности поглощения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
Приложение 3. Мартингалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
Стр.455
Оглавление
455
Глава 9. Инвестирование на основе средних и дисперсий . . . . . . . . . 370
9.1. Финансовый букварь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
9.2. Доходность активов и риск . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
9.3. Портфель инвестора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
9.4. Диверсификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
9.5. Оптимизация на основе средних и дисперсий . . . . . . . . . . . . 380
9.6. Распределения доходности активов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
9.7. Устойчивые распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
Приложение 4. Распределение Парето и устойчивые законы . . . . . . 399
Глава 10. Расчет цены опциона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
10.1. Основные понятия, относящиеся к опционам . . . . . . . . . . . . 406
10.2. Цена опциона при отсутствии арбитража: 1-периодная модель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
10.3. Цена опциона при отсутствии арбитража: N-периодная
модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
10.4. Фундаментальные теоремы оценивания опционов . . . . . . . . 429
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
Ответы к задачам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
Функция стандартного нормального распределения . . . . . . . . . . . . . . . 446
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
Стр.456