МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Математическая обработка результатов измерений
в лабораторном практикуме по курсу общей
физики
Учебно-методическое пособие
Составители:
О.М. Голицына,
А.В. Меремьянин,
В.Е. Рисин
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2015
Стр.1
Цель данного учебно-методического пособия – помочь студентам
освоить приёмы обработки результатов измерений в лабораторном
практикуме по курсу общей физики. Изложен минимум
теоретического материала по методам расчёта погрешностей измерений
и представления результатов измерений. Даны примеры
расчёта погрешностей при прямых и при косвенных измерениях,
рекомендации по построению графиков и округлению результатов
измерений. Изложены основы метода наименьших квадратов,
позволяющего наиболее эффективно определять параметры
функциональных зависимостей по результатам измерений. Приведена
таблица коэффициентов Стьюдента, которые необходимы
при расчёте случайных погрешностей измерений.
1. Погрешности измерений
Цель эксперимента – установить истинное значение интересующего
нас физического параметра (температуры, ускорения, электрического
сопротивления и т. д.). Однако при всяком измерении
мы получаем не истинное, а приближенное значение измеряемой
величины. Это происходит потому, что наши приборы и методики
измерений неидеальны, а исследуемые явления существуют
не изолированно; они связаны с множеством других явлений и,
поэтому, в процессе измерения на объект исследований и измерительный
прибор действует множество факторов, искажающих
результат.
Отклонения результатов измерений от истинных значений
носят название погрешностей измерений. Абсолютной погрешностью
измерений ∆x называют модуль разности между истинным
значением X физической величины и результатом его измерения
x: ∆x = |X − x|. Часто пользуются также относительной
погрешностью:
E = ∆x
X · 100%.
Как правило, истинное значение физической величиныX неиз3
Стр.3
тоэлектронов, число радиоактивных распадов в единицу времени).
К случайным относят и погрешности, для которых не установлены
причины (факторы), влияющие на разброс результатов
при повторных измерениях. Поэтому деление погрешностей на
систематические и случайные иногда зависит от степени изученности
объекта.
Когда говорят о причинах возникновения систематических
или случайных погрешностей, часто используют понятия существенных
(но не случайных) и несущественных факторов возникновения
погрешностей. Каждый существенный фактор способен
заметно изменить результат измерений. Действие таких факторов
приводит к возникновению систематических погрешностей.
Эти факторы могут быть выявлены и устранены или их влияние
учтено (хотя иногда сделать это довольно сложно и дорого).
Несущественные факторы в одиночку не способны заметно
изменить результат измерений. Однако случайная комбинация
большого количества несущественных факторов приводит к появлению
случайных погрешностей ∆xсл. Понятно, что такие погрешности
невозможно устранить. Тем не менее, проведение серий
измерений и правильная обработка результатов измерений
позволяют уменьшить влияние случайных погрешностей на результат
измерений и оценить величину таких погрешностей.
2. Расчёт случайных погрешностей
Предположим, что все систематические погрешности выявлены
и устранены. Если измерительные приборы достаточно чувствительны,
то проводя серию измерений можно обнаружить случайный
разброс результатов измерений. Таким образом, в общем
случае результат измерений x является случайной величиной.
Случайные величины, взятые в совокупности, подчиняются
определённым законам, которые рассматривает теория вероятностей.
Обработка результатов измерений основывается на вероятностном
подходе (теории вероятностей) и ряде постулатов
6
Стр.6
математической статистики, которые хорошо оправдывают себя
на практике.
Чтобы охарактеризовать случайную величину надо указать,
какие значения она может принимать.
Кроме того необходимо указать, как часто, т. е. с какой вероятностью
случайная величина может принимать те или иные
значения – т. е. задать распределение случайной величины.
Комбинация большой совокупности несущественных факторов,
сравнимых по величине воздействий на объект исследований
и измерительный прибор, приводит к тому, что в экспериментальной
физике реализуется так называемое распределение
Гаусса. В этом случае результаты измерений x симметрично рассеяны
относительно X как в сторону б´
значений X. Причём с ростом величины отклонения |X −x| вероятность
отклонения быстро уменьшается.
Среднее арифметическое серии n измерений (x1,x2, . . . ,xn)
¯
x = 1
n
i=1
n
xi
подвержено гораздо меньшему случайному разбросу, чем отдельные
измерения. (То есть, если проводить серии измерений в одинаковых
условиях и каждый раз вычислять ¯
них значений будет гораздо меньше разброса отдельных измерений.)
В теории вероятностей показано, что ¯
шей оценкой истинного значения параметра X. Поэтому рекомендуется
проводить серии n измерений и вычислять ¯
Случайный разброс среднего значения ¯
s =
1
n(n−1)
i=1
n
(¯
x−xi)2.
Однако случайная погрешность измерений определяется не
7
x, то разброс средx
является наилучx.
x
относительно истинного
значения X физического параметра принято характеризовать
величиной [1]
ольших, так и мeньших
Стр.7
Таблица 1
Значения коэффициентов Стьюдента tp,n
n p = 0,90 p=0,95 n p=0,90 p=0,95
4
5
6
7
8
9
2,35
2,13
2,01
1,94
1,89
1,86
3,18
2,78
2,57
2,45
2,36
2,31
10
11
12
13
14
15
1,83
1,81
1,80
1,78
1,77
1,76
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,14
только величиной s, но и зависит также от вероятности p, с которой
истинное значение X должно попадать в интервал
x−∆xсл ≤ X ≤ ¯
¯
x+∆xсл.
(1)
Эту вероятность необходимо задавать заранее. Затем по таблицам
математической статистики определяют так называемые коэффициенты
Стьюдента tp,n, зависящие от выбранного уровня
вероятности p и числа измерений n.
Случайная погрешность измерений определяется произведением:
∆xсл
= s · tp,n.
Результат обработки измерений следует записывать в виде:
X = ¯
x±∆xсл с вероятностью p = . . .
(2)
Здесь p называют доверительной вероятностью или надёжностью
оценки (2).
В таблице 1 приведены значения коэффициентов Стьюдента
для различных значений n и наиболее часто используемых
значений p.
Допустим, ¯
x = 19, 65; s = 0, 41; n = 6. Задаём вероятность p =
0, 95 и по таблице находим коэффициент Стьюдента tp=0,95;n=6 =
2, 57.
8
Стр.8